Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

число. Уравнение (6-3) описывает так называемое сгла­ живание с постоянным запаздыванием. Это название возникло в силу того, что здесь оценивается состояние системы в момент времени, запаздывающий на постоян­ ную величину N относительно времени последнего изме­ рения, т. е. 4+i\r—^fc = const>0 для всех k = 0, 1. . .

Этот вид оценки является естественным обобщением

понятия оптимальной текущей оценки x(k]k). При филь­ трации время, на которое требуется получить оценку со­ стояния, и время последнего измерения совпадают, т. е. оценка и измерение «перемещаются вместе». С другой стороны, оптимальное сглаживание с постоянным запа­ здыванием является противоположностью так называе­ мому оптимальному предсказанию с постоянным упреж­ дением:

Полезность исследования третьей задачи сглажива­ ния можно обосновать теми же соображениями, что и первые две задачи. Иными словами, такое сглаживание, по-видимому, должно быть точнее, чем предсказание или фильтрация:

В § 6-5 получен рекуррентный алгоритм оптимально­ го сглаживания с постоянным запаздыванием. Этот алго­ ритм можно использовать для сглаживания вновь по­ ступающих данных в задачах, допускающих запаздыва­ ние оценки относительно измерения. Например, рассмо­

В ы з ы в а е м о й а т м о с ф е р н ы м и и а н т е н н ы м и ш у м а м и . Ло-

235

гично для выделения передаваемого сигнала из прини­ маемого использовать алгоритм оптимальной фильтра­ ции. В принципе его можно реализовать параллельно с получением сигнала и рассчитывать текущую оценку передаваемой информации. С другой стороны, если до­ пустима постоянная задержка между моментом приема сигнала и его оценкой, то можно использовать алгоритм сглаживания с постоянным запаздыванием для расчета

оценки состояния вида x(k\k + N), которая, по-видимому,

«лучше», чем оценка x(k\k).

Вообще говоря, оптимальное сглаживание с постоян­ ным запаздыванием оказывается наиболее привлекатель­ ным в задачах связи и передачи телеметрической инфор­ мации, где аналогия с оптимальной фильтрацией оче­ видна.

6-2. О Д Н О - И Д В У Х Ш А Г О В О Е ОПТИМАЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕ

Одношаговое оптимальное сглаживание

Вначале получим алгоритм оптимального одношагового сглаживания x(k\k-\-\) при заданном k = 0, 1... Способ доказательства здесь в основном совпадает с доказа­

236

имеют совместное гауссовское распределение с нулевым математическим ожиданием, второе слагаемое равно:

Из уравнения (5-27) следует, что второе слагаемое равно нулю для всех к. Тогда, подставляя в это выра­ жение ошибку предсказания

237

Заметим, что попутно мы получили результат

Уравнение (6-12) представляет собой алгоритм опти­ мального сглаживания. Его структура совпадает со структурой фильтра Калмана. Этот результат не являет­ ся слишком неожиданным. Здесь корректирующий член (невязка, умноженная на матрицу передачи) прибав­ ляется к оптимальной текущей оценке, а не к оптималь­ ному предсказанию, как в фильтре Калмана. Матрица передачи M(k\k + l) разумеется, отличается от K(k + \ ) , Позднее будет показано, что в одной интерпретации уравнения (6-11) матрица /С(&+1) является сомножите­ лем в матрице M(k\k + \ ) .

23$.

оШибки предсказания или фильтрации [см. уравнений (5-49) и (5-78)], матрица M(k\k + \) не зависит от кор­ реляционной матрицы ошибки одношагового сглажива­ ния

P(k\k+\)=E[x(k\k+\)x'(k\k+\)l

является частным случаем более общих результатов, ко­ торые будут получены позднее.

Ясно, что входным сигналом сглаживающего фильтра для каждого k является оценка x(k | k). Это означает, что оптимальное одношаговое сглаживание не может быть реализовано без оптимальной фильтрации. Кроме того, для вычисления матрицы M(k\k + l), очевидно тре­ буется знание матриц P(k\k) и P(k + \\k), которые можно получить в результате решения задачи фильтра­ ции. Следовательно, оптимальный одношагозый сгла-

От оптимального фильтра

Х(к\к)

От оптамального фильтра."

к=0,1,...

Рис. 6-1. Структурная схема оптимального одноша­ гового сглаживающего фильтра.

уравнение (6-12) позволяет получить алгоритм сглажи­ вания:

239