Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

Проводя замену переменных y = — x в последнем выражении, получаем:

Сравнивая уравнения (5-6) и (5-7), можно_видеть, что функция F(l\z*) симметрична относительно | .

Выпуклость для любого £<g;£ следует из того факта,

что

Отметим, что следствие также справедливо для асим­ метричных функций потерь (Л. 5-4], т. е. четвертое свой­ ство допустимой функции потерь здесь не является необ­ ходимым.

Из следствия видно, что оптимальная оценка имеет

вид

ожидания. В этом случае оптимальная оценка прини­ мает вид:

при условии г(1), (2), ..., г(/) и предполагается, что эта функция определена и непрерывна на всей области ин­ тегрирования за возможным исключением конечного чис­ ла точек.

Транспонируя обе части полученного соотношения и проводя в нем интегрирование, приходим к искомому результату:

x(k\j) = E[x(k)\z*(j)}.

Достаточность легко доказывается при рассмотрении

dxtdxj

186

Из дифференциального исчисления известно, ^то этих

как / [x (k I /)] — выпуклая монотонно возрастающая функ­ ция x(k\j), то в точке условного математического ожи­ дания она имеет глобальный минимум, что и требова­ лось доказать.

Из доказанной теоремы следует, что по меньшей ме­ ре для одной допустимой функции потерь, а именно для L = x'[k\j)x(k\j), утверждение теоремы 5-1 справедливо без требований симметричности или выпуклости услов­ ной функции распределения вероятностей. Неизвестно, справедливо ли оно для какой-либо другой допустимой функции потерь или нет.

Из сравнения теоремы 5-1 с теоремой 5-2 ясно, что последняя, хотя и накладывает более жесткие ограни­ чения на функцию потерь, является более общей, чем первая, в том смысле, что она справедлива для более широкого класса случайных процессов. Любопытно от­ метить, что если допущения, сделанные при формулиров­ ке задачи оценки, удовлетворяют только условиям тео­ ремы 5-1 или только теоремы 5-2, то оптимальная оцен­ ка в обоих случаях является условным математическим ожиданием. В этом смысле утверждения двух доказан­ ных теорем совпадают.

Теперь сосредоточим внимание на оптимальных ли­ нейных оценках. Всякая линейная оценка x(k), получен­ ная на основе^измерений г(1), 2(2), ..., z(j), может быть представлена в виде

случайные процессы. Тогда справедливо следующее утверждение.

187

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если известны первые и вто­ рые моменты, т. е. математические ожидания и корреля­

математическими ожиданиями и корреляционными ма­ трицами, поскольку гауссовские процессы однозначно определяются их первыми и вторыми моментами.

Однако для гауссовских процессов в силу следствия 5-1 можно утверждать, что оценка, оптимальная для лю­

вестных первых и вторых моментах случайных процес­ сов {x(k), kŒl} и {z(i), i = l , ..., /} эти процессы можно моделировать гауссовскими процессами с теми же ста­ тистическими параметрами.

Точнее, заметим, что необходимо знать только x(k),

* 0')' Рх(к)г*(і) И Pz*(k)z*(k)-

Возможна и другая точка зрения на приведенный ре­ зультат. Если ограничиться линейными оценками, т. е. оценками вида (5-12) (ср. задачу 3-13), то для опреде­ ления оценок потребуются только моменты первого и второго порядков. Далее, используя тот факт, что суще­ ствуют единственные гауссовские процессы с теми же первыми и вторыми моментами, применим следствие 5-1 и получим в результате, что линейная оценка, оптималь­

и дает решение очень широкого класса задач оценки. Следствие 5-1 представляет собой частный случай при­ менения теоремы к гауссовским процессам. Принципи­ альным результатом следствия является тот факт, что оценка, оптимальная для любой допустимой функции потерь, а именно оценка в виде условного математиче­ ского ожидания, является линейной в силу гауссовости рассматриваемых случайных процессов.

В теореме 5-2 общность класса допустимых функций потерь снижается ради расширения допустимого класса случайных процессов. Для критерия качества вида среднеквадратической ошибки оптимальная оценка вновь имеет вид условного математического ожидания, однако

188