Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

Внешнее

произведение

m-вектора х и п-вектора у

определяется

как

матрица

размера

тХп:

ХіУі

Х\Уг

•

•

ХхУп

ху'

—

х2у,

Х2У2

•

•

%іУп

I

%тУі

%тУ2

•

•

%тУп I

Очевидно,

матрица

хх'

симметрическая.

Определитель

и обратная

матрица

п

/=і

для любого і=\,...,п.

Здесь

Уа={—\)і+5\ии

где Hij — определитель

матрицы

размера

(п—1)Х

X (л—1), полученной при вычеркивании из матрицы А

строки

и

столбца,

в которых

расположен элемент

ац.

Скаляры

yij и u,j

называются

соответственно

алгебраи­

ческим

дополнением

и

минором

ац.

Матрица

\\уц\\

раз­

Напомним также следующие свойства \А\,

известные

из элементарной алгебры:

1. Если все элементы в какой-либо строке

(столбце)

матрицы А равны нулю, то \А \ — 0.

менты

любой другой строки

(столбца), то

значение

оп­

ределителя матрицы не изменится.

5.

Для двух матриц А

и В размера

пХп \АВ\

=

-\А\\В\.

Вновь рассмотрим

выражение для

| Л | .

Если

заме­

нить в нем элементы

ац на элементы

а^,

іфк,

то ре­

равными. Следовательно, согласно свойству

3,

п

для любых і и к,

іфк.

Теперь

можно объединить

оба

выражения

и записать

п

Отсюда

и из определения

ad] А сразу следует, что

A adj Л =

IЛI

•/.

Разделив обе

части равенства

на \А\, получим:

рицу

А справа,

то

в

результате

получится

единичная

матрица. Эту матрицу

называют

обратной

матрице

А и

обозначают Л - 1 . Тогда

Л Л _ 1 = /. Аналогично имеем,

что

А~ІА=І.

С помощью обратной матрицы можно ввести естест­

венное определение нулевой степени

матрицы: Л _ 1 Л = Л ° ,

т. е. Л° = /

при |Л

I

ФО.

Если

| Л | = 0 ,

то

определение

обратной

матрицы

те­

ряет

свой

смысл

и

говорят, что матрица А

сингулярна.

Если

Л-—несингулярная

матрица,

то можно

показать,

что обратная матрица Л - 1 является единственной.

Доказательство

того,

что

для

несингулярной

матри­

цы А

справедливо

равенство

( Л ' ) _ 1 = ( Л - 1 ) ' ,

т.

е.,

что

Теперь допустим, что Л и В — несингулярные

матри­

цы размера пХп. Предположим, что матрица AB

несин­

гулярна, и обозначим:

С=АВ.

Тогда

ясно,

что

А~1С*=В

и, следовательно,

что

Тогда

В-ІА~І

= С-І

и

справедливо

соотношение

(АВ)-і = С-\

Квадратная

матрица А,

для

которой

А~Л = А',

назы­

вается

ортогональной

матрицей.

Для

такой

матрицы,

очевидно, А'А = І.

Теперь приведем две возможные интерпретации ли­

нейного

преобразования.

При известных

я-векторе х_и

- L

X,

Рис. 2-1. Представление

одно-

то вектора в двух разных си­

стемах

координат.

Рис.

2-2.

Представле­

матрице

А

размера

тХп

ние

линейного

пре­

образования как

по­

рассмотрим

соотношение

z =

ворот

и

масштабиро­

= Ах.

Предположим,

что

т =

вание

вектора.

= п.

Тогда

одна

из

возмож­

ных интерпретаций

линейного

преобразования

заклю­

чается в том, что z

и X есть

один

и тот же вектор, но си­

стемы

координат, в которых они записаны, различны. Это

координат,

желательно иметь

возможность

переходить

от одной системы к другой. Для перехода в

одну

сто­

рону

можно

использовать формулу

z = Ax.

Чтобы

вер­

нуться, требуется применить формулу

х = А~*г,

а это

оз­

начает, что матрица А в этой интерпретации

должна

быть

несингулярной.

Во

второй интерпретации

предполагается,

что

оба

стема

координат, матрица

А не

обязательно

должна

быть

несингулярной.

В

случае,

когда тфп,

говорят, что преобразова­

ние является

проекцией. Например,

если Л = ||0

1||, а х—

двумерный вектор, то

: Л Х = | | 0

1

Тогда

A-i{t)A{t)

=1.

dA

dt

= 0,

так

что

JL

(À-1)

=

-A-1ÀA~l.

dt

Линейная

независимость

и ранг

матрицы

Набор из k я-векторов х1 , ..., xh

называется

линей­

но

зависимым,

если

существует такой

набор

k постоян­

ных си, •.., ah,

из которых

по

меньшей

мере

одна

отлич­

на от нуля, что