Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

Г л а в а ш е с т а я

ОПТИМАЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕ В ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

В настоящей главе исследование оптимальных оце­ нок в дискретных линейных системах распространяется на задачу сглаживания. Напомним, что эта задача свя­ зана с оценками состояния системы вида

где j>à, т. е. момент времени, на который требуется по­ лучить оценку состояния системы, расположен на шкале времени левее момента последнего измерения z(j).

Из следствия 5-1 известно, что сглаживание, опти­ мальное для любой допустимой функция потерь, опи­ сывается формулой

x(k\j) = E[x(k)\z(\),...,z(j)]t

а поскольку условное математическое ожидание опре­ деляется единственным образом, можно утверждать, что оптимальное сглаживание также единственно.

Здесь рассматривается вопрос, как использовать при­ веденное выше соотношение для получения алгоритмов сглаживания данных в модели системы (5-14), (5-15). Точнее задачей данной главы является построение ре­ куррентных алгоритмов, позволяющих проводить эффек­ тивное сглаживание с помощью ЭВМ. Однако сначала оказывается удобным классифицировать задачи сглажи­ вания в соответствии с возможными соотношениями между двумя индексами времени k и /. Потребность в та­ кой классификации возникает в силу того, что оба эти индекса или один из них могут быть переменными. На­ пример, может потребоваться алгоритм, рекуррентный по / при постоянном k, или наоборот. Хотя возможно раз­ биение задачи на многочисленные классы, в § 6-1 описа­ ны только три класса, причем введение каждого мотиви­ руется рассмотрением приводящих к нему практических задач.

Построение алгоритмов оптимального сглаживания начинается с § 6-2, где исследованы задачи одно- и двухшагового оптимального сглаживания и получены алго-

230

для первых двух задач оптимального сглаживания с ис­ пользованием метода индукции.

Алгоритм для третьей задачи оптимального сглажи­ вания получен в § 6-5 с помощью алгебраических преоб­ разований оптимальных алгоритмов для двух других за­ дач сглаживания.

Три алгоритма оптимального сглаживания, приведен­ ные в этой главе, принадлежат Рауху [Л. 6-1], Карлтону [Л. 6-2], Рауху и др. [Л. 6-3]. Однако метод получения алгоритмов здесь несколько иной и больше соответст­ вует работе Медича [Л. 6-4].

6-1. КЛАССИФИКАЦИЯ З А Д А Ч СГЛАЖИВАНИЯ

В настоящей главе рассматриваются три задачи сглаживания для модели состояния (5-14):

Рассмотрим эксперимент, в котором требуется за­ пустить спутник с Земли и вывести его на околоземную орбиту. Поскольку невозможно создать вполне точные системы управления и двигательные системы, нельзя ожидать, что спутник будет двигаться точно по расчет­ ной траектории при старте, ускорении и выводе на орбит ту. Тем не менее окончательная орбита обычно достаточ­ но близка к расчетной. Если это не так, иногда можно позднее провести небольшую коррекцию движения спутт ника для исправления его орбиты. В любом случае желат

231

тельно определить качество работы системы управления и двигателя в начальной фазе полета: при старте, уско­ рении и выводе на орбиту. Ответ на такие вопросы, как: насколько близко к расчетной траектории движется спут­ ник? какие источники ошибок в системе управления вносят наиболее существенный вклад в отклонение спут­ ника от расчетных условий полета? на каких интервалах времени двигатель обеспечивал слишком малую или слишком большую тягу и какова была величина этих отклонений тяги? позволит не только оценить качество запуска, но и поможет указать слабые места конструк­ ции, которые можно будет устранить при последующей доработке аналогичных систем.

Для того чтобы ответить на эти и другие вопросы, данные телеметрии и траекторных измерений, получен­ ные в течение всего полета спутника, фикси­ руются и обрабатываются. Так как эти данные подвер­ жены ошибкам, обычно приходится использовать спе­ циальные схемы оценки для уменьшения влияния оши­ бок.

Линеаризуя модель полета, в том числе динамику по­ лета, динамику системы управления и двигательной си­ стемы, а также модель траекторных и телеметрических измерений относительно некоторого соответствующего набора номинальных условий, обычно можно получить линейную модель вида (5-14), (5-15). Ясно, что тогда ал­ горитм оптимальной фильтрации (см. теорему 5-5) мож­ но использовать для фильтрации расчетных параметров.

Предположим, что за время старта, ускорения и вы­ вода на орбиту получены измерения в N моментах вре­

фильтрации вычислены оптимальные оценки состояния

мента k, но и после него. В силу этого хотелось бы знать,

можно ли «улучшить» оценки {x(k\k), k = 0, 1 .. .}, ис­ пользуя дополнительно полученные данные. Например, для N = 200, iß = 51 можно задать вопрос, является ли

232

оптимальное сглаживание состояния х(51) на основе 200 известных измерений «лучшей» оценкой состояния в этот

момент времени, чем текущая оценка %(51|51). Интуи­ ция подсказывает, что ответ на этот вопрос должен быть положительным, поскольку первая оценка основана толь­ ко на 51 измерении, а вторая — на 200. Хотя и нет абсо­ лютной априорной гарантии того, что оценка х(51|200)

«лучше», чем х(51|51), тем не менее общее исследование этого вопроса является желательным.

Сложившуюся ситуацию можно описать в общем ви­ де следующим образом. После окончания эксперимента известны данные измерений на закрепленном интервале [0, N]. Для каждого момента времени k на этоминтер­ вале требуется получить оптимальную оценку состояния

чается в получении эффективной процедуры для ее рас­ чета.

сглаживания на закрепленном интервале, а соответст­ вующий оптимальный алгоритм будет рекуррентным в «обратном» времени.

Здесь уже был дважды использован оборот «после окончания эксперимента». Это указывает на послеэкспериментальный характер задачи сглаживания на закреп­ ленном интервале времени. Такое сглаживание нельзя проводить во время эксперимента, как обычно проводит­ ся оптимальная фильтрация. Сглаживание на закреп­ ленном интервале может быть полезным после оконча­ ния эксперимента для улучшения оценки состояния си­ стемы, полученной ранее с помощью алгоритма филь­ трации. Читатель легко может найти многочисленные примеры, в которых такое сглаживание было бы жела­ тельным, например, оценка поведения самолета при про-

233

ХожДеМии им различных полетных испытаний, оценка протекания химических процессов при конструировании прототипов промышленных систем, послеэкспериментальная обработка сейсмических данных в геологии и др.

спутника на орбиту обычно производятся с помощью многоступенчатой ракеты, моменты времени окончания работы одной ступени и начала работы следующей так­ же являются критическими.

Предположим, что после вывода на орбиту на протя­ жении 10—15 витков за спутником следит сеть наземных

ным сглаживанием в закрепленной точке. Так как время последнего измерения априори может быть неизвестным, в уравнении (6-2) можно считать его переменным.

Как и ранее, желательно получить рекуррентный ал­ горитм, который может быть использован для обработки данных по мере их поступления.

Такие алгоритмы полезны в различных ситуациях. Кроме примера, рассмотренного выше, приведем задачу определения начальных концентраций реагирующих ве­ ществ, участвующих в химическом процессе, по резуль­ татам измерений температуры, давления и концентрации в течение реакции.

234