Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

x(k\j)

ТОЛЬКО ДЛЯ / = ife+l.

3.

С постоянным запаздыванием,

равным

единице,

т. е. уравнение

описывает

все оценки

вида x(k\k + N)

при N = \, ft = 0,

I ...

Для дальнейшей работы уравнения (6-11) и (6-12)

необходимо представить в

другом виде. Чтобы

сделать

Н'{к + \){Н{к+\)Р{к

+ \\к)Н'{к

+ \)+Р{к

+

\)]-^

= P-i(k + l\k)K(k

+ \ ) .

(6-13)

Тогда уравнение (6-11) можно представить в виде

M(k\k+l)=A(k)K{k+\),

(6-14)

где

Л(А) = Я ( А | А ) Ф ' ( А + 1 , k)P~l{k

+

\\k).

Подставляя уравнение (6-14)

в уравнение (6-12), по­

лучаем:

x (k I ft + 1) = л (ft

I ft) + A (ft) К (ft +

1) [г (ft+1)

-

— Я (ft - f j ) Ф (ft - f 1, ft) x{k

I

ft)].

(6-15)

Так как вектор

К(к+1)г(к+і\к)

> А (к)

=ф®

у>х(к\н+ц

От оптимального

фильтра.

к=0,!,..

K(k-\-l)[z{k+

l ) - H { k +

1)Ф(* +

1, k)x(k

I k)]

=

=

X(k+l

\k-\-\)

- Ф ( 6 + 1 ,

k)x{k

I

k)=

=

x{k+l

\ k+l)-x{k+l

\ k),

(6-16)

так что уравнение

(6-15) можно переписать

ъ

виде

x{k

I k-\-

l) =

x{k

I Ä)

+

+ Л ( £ ) [ * ( £ + 1

I Л + 1) — je(Jfe +

1 I *)]

(6-17)

для & = 0, 1, ..., где

A(k)=P(k\k)0/(k+\,

k)P-i(k+l\k).

(6-18)

Ясно,

что для

вычислительных целей

формулировка

в виде

(6-11), (6-12)

предпочтительнее,

чем

(6-17),

(6-18), так как в первом случае отсутствует

вычисление

матрицы

P~l(k

+ \\k).

Тем не менее в дальнейшем

пос­

ледняя формулировка

будет

использоваться

чаще, по­

скольку она более удобна для анализа.

Двухшаговое

оптимальное

сглаживание

x(k\k + 2)=E\x{k)\z{\),

. . . . z(k + l), z(k + 2\k + \)].

x(k\k+2)=E[x(k)\z(l),

....

z(k

+ l)] +

+E[x(k)\z(k

+ 2\k + l)].

Это соотношение можно представить в виде

x(k I k + 2) = x(k I k+l)

+ P „PZlJ{k

+ 2 I 6 + 1 ) ,

X г

г г

16—85

241

х~г

P~7=E

[z(k + 2 \ k+\)z'(k-r-2

I

же является

x

г

Из

уравнения

сравнительно

несложным.

(6-4) получаем:

z(k+2\k+\)=H{k

+ 2) г ( А + 2 | Л - И )

+ v(k + 2),

так что

P„ =

E[x{k)x''{k

+

2\k+\))

Я'(*

+ 2 )

+

P^=E[x{k)

X' {k +

2 I k +

1)] Я' (£+ 2).

(6-21)

Увеличивая значения индексов времени в (6-6) на

единицу,

получаем:

x{k

+ 2

I А + 1 ) « = Ф ( £ +

2 , £ +

1)*0Ч - 1

I £ + к 1 )

+

+

Г(й + 2,

l ) t » ( Ä + 1).

(6-22)

Теперь из уравнений (6-21)

и (6-22),

а также из

справедливого для всех k соотношения

E[x(k)w'(k+\)]

= 0

[см. уравнение (5-25)], следует равенство

Р~ =

E [x (k) x' (k -f- 1J k +1) ] Ф ' [k + 2, k - f 1 ) Я' (Ä - f 2)

для ß = 0,

1 . . .

(6-23)

Но согласно уравнению (5-61)

- г

x{k + \\k + \)^[I—K(k+\)H{k

+ \)]x{k+l\k)

—

—K(k

+ l)v(k +

l).

Подставляя

этот

результат

в уравнение

(6-23)

и за­

мечая, что в силу уравнения

(5-27)

E[x(k)v'(k+l)]=Q

для

всех k,

получаем:

Р~ =

Е \x{k)x'

1 I k)] \I -

К (k - f 1)

x

Х # ( А

+ 1 ) ] ' Ф ' ( А + 2 ,

k+ \)H'{k-\-2).

(6-24)

Подставляя

выражение

для

E[x(k)x'(k

+11 k)]

m

(6-9) в уравнение (6-24), имеем:

Р~=Р~&

I k)V(k+\\,k)[i-K{k

+

\)H{k

+

\)\'x

Х Ф ' ( Н 2 ,

6 +

l)H'{k-\-2).

(6-25)

Теперь в силу определения матрицы M из уравнений

(6-20) и (6-25) следует:

M(k

\ k-\-2)

=

P~PZl

=

=

P(k I & ) > ' ( £ + 1 , 6 ) [ / _ / С ( £ + 1 ) / / ( і Ц - 1 ) ] ' Ф ' ( £

+

2,

6 + 1 ) Я ' ( 6 +

2)[Я(6 +

2)/3 (6 + 2 I 6 + 1)Я'(6 +

2)

+

+ /?(6 +

2 ) ] - ' .

(6-26)

Полагая, что матрица

Р _ 1 ( £ + 1|6)

существует,

с уче­

[i—K(k+i)H(k+i)]=P{k+i\k+i)x

ХР~1(к+1\к)

и

[i—K(k+i)H(k+i)Y=p-4k+\\k)x

XP(k + \\k+\),

(6-27)

Увеличивая в уравнении

(6-13) значения

индексов

времени на единицу,

получаем:

H'(k + 2)[H{k

+ 2)P{k

+ 2\k+l)H'(k+2)

+

+ R(k + 2)]ri = P-i{fi

+ 2\k+l)K(k

+ 2)

(6-28)

16»

243