Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

В силу свойств 3 и 4 определителей ясно, что ранг матрицы равен числу линейно независимых строк или столбцов в зависимости от того, какое из этих чисел меньше.

Эти два понятия матричного анализа играют очень важную роль в изучении многих физических задач. В анализе линейных систем, например, собственные зна­ чения определяют собственные частоты рассматриваемой динамической системы, а собственные векторы позволя­ ют привести уравнения системы к так называемой ка­

нимы, конечно, только к динамическим системам, описы­ ваемым конечным числом обыкновенных линейных диф­ ференциальных уравнений с постоянными коэффициен­ тами.

Поскольку в дальнейшем главным образом рассмат­ риваются системы с переменными коэффициентами, соб­ ственные значения и собственные векторы играют в на­ стоящей книге второстепенную роль. Тем не менее ради полноты изложения рассмотрим вкратце основные идеи их теории.

Пусть требуется определить значения скаляра X, для которых однородная система уравнений

Необходимое и достаточное условие того, что задача отыскания собственных значений имеет нетривиальное решение, выражается уравнением

30

Можно показать, что

[A\=f]b{A)

рицы А, является суммой элементов, расположенных вдоль главной диагонали матрицы А (знаком Л обозна­ чается равенство по определению). Легко доказываются два свойства следа матрицы:

зать, что ее собственные значения действительны, а соб­ ственные векторы являются (или могут быть выбраны) ортогональными.

где собственные векторы матрицы А в матрице M упо­ рядочены так же, как соответствующие им собственные значения %и . . . , %п. Если матрица А, кроме того, симме­ трическая, то M является ортогональной матрицей и

легко показать, что

пп

х'Ах — S S OijXiXj.

1=1 /=1

Это произведение, являющееся скаляром, называется

квадратичной формой.

31

В квадратичной форме без ограничения общности можно считать матрицу А симметрической. В этом лег­ ко убедиться, замечая, что для іф\ члены в разложении формы имеют вид Если матрица А несим­ метрическая, ее можно заменить матрицей Ä, диаго­ нальные элементы которой совпадают с диагональными элементами А, а остальные имеют вид

При этом значение квадратичной формы не изменит­ ся, т. е. х' Ах = х'Ах.

Например, если

А : - I о И

— 2 3

ТО

хАх, —• х^ 2x1^Cg " I - '^-^'2

Сдругой стороны, для

условием положительной определенности матрицы А является условие, чтобы все главные миноры матрицы

были положительны. Отсюда видно, что если матрица А положительно определена, то И | > 0 и матрица А не­ сингулярна.

32

метрической положительно определенной матрицей. Тог­ да существует ортогональная матрица М, для которой матрица

матрица В такая, что В2=А, т. е., В = МВ*М'. В даль­

нейшем автор сам пользуется именно таким определе­ нием (Прим. ред.).

Наконец, так как матрица В несингулярна,.

Л- і = 5 - і ( 5 ' ) - * ,

аэто означает, что если матрица А положительно опре­ делена, то матрица, обратная ей, также положительно

определена. • Заметим, что когда в дальнейшем будут упоминаться

положительно, неотрицательно или отрицательно опре­

3 - 85

Ѵх(х'Ах)=2х'А.

Этими формулами завершается обзор матричного анализа. Теперь можно перейти к построению моделей систем, рассматриваемых на протяжении всей книги. Дополнительные понятия из теории матриц и из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, которые могут потребоваться, будут вводиться по мере надобно­ сти.

2-2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Уравнения системы

Вначале рассмотрим физические системы, динами­ ка которых может описываться системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений

14