Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 227
Скачиваний: 1
ДЛя |
ip>U, где х—х(і). |
В уравнении (2-1) |
х — п-вектор" |
|||
называемый состоянием |
системы; |
w—р-вектор, называе |
||||
мый |
возмущением; |
и — г-вектор, |
называемый |
управле |
||
нием; |
t — время; |
F(t)—матрица |
размера |
пХп; |
G(t) — |
|
матрица размера |
пХр; |
C(t)—матрица |
размера |
пхг. |
||
Предполагается, что эти три матрицы, обычно называе
мые матрицами |
|
системы, непрерывны |
по времени. |
|
||||
Также предполагается, что начальное время U фик |
||||||||
сировано и начальное состояние x(t0) |
известно. |
|
||||||
Элементы |
х |
называются |
переменными |
состояния, |
||||
а элементы w |
и |
и |
соответственно |
переменными |
|
возму |
||
щения и управления. |
Векторы х, w |
и и обычно |
называют |
|||||
соответственно |
|
векторами |
состояния, |
возмущения |
и |
|||
управления. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пока w(t) и u(t) считаются произвольными функ циями, интегрируемыми по Риману для всех i^U.
Предположим, что выходные сигналы датчиков, пред назначенных для наблюдения за поведением системы (2-1), можно описать с помощью соотношения
|
|
|
z ( 0 - / / ( / ) * ( / ) + » ( / ) . |
|
(2-2) |
||
В |
уравнении |
(2-2) |
z— m-вектор, называемый |
векто |
|||
ром |
измерения, |
ѵ — m-вектор, |
называемый |
вектором |
|||
ошибки измерения, |
a |
h'(t)—непрерывная |
матрица раз |
||||
мера |
тХп, |
которая |
связывает |
состояние и измерение. |
|||
Ее обычно называют |
матрицей |
измерения. |
Вектор z ино |
||||
гда также |
называют |
вектором |
выхода |
системы. |
|
||
Компоненты z называют |
измерениями |
или |
измеряе |
||||
мыми |
переменными, |
а компоненты |
ѵ—ошибками |
измере |
|||
ния |
или |
переменными |
шума |
измерения. |
Пока v(t) счи |
||
тается произвольной |
функцией для |
всех |
t^t0. |
|
|||
Система, описываемая уравнениями (2-1) и (2-2),на |
|||||||
зывается |
непрерывной |
линейной |
системой. Под |
непре |
|||
рывностью здесь понимается непрерывность времени t. Структурная схема такой системы показана на рис. 2-3, где используются двойные линии, чтобы подчеркнуть векторный характер сигналов.
При исследовании таких систем будет предполагать ся, что известны только векторы измерения z(t) и управ ления u(t). При обработке первого вектора требуется определить, как действует система. Изменения второго вектора имеют своей целью заставить систему действо вать некоторым желаемым образом. Поэтому w{t) и
3* |
35 |
й |
v(t) являются нежелательными |
сигналами, которые |
|||
следует по возможности |
компенсировать. |
|
|||
|
Приведем |
несколько |
примеров, |
чтобы |
показать, как |
на |
практике |
может возникнуть подобная |
система. |
||
Рис. 2-3. Структурная схема непрерывной линейной системы.
Пример 2-1. Исследуем упрощенную модель задачи управления
самолетом по углу рыскания в горизонтальном полете. Предположим,
что |
порывы |
ветра |
разворачивают |
са.молет относительно требуемого |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
направления |
и требуется корректировать |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ошибки рыскания с помощью соответст |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
вующих |
отклонений |
руля. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Будем |
рассматривать |
только |
|
пло |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ское движение, считая самолет твердым |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
телом в виде отрезка прямой и полагая |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
угловые |
отклонения |
малыми. Графически |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
эта |
модель |
изображена |
на |
рис. |
2-4. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
Ѳ — ошибка |
рыскания, а |
<р — от |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
клонение руля. Ось рыскания, проходя |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
щая через центр тяжести, нормальна |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
плоскости |
чертежа. |
Предполагается, |
что |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
самолет имеет относительно этой оси |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
момент |
|
инерции |
/, |
восстанавливающий |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
момент |
|
|
пропорционален |
отклонению |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
руля, а вязкое сопротивление вращению |
|||||||||||||
Рис. |
2-4. |
Схематическая |
со |
стороны |
воздуха |
и |
связь |
|
между |
|||||||||||
углами |
|
рыскания |
и крена |
пренебрежимо |
||||||||||||||||
модель |
динамики |
само |
|
|||||||||||||||||
малы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
лета. |
|
|
|
|
|
|
|
|
силу |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
в |
второго |
закона |
Нью |
|||||||||
/ — осевая |
линия |
самолета; |
|
|
||||||||||||||||
тона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 — расчетное |
направление; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 — ось |
рыскания; 4 — руль. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
ki |
— коэффициент пропорциональности между |
отклонением |
руля |
||||||||||||||||
и восстанавливающим моментом (йі>0); vjB(t)—момент, |
вызывае |
|||||||||||||||||||
мый порывами |
ветра. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Разделив |
уравнение на / |
и обозначая |
Ь— |
— kJJ, |
u(t) |
= |
f(t) и |
||||||||||||
w{t) |
— wt |
(t)/J, |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
13 = |
bu(t) |
+ |
w(t). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Полученное дифференциальное уравнение имеет второй порядок. Поэтому кроме знания функций u(t) и w(t) для нахождения его ре шения при t^tt, требуется задать два начальных условия: Ѳ(/о) — начальную ошибку по углу рыскания и 0 (fo) —начальную ошибку по скорости изменения угла рыскания.
Вводя переменные |
*і = Ѳ и |
А2 = Ѳ = іі, |
запишем уравнение систе |
||||
мы в следующем виде: |
|
|
|
|
|
|
|
или, что то же самое, |
|
X2=bu(t)+w(i) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
X = |
0 |
1 |
х + |
0 |
И 0 + |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
u(t). |
|||
|
|
|
|
b |
|||
где
— вектор состояния, состоящий из двух физических величин: ошибки по углу рыскания и ошибки по скорости изменения угла рыскания.
Сравнивая полученный результат с уравнением (2-1), можно ви деть, что в рассматриваемом случае
F(t): |
011 |
G ( 0 = |
о |
о о |
С ( о = |
||
|
|
|
|
а возмущение w(t) |
и управление u(t) |
являются скалярами. |
|
Предполагая, что ошибки по углу |
рыскания и скорости его изме |
||
нения можно измерять на борту самолета с помощью инерциальной системы, уравнение измерения можно записать в виде
2«) =
где
I) 2і (О z ( 0 = I (О
• вектор измерения;
v(t) |
f. (О |
I |
|
" (О |
I |
||
|
— вектор ошибки измерения, т. е. »Vi (t) — ошибка измерения угла рыскания, a ѵг(і)—ошибка измерения скорости изменения угла рыскания. Сравнивая этот результат с уравнением (2-2), получим:
О
о
Пример 2-2. Рассмотрим линеаризованную модель двигателя по стоянного тока с постоянным током возбуждения и нагрузкой в виде сил инерции и вязкого трения. Задача заключается в регулировании углового положения Ѳ и угловой скорости 0 выходного вала с по-
37
Мощью изменения напряжения якоря ея . Схема модели показана на
рис. 2-5, где У — инерционная |
нагрузка; в — коэффициент |
жидкого |
трения; R — сопротивление цепи |
якоря; L — индуктивность |
цепи яко |
ря; ія —• ток якоря; е я — напряжение якоря; е п — противо-э. д. с. якоря; і„ = const — ток возбуждения.
Рис. 2-5. Схема электродвигателя постоянного тока с управлением по цепи якоря.
Предположим, что выходной момент, создаваемый двигателем, пропорционален току якоря с коэффициентом пропорциональности Км,
а противо-э. д. с. пропорциональна |
угловой |
скорости е п = Кп Ѳ, где |
Кп = const >0. |
|
|
Для механической части системы согласно второму закону Нью |
||
тона имеем: |
|
|
/ Ѳ ' = - В Ѳ + |
К„І,. |
(2-3) |
Для цепи якоря из закона Кирхгофа следует:
L '^ЗГ + Ri* + е* = е*- |
<2"4) |
Так как первое уравнение второго порядка, а второе уравнение первого порядка, то в качестве переменных состояния выберем вели чины Ѳ, Ѳ и ія.
Действуя дальше так же, как и в примере 2-1, запишем:
|
Ѳ =—Т |
|
9 + ^ 4 |
|
|
(2-5) |
|||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dim |
R |
|
|
Кв |
• |
|
|
1 |
|
— |
|
- 5 г = — |
Г |
'« - |
" Г в |
+ |
|
Т " ««• |
|
( 2 - 6 ) |
||
Обозначим: |
/ 2 |
= |
К „ / / ; |
ft |
= |
-K„/L; |
f4 |
=*-R/L; |
|||
c=\/L; |
X , = 9; x 2 = Ѳ"; xt |
= is. |
Так как ев |
— входная |
управляющая |
||||||
переменная, положим ев = и. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теперь систему уравнений |
(2-5) |
и |
(2-6) можно |
представить |
|||||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Хі = хг ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х% = |
f\Xz -\- |
fiXj, |
|
|
|
|
|
|||
|
х3 = |
ftx2 |
+ |
hx3 |
+ |
си (t) |
|
|
|||
38
или, полагая |
|
|
|
X, |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
х |
|
|
X* Д |
Ѳ |
|
|
|
можно записать: |
|
|
|
X, |
|
Ч |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
X = 0 h ft |
|
X + |
0 |
и (О- |
|
|||
|
|
0 |
h h |
|
с |
|
|
||
Полагая, что измерения проводятся с помощью |
амперметра в це |
||||||||
пи якоря и датчика положения |
(угла) на выходном валу, получим |
||||||||
вектор |
измерения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z{t) = |
|
О О |
x(t) |
+ |
v(t). |
|
||
|
О |
0 |
1 |
|
|||||
В этом случае |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Щ (О |
|
|
|
|||
|
|
|
»(0 |
= |
|
|
|
||
|
|
|
0| (О |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где vi(t) |
—ошибка |
измерения Ѳ(/), a Vz(t)—ошибка |
измерения і я ( 0 - |
||||||
В общем случае число переменных состояния опреде |
|||||||||
ляется |
порядком |
системы |
(третий |
порядок в последнем |
|||||
примере, второй в примере 2-1). Однако выбор перемен ных состояния не однозначен.
Проиллюстрируем это утверждение на примере 2-2.
Решая уравнение (2-3) относительно ія |
и подставляя ре |
||||||||
зультат |
и соотношение |
е п = К п Ѳ в уравнение |
(2-4), |
полу |
|||||
чаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Группируя члены, имеем: |
|
|
|
|
|||||
|
LI J . LB + RJ g , RB + KMKn |
|
|
|
|||||
|
Км |
-Ки |
|
|
|
КМ |
|
|
|
Перепишем это выражение в виде |
|
|
|
||||||
|
• f i _ |
LB + RI |
fi- RB -f- |
KKKn |
|
|
(2-7) |
||
|
" — |
и |
' " |
и |
u I |
и |
|
||
|
|
|
|||||||
Положим |
а = — (LB + RJ) /Ы; |
b = — (RB+KuKn) |
/LJ; |
||||||
c — KnlU |
и выберем |
в |
качестве |
переменных |
состояния |
||||
*і = Ѳ, х2 = Ѳ и |
л:3 = Ѳ при |
управляющем сигнале |
и = ен. |
||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*• • • |
|
Xi = |
bxz + |
axs-[-cu{t) |
|
|
|
||
39