Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 259

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

а)

Использовать метод расширения Вектора состояния дли Полу­

чения

гауссовской

марковской модели системы вида (4-28).

б)

В качестве

альтернативы к процедуре из п. «а» предположить,

что «новое» измерение формируется как линейная комбинация двух

последовательных

измерений, а именно, пусть Z,(k) =z(k+1)

+A(k)

X

Xz(k)

для k=\,

2

... , где Л (fe)—матрица

размера тХт.

Случай

k=0

здесь недопустим. Показать, что если

A(k) =—Ѳ(к+1,

k),

то

•новое измерение

будет иметь вид

 

 

 

 

 

Uk)=[H(k+\)0{k+l,

k)— Ѳ(А+1,

k)H(k)]x(k) +

 

 

 

 

 

+{H(k+\)T(k+l,

k)w(k)+Uk)\

 

 

для k—l, 2, ... , откуда следует, что ошибка измерения является гаус­ совской белой последовательностью. Этот метод разностных измере­ ний, позволяющий получить измерение с «белой» ошибкой, принадле­ жит Брайтону и Хенриксону [Л. 4-dO]. Метод, очевидно, позволяет обойтись без расширения вектора состояния '. Наконец, ясно, что математическое ожидание ошибки измерения составит:

 

 

 

Я ( А + 1 ) Г ( * ! + 1 ,

 

k)w(k)+J(k),

 

 

 

а ее корреляционная матрица

будет

иметь вид

 

 

 

 

 

H{k

+ \)Y(k+\,

k)Q(k)T'{k+\,

k)H'(k +

l)+Z(k).

 

 

в)

Можно ли процедуру из п. «б» использовать, если х(0)

и ѵ(0)

коррелированы? Объяснить ответ.

 

 

 

 

 

 

4-14.

При / > т ^ о определить

выражение

для P(t, х)

в

модели

(4-52)

с

гауссовский

марковским

процессом

состояния.

 

 

4-15. Рассмотреть скалярный гауссовский марковский процесс

{x(t),

t^O},

описываемый

соотношением х=—x+w(t);

t^O, где

х(0) —гауссовская случайная величина с нулевым средним, независи­ мая от скалярного гауссовского белого шума с нулевым средним {w{t), t^Q}, в предположении, что £[д:г (0)]=Р(0). и E[w(t)w(x)}=

= QÔ(t—т)

для всех t, т^О, где Q — положительная постоянная. При

каком соотношении между Р(0) и Q процесс {x(t),

t^O}

является

стационарным в широком смысле? в узком смысле?

 

 

 

 

 

4-16.

Если

случайный вектор

x(ta) в модели (4-52)

не

является

независимым от {w(t), t^tn],

будет ли процесс

{x(t),

t^t0}

 

гауссов­

ский марковским?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4-17. Предположить, что случайный вектор x(U)

в модели

(4-52)

не зависит от {w(t), t^t0},

но не от ошибки измерения {v(t),

t~^ta).

Предположить также, что последние два процесса не зависят

друг

от друга. Будет ли процесс

{x(t),

t^U)

при этих условиях

 

все еще

гауссовским марковским?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4-18. Рассмотреть модель (4-52) при наличии управляющего воз­

действия: x = F(t)x+G(t)w(t)+C(t)u(t),

предполагая, что в

системе

используется управление по замкнутому контуру вида

u(t) =

—M(t)x(t)+e(t),

где M(t)—непрерывная

матрица

размера

гХп,

а {е(0, t^to}

r-мерный гауссовский белый

шум, независимый от

x(ta), но, быть

может, коррелированный

с процессом {w(t),

 

t^tn).

1 Для непрерывного случая разностное

измерение

заменяется

дифференцированным измерением

(см. задачу 8-17).

 

 

 

 

175

Является

ли

процесс {х(г), i^t0]

гауссовским марковским

в присут­

ствии такого

«зашумленного» замкнутого управления?

 

4-19.

а)

Предположить, что частица единичной массы, которая

может перемещаться только вдоль

оси х, покидает начало

координат

в момент времени г=0 со скоростью, являющейся гауссовской слу­

чайной величиной с нулевым средним и дисперсией

о 0 >

0.

Опреде­

лить математическое ожидание и дисперсию ее положения

и скорости

в виде функций времени для t^O.

Кг к выглядит функция

плотности

распределения вероятностей положения частицы при /=10?

Является

ли

двумерный

случайный

процесс с координатами — положением и

скоростью частицы — гауссовским

марковским

процессом?

 

 

б) Предположить, что

в дополнение к условиям

п. «а»

на части­

цу

действует

ускоряющая

сила

в виде гауссовского белого шума

с

нулевым средним и постоянной

дисперсией

а ^ > 0 , независимого

от начального положения и скорости частицы. Показать, что двумер­ ный (положение — скорость) случайный процесс является гауссов­ ским марковским и определить его корреляционную матрицу в виде функции времени. Насколько определенно можно судить о положении и скорости частицы при О>0?

4-20. Рассмотреть систему

 

 

 

0

1

H

 

x =

 

 

где x — двумерный

вектор; ою — постоянная.

Полагая, что

х(0)—гауссовский

случайный вектор с нулевым

средним и единичной корреляционной матрицей размера 2X2, опре­ делить корреляционную матрицу P(t) — E[x(t)x' (t)] для t~^tu.

Г л а в а п я т а я

ОПТИМАЛЬНОЕ ПРЕДСКАЗАНИЕ И ФИЛЬТРАЦИЯ

В ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Этой главой начинается изложение теории оценок.

Вначале

излагается

общая постановка задачи

оценки,

в которой

измерение

и состояние динамической

системы

считаются произвольными случайными процессами с дис­ кретным временем. Решение этой задачи дается теоремой 5-1, имеющей фундаментальное значение в теории оце­ нок.

Затем доказываются следствие к теореме 5-1, а так­ же две дополнительные теоремы для частных случаев основной задачи.

В § 5-2 и 5-3 доказанное следствие используется при построении алгоритмов оптимального предсказания и оптимальной фильтрации для модели системы из § 4-2.

176

Эти алгоритмы являются центральными результатами главы.

Хотя в дальнейшей работе используется только тео­ рема 5-1 и ее следствие, в главу включены еще две тео­ ремы, чтобы дать читателю более глубокие сведения из теории оценок и подвести к мысли о том, что получен­ ные здесь частные результаты представляют довольно общее описание теории.

5-1. ОПТИМАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ В ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ

Формулировка задачи

Рассмотрим динамическую систему 5, состояние которой представляет собой л-мерный случайный процесс

с дискретным

временем

{x(k),

kŒl}, где

I = {k

: k = Q,

1, ..., N}, либо

/ = {k : k = 0,

1 . . . } . Требуется

определить

значение x(k)

для некоторого

заданного

k,

если

x(k)

недоступно

непосредственному

наблюдению.

Предполо­

жим,

что

полученные

последовательные

измерения

г(1),

..., z(j)

связаны

с

x(k)

посредством

некоторой

измерительной

системы М,

как

показано

на

рис. 5-1, и

требуется использовать эти данные, чтобы сделать за­

ключение о значении

x(k).

Предполагается,

что

{z(i),

/ = 1 ,

..., /} — m-мерный

случайный

процесс с дискретным

временем.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как для оценки x(k)

известны только

измерения

г(1),

..., z(j),

обозначим

 

оценку

x(k), полученную

на

основе этих измерений,

через x(k\j)

и определим

ее как

я-мерную вектор-функцию

измерений:

 

 

 

 

 

 

х(Ь\]')=щ[г(і),

 

і=1,

/]•

 

 

 

 

Задача оценки представляет собой задачу определе­

ния

функции

ерь некоторым

рациональным

и

обоснован­

ным

способом.

Если £ > / ,

задача

называется

задачей

предсказания,

если &=у, это задача фильтрации,

а если

£ < / , — задача

сглаживания

 

или

интерполяции.

 

 

Принятый здесь метод решения этой задачи основан

на рассмотрении

ошибки

оценки,

которая

определяется

соотношением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(k\j)=x(k)-x(k\j).

Такое определение имеет геометрическую интерпре­ тацию, показанную на рис. 5-2.

12—85

177

В

идеальном

случае

x(k\j)=0,

и

оценка

является

точной. Если

х(к\])фС>,

установим

штраф за

неправиль­

ную

оценку,

определяя

функцию

штрафов

или

потерь

L = L[x(k\j)],

которая

имеет

следующие свойства:

 

1)

L — скалярная

функция

ѣ переменных;

 

 

2)

L ( 0 ) = 0 , где нуль

в

скобках

означает

нулевой

л-вектор;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) L[xh{k\i)\^L{xa(k\i)]

 

 

 

всегда,

если

 

 

p[xb(k\j)]^

^p[xa(k\j)],

где

р — скалярная неотрицательная

выпу-

 

с

к л

 

ъ(і)

 

 

 

 

 

 

 

 

О

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5-1. Структурная схема

 

 

 

 

 

 

динамической системы 5 с век­

Рис. 5-2. Геометрическая

тором состояния

x(k)

и

изме­

рительной

системы M с

векто­

интерпретация

 

ошибки

ром измерения

г(і).

 

 

 

оценки.

 

 

 

 

клая функция п переменных, т.

е.

р{кх+(1—Х)г/]<!

<;Яр(х)+(1—Х)р(у)

для любых

n-мерных

векторов х

и у при

1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

L[x(k\j)]

=

 

L[-x(k\i)].

 

 

 

 

 

 

Первое свойство выбрано

 

для

удобства,

т. е. штраф

считается скалярным из-за аналитической простоты та­ кого описания. Второе свойство просто утверждает, что в случае точной оценки не накладывается никакого штрафа. В третьем свойстве р является мерой расстоя­ ния ошибки x(k\j) от начала координат «-мерного евкли­ дова пространства, a L определяется как неубывающая функция этого расстояния. Таким образом, чем ближе x(k\j) к нулю, тем меньше штраф. Четвертое свойство означает, что функция Ь[-] симметрична относительно нуля. Функция потерь, обладающая всеми этими четырь­ мя свойствами, называется допустимой функцией потерь.

Следует заметить, что L не обязательно должна быть выпуклой функцией.

Типичные примеры допустимых функций потерь:

1.Ч 2 ( А | / ) ] = І « < І - М * | / ) | .

178

где а г - ^ 0 , но не все <ХІ тождественно равны нулю.

2. L[x(k\j)}=a\x{k\j)\\

где а ]> 0, р — положительное целое число и

 

 

 

 

 

 

И/2

 

 

 

 

 

 

 

 

S

- 2

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L [x (k I /)] =

а, {1 — ехр [ — а, I x (Ä I /)

| 2 ] } ,

 

где

а,

и

а , > 0.

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L[x(Ä|/)] = f 0

д л я

С ( ^ ' ) І 4 < а -

 

 

 

 

 

 

) ц

для

| х ( / с | / ) ; ' а,,

 

 

где

а,

и

f i > 0 .

 

 

 

 

 

 

 

Так

как x(k) и х (£ |/) —случайные

векторы,

отсюда

следует,

что x(k\j)

также

случайный

вектор,

a

L—слу­

чайная величина. Для того чтобы получить полезную

меру

потерь,

определим

критерий

качества

J как сред­

нее значение L , т. е.

 

 

 

 

 

 

J[x(k\j)]

= E{L[x(k\j)]}.

 

(5-1)

Для допустимой функции потерь, очевидно,

 

 

 

J[xb(k\j)]p>J[x*(k\j)]

 

 

 

всегда, если L[xb(k\j)]p>L[xa(k\j)].

Следовательно, / —

неубывающая

функция

потерь.

Говорят,

что

оценка

x(k\j),

минимизирующая J[x(k\j)],

является

«наилуч­

шей» или оптимальной

оценкой.

 

 

 

Заметим, что оптимальная оценка минимизирует не потери, а среднее значение потерь. Следовательно, под

оптимальной оценкой

здесь

подразумевается оценка,

«оптимальная в среднем».

 

 

Постановка

задачи

 

 

По данным

измерениям

z ( l ) , ..., z(j)

определить

оценку

 

 

 

 

x(k\j)

=

<?k[z{i),i

= 1,2,...,/]

 

12*

179

Смотрите также файлы