Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

является ошибка x(k\j), а входными сигналами — гауссовские белые последовательности с нулевыми матема­

Наличие двух операций задержки показывает, что си­ стема имеет второй порядок, а так как векторы началь­

входных сигналов, то ясно, что процесс является гауссовским марковским второго порядка.

Как в задаче сглаживания на закрепленном интер­ вале, рассмотрим только соотношение для корреляцион­

P(k\j)^=E[x{k\j)x'(k\j)]

262

и

— корреляционные матпицы ошибок сглаживания в зак­ репленной точке, а

ные матрицы ошибок оптимальной фильтрации и пред­

pm-p(i\i-i)=-K(i)H(j)P(j\i-i)t

можно также уравнение (6-75) представить в виде

P(k\j)=P(k\j-l)-B(j)K(j)H(j)x

XP(i\j~l)B'(j).

Сформулируем полученные результаты в виде сле­ дующей теоремы.

263

(6-64). В обоих случаях алгоритм включает нежелатель­ ное обращение корреляционной матрицы ошибки пред­ сказания при определении матрицы передачи сглажи­ вающего фильтра. Эта особенность характерна также для оптимального фильтра, сглаживающего на закреп­ ленном интервале [см. уравнение (6-58)]. Однако в этом случае погрешности вычисления обратной матрицы в лю­ бой момент времени влияют на вычисление матрицы пе­ редачи только в тот же момент времени, а в настоящем алгоритме влияние указанной погрешности носит накап­ ливающийся характер, поскольку матрица передачи вы-

m

числяется в виде продолжающегося произведения. На­

ца передачи фильтра, сглаживающего на закрепленном интервале, ошибочна только для этого k. Если же ана­

алгоритм оптимального сглаживания в закрепленной

265

меньше, чем число переменных состояния, предпочти­ тельность последнего алгоритма очевидна. Однако те­ перь необходимо, чтобы матрица R(j) была положитель­ но определена для всех /.

M(k\j) 4&

От оптимального" фильтра.

S3

j=k+l,k+Z

Рис. 6-10. Структурная схема оптимального алгоритма сглаживания в закрепленной точке (6-81).

Замечая, что из уравнений (6-60) и (6-81) следует соотношение M(k\j) = W (j) H'(j)R-1 (j), можно придать структурной схеме алгоритма (6-81 ) вид рис. 6-10.

Оптимальное сглаживание в закрепленной точке со­ стоит в каждый момент времени в прибавлении коррек­

мент предыдущего измерения. Корректирующий член представляет собой уже встречавшееся ранее произведе-

Рис. 6-11. «Перенос» данных измерения при опти­ мальном сглаживании в закрепленной точке.

ние матрицы передачи M(k\j) на невязку измерения z(/|/—1). Влияние этого члена заключается в переносе «новой» информации о x(k) на момент времени k. Основная идея метода иллюстрируется рис. 6-11.

Ясно, что оптимальное сглаживание в закрепленной точке можно использовать для обработки информации по мере ее поступления в сочетании с алгоритмами оптимальной фильтрации и предсказания. Таким обра­ зом, задачи сглаживания в закрепленной точке не огра-

266

ничиваются послеэкспериментальной обработкой инфор­ мации, как это имеет место для сглаживания на закреп­ ленном интервале. Если потребуется, сглаживание в за­ крепленной точке можно выполнить и после окончания эксперимента. В обоих случаях не обязательно знать момент времени последнего измерения, так как работа алгоритма происходит рекуррентно в прямом времени и может быть прекращена в любой момент.

Пример 6-3. Рассмотрим задачу оптимального сглаживания в за­ крепленной точке для получения «улучшенной» оценки начального со­ стояния системы из примера 6-1. Напомним, что в этом примере Р(0|0) = 100 и в результате сглаживания на закрепленном интервале получено Р (014) =26,25, т. е. заметное уменьшение неопределенности начального состояния. Теперь определим также Р(0|1), Р(012) и Р(0|3) .

Используя для этой цели алгоритм, описанный в следствии 6-1, получаем W(j) и ЛГ(0|/) = № ( / ) # ' ( / ) £ - * ( / ) для /=1, 2, 3, и 4.

Напоминая, что в примере 6-1 Ф ( / + 1 , /> = 1, Я(/) = 1 и /?(/) = 15, получаем: S(/) =//'(/)/?-!(/)//(/) = 1/15. Уравнения (6-82) и (6-83) тогда принимают вид:

W ( / ) = [ l - P ( / | / ) / 1 5 ] W ( / - l ) ;

Р ( 0 | / ) = Р ( 0 | / - 1 ) - ^ ( / ) [ Р ( / | / - 1 ) / 1 5 + 1 ] / 1 5

для j = 1, 2, 3, 4 при х (0 I 0) = 0.

Используя эти соотношения, получаем значения параметров, при­ веденные ниже в виде табл. 6-2. Из нее видно, что основное умень­ шение дисперсии ошибки сглаживания происходит, как только учиты-

267