Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

состояния

x(k), минимизирующую

критерий

качества ви­

да J[x(k\j)]

= E{L[x(k\j)]},

где L —допустимая

функция

потерь.

Заметим, что в

силу

свойств

условного

математиче­

ского ожидания

E7{L [x (k I /)]} =

Et.[E7{L

[x (k I /) J| г (1),

. .,

вой части равенства не

зависит от выбора

x(k\j),

то

минимизация Е {L [x (k \ /)]} эквивалентна

минимизации

Е {L[x(k\j)]\z(l),

2(2),

2(/)}. Поэтому уравнение

(5-1)

можно также записать в виде

J[x(k\i)]

= Ex{L[x(k\j)]\z(\),

z(j)}.

(5-2)

гается воздействию мультипликативного шума v t ( i ) в канале

переда­

чи и аддитивного

шума и2 (0

в приемнике, так что принимаемый сиг­

нал в / дискретных точках

может быть представлен в виде

г ( і ) =

— x(k)Vi(i)+v2(i),

i'=l, 2. ..., /, где &=const. Вся система изображе­

на в виде структурной схемы на рис. 5-3. Задача заключается

в опре­

Сформулируем

ее как задачу

оптимальной

оценки,

утверждая,

что любая оценка

x (k) вида x {k\j) =

<р [г ((')• і =

1, 2

/] являет»

u,(i)

u,(i)

Принимаемый,

x(k)

сигнал

Передатчик

г(і)

i=l,2,...,j

Р[х(Ь)<1\г*(І)]

=

Г[1\г*(І)]

z*(j)—/m-мерный

для всех n-мерных векторов

\, где

вектор вида

z(/)

Решение задачи оценки при выполнении

определен­

ных условий, накладываемых на F[l\z*(j)],

дается сле­

дующей теоремой.

Теорема

5-1. Если функция

L есть допустимая

функ­

ция потерь

и

функция

F[l\z*(j)]

симметрична

относи­

тельно

своего

математического

ожидания

I,

т. е.

F{%—1|г*(/)]=1—

F ff— l\z*(i)]

для любого

g, и

выпукла

для всех l ^ i

т.е. F{1^+(\-К)Щг*

(j)]^lF[^\z*_{j)]

+

+ ( 1 — К)Filz\z*(j)]

для

любых

п-векторов I 1 , 12<СІ при

0<czX<c\,

то оптимальная оценка

имеет вид

x(k\j)

=

E[x{k)\z*(j)}.

(5-3)

определяется

сразу,

если

известна

условная

функция

распределения

F{x(k)

\z*(j)]

или, что то же самое, услов­

ная плотность

распределения f[x(k)

\z*(j)], при

условии,

E[x(k)\z*(j)]

— оптимальная

оценка

при

любых комби­

нациях допустимых функций

потерь

для

симметричных

и выпуклых условных функций распределения.

Пример функции распределения, симметричной отно­

сительно

своего математического ожидания и выпуклой

{z(i), / = 1 , ..., /} оптимальная оценка равна x(k\j)

=x(k)

при любых k и /.

Лемма

5-1.

Пусть

L — допустимая

функция потерь,

а у — n-мерный

случайный

вектор с нулевым

математи­

ческим

ожиданием и плотностью

распределения,

симмет­

ричной

относительно

этого математического

ожидания

(нуля)

и

выпуклой

для

всех

у^О.

Тогда

E[L(y)]^

^E{L(y—а)]

для любого п-вектора а.

Доказательство теоремы 5-1 с помощью леммы пред­

ставляется читателю в качестве упражнения.

В

связи

с теоремой 5-1 заметим,

что

оптимальная

оценка также имеет вид E[x(k)\z*(/)],

если

требование

выпуклости

функции

/ 7 [ | | г * ( / ) ]

заменить

условием вы­

пуклости функции потерь L {Л. 5-4].

ставленной выше.

Следствие 5-1. Если

функция

L

является

допустимой

функцией

потерь, a

ix(k),

k<=I} и

{z(i); t = l , ...,

/} — га-

уссовские

случайные

процессы с

дискретным

временем,

то

x{k\jf)==E[x{k)\z*{j)\.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Следствие

сводится

к

теореме

5-1, если удастся показать, что гауссовская

условная

функция

распределения

F[x(k)\z*(j)]

симметрична от­

для всех |<;' ; | .

Опуская для простоты

аргументы,

имеем:

F(Ç| 2 *) = j

j aexp [

- - i

- ( x - ï ) ' Q - > ( x - f ) dx,

— О

(5-4)

г д е

t=X+P

.P"1

lz* — ?•);

1

xz* z*z*v

P

JP~..P.

;

(5-5)

xz* z*z*

z*x'

Ѵ{2ъГ

I

Q I

a ехр

(x-t.yQ->X

-ОО

—оо

(5-6)

Аналогично

Х(х-Щах.

P ( È - S | 2 * ) = j . . . j

a e x p [ - 4 - ( x - ^ Q - ' X

—00

—00