Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

\zQ)-x(H\H)]

M(û\j)

ßJO\j)

От оптимального

фильтра

БЗ

J = 1,2,3,4-

Рис. 6-12. Оптимальный фильтр, сглаживающий

в закреплен­

ной точке, из

примера

6-3.

зается результат первого измерения, и дальнейшее

улучшение точно­

сти

является сравнительно

скромным.

Структурная

схема сглаживающего фильтра

изображена на

рис.

6-12.

Теорема 6-3.

1)

Оптимальное

сглаживание

с

постоянным

запаз­

дыванием

x {k -f-11 k -f-1 +

JV)

описывается

системой

уравнений

x{k'+l\k

+

\ + Л 0 =

Ф(6 +

1, k)x{k\kA-N)

+

+ С ( £ + 1 + Л 0 / С ( 6 + Г 1 + Ѵ Ѵ ) 2 ( & + 1

+

N\k

+

N)4r

+ C/(Ä+l)[x(ß|)fe + A/)-3c(feU)]

(6-84)

для k = 0,

1 . . . с начальным

условием

x(0\N).

2)

Матрицы

передачи

сглаживающего

фильтра

C(k +

+ N)

и U(k+l)

размера

пХп

определяются

с

помощью

соотношений

C(* +

l + t f )

=

ff

A(i),

(6-85)

где

i=k+l

А(І)=Р(І\І)Ф'{І+І,

/)я - ч« + і | 0 ;

}

£ / ( £ + 1 ) =

Г ( £ + 1 ,

k)Q(k)ÏÏ{k+U

k)X

(6-86)

3)

Ошибка сглаживания

с постоянным

запаздыва­

нием

{x(k\k + N), k — 0,\ ...}

является гауссовской

мар-

ковской

последовательностью

второго

порядка

с нуле­

вым

средним и

корреляционной

матрицей,

удовлетворя­

ющей

уравнению

P(k+l\k+l

+ N) =P(k+\\k)—C{k+\+N)

X

XK{k+l+N)H{k

+

\+N)P(k+l+N\k+N)X

XC'(k+l+N)—A-l(k){P(k\k)

—

-P(k\k+N)}[A'(k)]-i

(6-87)

для

k — 0,\ ...

с начальным

условием

P(0|JV).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Как

было

указано

в

начале

главы,

теорема

доказывается

с использованием

резуль­

соотношение

x(.k+\\k+l+N)

=E[x(k+\)

\z(\), z(2), . . .

.. ., z(k+N),

z(k+\-\-N\k

+ N)\ Последний способ дока­

Уравнение (6-57) из теоремы 6-1 для оптимального

сглаживания на закрепленном

интервале

x(k\N)

=

x(k\k)-\-

A(k)[x(k+\

\N) — x{,k+\

\k)\

представим

в виде

x{k+

1 |Л0 =

Ф ( £ +

1,

k)x{k\k)

+

+

A~l{k)

[x(k\N)-x(k\k)]

(6-88)

с

учетом

соотношения

x{k-{-1

j £) =

Ф(&-(- 1,

k)x(k\k) и

в

предположении,

что

матрица

A (k)

несингуляона.

Прибавляя

к обеим

частям

уравнения (6-88) выраже­

ние Ф(/fe —f- 1, k)x(k\N)

и

затем

гоуппируя

члены,

полу­

чаем:

х(/г +

1|/Ѵ) =

Ф(/г +

1,

fe)^(fe|/V)

+ Ф ( А

+

1,

k)x(k\k)~

- Ф ( / г +

1,

k)x{k\N)

+

A-1

{k)$c(k\N)

— x{k\k)]

=

=

Ф ( £ + 1 ,

k)x(k\N)

- Ф(& +

1, k)[x(k\N)

—

— x(k\k)]-\-A~l(k)[x(k\N)~x(k\

k)]

=

=

Ф(£ +

1, k)x{k\N)-j-\A-*{k)-<S>{k-\-\,

k))X

X

[x(ti\N)

—

x{k\k)].

(6-89)

A~l(k)

=P(k+\\к)[Ф'(k+l,

k)]'lP-1

(k\k)

=

Так как

=

P(k+l\k)<b'(k,

P(k + l\k)=0(k+\,

k)P(k\k)0'(k+l,

k)

+

то

+ T(k+l,

k)Q{â)T'(k+l,

k),

A-*{k)-<S>(k+\,

k) =

P(k-\-\\k)Q>'{k,

É +

1 ) X

xp-*(k\k)-<î>(k+l,

А) = [ Ф ( £ +

1, £ ) X

ХР^\к)Ф'(к

+ 1,

*) +

Г(* + 1,

k)Q{k)X

Х Г ' ( * +

і,

k)]&{k,

k+\)P-'{k\k)-<s>(k

+

\, k)

=

=

Ф ( Й + 1 , £) +

Г ( £ + 1 ,

*)Q(*)T'

(£ + 1,

£ ) X

Х Ф ' ( * . Л + О Я - ^ А І ^ - Ф ^ + І, *) =

=

Г(£ +

1, k)Q(k)F'(k

+

l, k)<b'(k,

Ä +

1 ) X

Х ^ ' О Ч * ) -

(6-90)

Обозначая

( 7 ( 6 ) = Л - 1 ( £ ) — Ф ( & + 1 ,

k),

можно

пред­

ставить уравнение (6-89) в виде

* ( £ + І І Л О = Ф(£ +

І, £)Jt(6|/v)-t-

+

U{k)

[x(k\N)-x{k\k)\.

x{k+l\k

+ N) =

<l>{k-{-l,k)x(k\k.-\-N)

+

+

U(k)[x{k\k

+ N)-x{k\k)].

(6-91)

x(k\j) = x(k\j-l)

+

M{k\j)

г ( / | / - 1 ) ;

M(k\j)

= ff

Л ( / ) ! * ( / )

для

j = k+\,

k + 2 .

Заменяя индекс k на k+\,

а /

на

k+'\-\-N,

получаем:

'x(k

+ 1 \k+

1 + ^ ) = J c ( Ä + l

|Ä + Л 0 +

+

/V/ (

+

11 k +

1 +

N) ~z (k +

1 + N I k +

ZV);

(6-92)

M (k + 1 1 k + 1+ N) =

k + N

K{k+\+N)

(6-93)

П л(<)|

для

k = 0,

1 ...

Подставляя

x (fe-j- 1 1 /г -f- Л/) из

уравнения

(6-91) в

уравнение (6-92), получаем:

î(fe + i|fc +

i + t f ) = < i > ( f e + i ,

£)х(&і& + ло-Ь

С ( / г + 1 +

Л 0 = [f

Л(і).

(6-94)

Из уравнения (6-93) тогда

следует:

+ 1

+ Л0 = С ( £ + 1 + # ) # ( & + 1 +

jc(lfe+l

+JV) =

<&(fe-t-l,

*) 3c(fe| (г +

іѴ)

+

+ C ( f c + 1 +

Л/)X(fe +

1 + tf)z(fc

+

l - f'JVp +

/V)

+

4- и {k) [x {k

i k -f- /V) -

*;(& i k)].

Итак,

уравнения

(6-84) —(6-86)

теоремы

доказаны.

Ясно, что начальным условием здесь является

оценки

x(0\N).

{x(k\N),

k = N,

Из

теоремы

6-1

известно,

что

N—1,

... ,

0} — гауссовский

марковский процесс

второго

порядка с нулевым средним для всех N^k.

То же спра­

ведливо,

если

значения

индексов

времени

следуют

в обратном порядке,

т. е. для

процесса {x(k\N)\

k — 0,

1, . . . , N}. Так

как это

утверждение

справедливо

для

всех N^k,

оно выполняется и для частного

случая,

ког­

да N

заменяется

на

k + N.

Следовательно,

{x(k\k

+ N);