Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

для корреляционной матрицы ошибки оптимального

X[P(k\k)-P{k\N))\A'(k)Y\

Далее, заменяя индекс N на k + N, получаем:

Алгоритм оптимального сглаживания с постоянным запаздыванием, очевидно, сложнее, чем алгоритмы сгла­ живания на закрепленном интервале и в закрепленной точке.

Исследуем алгоритм более подробно, чтобы опреде­ лить причину этой дополнительной сложности. Во-пер-

272

нее, из уравнений оптимального фильтра берется непо­ средственно произведение

алгоритм оптимального сглаживания в закрепленной точке,

запаздывания, поскольку он „ждет" появления началь­ ного условия x(Q\N). Спустя „период ожидания" опти­ мальный сглаживающий фильтр постоянно зависит от оп­

ся функцией от текущей оценки x (6 | k), а это означает, что значение последней должно храниться в памяти для последующих расчетов.

Вотличие от фильтра Калмана и оптимальных

фильтре с постоянным запаздыванием имеется два кор­ ректирующих члена, каждый из которых представляет собой невязку, умноженную на матрицу передачи. Пер­

дачи B(k+\+N) и C{k + \+N) равны. Хотя это соотно­ шение между ними всегда выполняется, здесь введено новое обозначение, чтобы различать матрицы передачи для разных задач сглаживания. Такое различие удобно также по той причине, что для сглаживания в закреп­ ленной точке k имеет постоянное значение, а для сгла­

i-k+

Второй корректирующий член в уравнении (6-84) включает в себя матрицу передачи U(k+1),' описывае­ мую уравнением (6-86), и невязку вида

x(k\N) — x{k\k).

Таким образом, в дополнение к первой коррекции, определяемой новым измерением, возникает дополни­ тельный корректирующий член, пропорциональный раз­ ности между оптимальным сглаживанием с постоянным запаздыванием и оптимальной текущей оценкой, причем обе эти оценки относятся к моменту времени k, на одну единицу опережающему момент вычисляемой оценки

x(k+\\k + l+N). Преобразование U(k+\) «отражает» влияние этой невязки на новую оценку. Если возмуще­ ние системы отсутствует, т. е. Q(/é)=0, то из уравнения

Поэтому второй корректирующий член можно рассма­ тривать как «коррекцию возмущения системы».

ре, сглаживающем в закрепленной точке. Иными слова­ ми, этот член соответствует оценке состояния в требуе­ мый момент времени без коррекции.

274

в прямом времени и может использоваться для обработ­ ки данных измерения по мере их поступления в соче­ тании с оптимальным фильтром. Поскольку оценка за­ паздывает относительно измерения на N единиц време­ ни, процесс сглаживания можно рассматривать как пе­ ремещение «окна» шириной N слева направо по шкале времени, причем правый край «окна» соответствует вре-

Рис. 6-13. «Перемещающееся окно» при оптималь­ ном сглаживании с постоянным запаздыванием.

должен запаздывать относительно оптимального фильт­ ра на N единиц времени, причем оба эти фильтра долж­ ны работать совместно. Следовательно, здесь использу­ ются две шкалы времени. Это можно видеть на струк­ турной схеме комбинации оптимального фильтра и оптимального сглаживающего фильтра (рис. 6-14). Обратим еще раз внимание читателя на то, что опти­ мальный сглаживающий фильтр с постоянным запазды­ ванием не работает на интервале [О, N].

Обращаясь к вопросу о вычислении матриц передачи, рассмотрим сначала уравнение (6-85):

С(Й + І + Л О = *П /1(0-

Так как индекс k здесь переменный, то ясно, что определение матрицы С(k+ \ +N) с использованием это­ го соотношения неэффективно с вычислительной точки зрения, поскольку такой способ требует повторения про-

j = OJ ...

k=j-NdjiHJÏ-N

Рис. 6-14. Структурная схема оптимального фильтра и оптималь­ ного сглаживающего фильтра с постоянным запаздыванием.

деланных ранее вычислений. Это неудобство можно устранить. Замечая, что

которая используется здесь для того, чтобы начать ре­ куррентное вычисление матрицы передачи сглаживаю­ щего фильтра.

276