Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

в предположении,

что

матрица P(k + 2\k+l)

несингу­

лярна.

Подставляя уравнения (6-27)

и

(6-28) в

уравнение

(6-26), получаем:

M(k\k

+ 2)=P(k\k)U>'(k+\,

k)X

XP-l{k+\\k)P{k+\\k+\W(k

+ 2,

k+l)X

XP-4k

+ 2\k+\)K(k

+

2).

M{k\k + 2) =A{k)A{k+\)K{k

+ 2).

(6-29)

x(k

I k-\-2) =

x{k I k+ \) +

M{k

I £ + 2)[z(6 +

2 ) -

- H {k +

2) Ф {k - f 2,

k - f l)x{k+

1 I k + 'l)].

(6-30)

Как

и следовало

ожидать,

оценка

x(k

| fe + 2) получает­

ся в

результате

прибавления

корректирующего члена к

одношаговой

задачи, заметим, что

К {k - f 2)[ г (6 - f 2) -

Я (6 +

2) Ф ( £ + 2, k +

1) X

Х ^

Н 1

I £ + 1 ) ]

+ 2

| Л

+ 2) — Je(fe +

2 I Ä - i - 1).

Следовательно,

уравнение

(6-30)

можно

представить

в виде

x(k I k + 2) =

x{k

I £ +

1) +

+

Л ( £

) Л ( * +

1)[JC(Ä +

2 I £ +

2) +Jc(/fe +

2 |

£ + 1 ) 1 .

(6-31)

Подставляя

x ( £ | 6 + 1 )

из уравнения (6-17) в уравне­

ние

(6-31)

и

замечая, что если в уравнении

(6-17)

индекс k заменить на & + 1 , то оно примет вид:

A{k+\)\x{k

+ 2 I k +

2 ) - х ( 6

+ 2 I Ä + l ) ]

=

= = л ( / г + 1 I £ + 2 ) - J è ( £ + L | £ + 1 ) ,

получаем:

x(k I £ + 2)=x ( f e

I k) +

A(k)

[jc(fe +

l 1

1) —

— x (£ - j - 1 I

+

|

+

_ x ( 6 , +

l I

k+l)],

jc(k I k+2)=x(k

| k)

+

+

A{k)[x{k+\

I k - f 2) - £(A + 1 I

A)] (6-32)

для /г = 0,

1 . . . Здесь

матрицу

A (k)

можно

определить

с помощью

уравнения (6-18).

Выше было показано, как можно использовать одно-

шаговое сглаживание для трех

задач

сглаживания дан­

нения двухшагового

'сглаживания.

1. Полагая

в уравнении

(6-32) k — N—2,

получаем

оценку

вида

x(N

-~2 I ІѴ) =

je (Л/ — 2 I / Ѵ - 2 ) +

+

A(N — 2)[x{N

-

1 I

N)-x{N—

I | N -

2)],

которая в сочетании с x{N

— 1 | N) представляет собой

оптимальное

сглаживание

на закрепленном

интервале

x {k I N)

для k = N — 1 и N — 2.

Поскольку Jc(iV— 1 | ІѴ)

следует

вычислить раньше,

чем x

(N — 2 ] ЛГ),

отметим

оценки вида x(k | j)

для \ = k-\-\

и

А + 2,

причем вы­

числения проводятся

рекуррентно

в

прямом

времени.

стоянным

запаздыванием

на

единицу x(k+\\k

+ 2),

было вычислено ранее для

k = 0,

1 . . . Вычисления

здесь

также являются рекуррентными в прямом времени.

Прежде

чем перейти к

получению общих результа­

ритмов, с помощью

векторно-матричных преобразований

и соответствующей

интерпретации полученных соотно­

ваются три частные

задачи

ъ рамках

общей

задачи

оптимального

сглаживания.

6-3. ОПТИМАЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕ НА ЗАКРЕПЛЕННОМ

ИНТЕРВАЛЕ

Оптимальный

сглаживающий

фильтр

С помощью уравнения (6-32) получим следующее

соотношение для любого целого N—l^k

+ 2:

x(k

j

N ~

l) =

x{k

I k)

+

+

A{k[x(k

+

\

\ N — \) — x(k'-\-1

I k)],

(6-33)

где

матрицу

A (k)

можно

определить

из

уравнения

(6-18). Требуется получить выражение

для

x(k\N).

Выберем

множество

измерений

вида

( z ( l ) , •..

z(N—1),

z(N\N—

1)} и применим

к

нему

следствие

5-1. Замечая, что z(N\N—1)

не зависит

от

всех осталь­

ных измерений,

имеем:

x(k

I N) =

E[x(k)

I z(l),

.... z{N-

1),

z(N

I J V - 1 ) ] =

= E[x{k)

I z(l),

...,z{N-\))

+ E[x{k)\z(N

I N-\)]

=

^ x { k

I N-l)

+

PxJ>-l„z{N

\N-1),

(6-34)

где

P~

=

E[x{k)z'{N\N-\)\;

P^

=

E\z{N

\ N -~\)z'{N

) N -

1)].

Заменяя

в уравнении ( 6 - 1 Ö )

индекс k на /V—-І, сраЗу

получаем:

Р„~

= H{N)P(N

\ N ~

1) Я ' (N) + R (N).

(6-35)

Соотношение

для матрицы Р ^ = Е [x (k) z' (N \ N— 1)]

можно получить,

последовательно повторяя этапы

выво­

да соотношения

для матрицы

Р

=Е[х

(k) г' (А+ 2 \ k - f 1)],

z{N\N—\)

^H(N)x(N\N—l)

+v(N),

а так ікак

согласно

уравнению

(5-27)

случайные

век­

торы x (k)

и v(N)

некоррелированы для всех

k

и N, то

отсюда следует что

Р-

[x (ft)

(N \N

-\)}Н'

(N).

(6-36)

X\Z

Далее,

заменяя в уравнении (6-6) индекс

k на

N—1

и замечая,

что в силу

уравнения

(5-25)

x(k)

и

w(N—1)

некоррелированы для всех N—l^k,

получаем:

Р ^ — Е [x(k) x' (N — I

I N-

1)]Ф'(Н,

Ni-\l)H'{M).

I

(6-37)

$(N—1 \N—\)

=

[I—K(N—l)H(N—l)]X

Xx{N—\\N—2)—K(N—l)v{N—\).

(6-38)

Однако x(k)

и v(N—1)

некоррелированы

для всех

k и N—1 в силу уравнения

(5-27). Следовательно, под­

становка уравнения

(6-38)

в уравнение

(6-37)

приводит

к результату

P„

=

E[x.{k)2(N-l

I

N-2))X

x

г

X[I-K(N-l)H{N

- 1)]',Ф' (N,

N -

l) H' (M). (6-39)