Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 230

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

или в векторной

форме

 

 

 

 

 

0

1

0

 

0

х

= 0

0

1

Х

+ 0

 

0

b

а

 

с

где

 

 

 

 

8

 

 

 

X ,

 

 

х

=

 

А

Ѳ

 

 

 

хг

 

Ѳ

Здесь место тока якоря в списке переменных состоя­ ния занимает угловое ускорение Ѳ. В любом случае про­ цедура приведения системы к так называемой форме переменных состояния заключается вначале в приведе­ нии каждого уравнения системы к каноническому виду с производной высшего порядка в левой части.

В результате изменения списка переменных состоя­ ния первоначальная схема измерения больше не имеет смысла. В этом случае можно, например, предположить,

что измеряется только угловое положение

выходного

вала. Тогда уравнение измерения принимает вид:

2(^=111 0

Q\\x(t)+v(t).

 

Иными словами, z{t)=Q(t)

плюс ошибка

измерения

Понятие состояния

Здесь имеет смысл кратко остановиться на понятии состояния, использованном ранее.

Рассмотрим динамическую систему, поведение кото­ рой описывается системой обыкновенных дифференци­ альных уравнений

 

* =

I, t),

 

(2-8)

где X—^-вектор;

£—^-вектор; f—^-мерная

вектор-функ­

ция указанных

переменных.

Очевидно,

уравнение (2-1)

является частным случаем уравнения

(2-8).

Говорят, что

X является

вектором

состояния рассма­

триваемой динамической системы тогда и только тогда,

когда x(ti) можно однозначно определить, зная

x(t0),

* і > * о и £ ( / ) , f o < / < f t .

 

40

Это означает, что k должно быть по меньшей мере равно порядку рассматриваемой динамической системы. Поэтому если в примере 2-2 выбрать

то этот вектор не будет вектором состояния, так как рас­ сматриваемая система имеет третий порядок. Иными словами, знания Ѳ(0) и é(0) вместе с ея(і), O^t^U не­ достаточно для того, чтобы определить Ѳ(^) и Ѳ(^). Это ясно из уравнения (2-7).

С другой стороны, ничто не препятствует выбрать

вкачестве вектора состояния вектор

IIѳ и

Однако дополнительное уравнение является излиш­ ним. Оно только усложняет описание задачи. Поэтому в общем случае выбирают вектор состояния, имеющий число компонент, равное порядку системы дифференци­ альных уравнений, которая описывает динамику рассма­ триваемого явления.

Не все переменные состояния при таком описании представляют интерес. В примере 2-2 единственной пе­ ременной, представляющей интерес с точки зрения си­ стемы управления, является Q{t). Однако поскольку описание должно отражать динамику системы, для ре­ шения задачи требуются также Ѳ(^) и B(t) [или in(t)].

Переходная матрица состояния

Для многих аналитических выводов и некоторых вычислительных задач желательно иметь явное решение уравнения (2-1). Такое решение легко получить с помо­

щью так называемой переходной

матрицы

состояния.

Предположим, что

x(tQ),

и

"(О известны,

причем последние две функции непрерывны и ограниче­

ны для

всех

t^t0.

уравнений

(2-1) линейная и неодно­

Так

как

система

родная, то

ее общее

решение

представляет собой сумму

41

общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднародной системы. Первое ре­

шение иногда называют также свободным,

а второе

вы­

нужденным.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вначале получим общее решение соответствующей

однородной системы

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

F(t)x

 

 

 

(2-9)

для t^zto и произвольного

x(to).

в виде x(t)

=X(t)x(t0),

Подставляя в (2-9) решение

где X(t)—неизвестная

матрица

размера

пХп,

убедим­

ся, что равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lX-F(t)X\x(to)=0

 

 

 

 

 

должно

выполняться

для

всех

t^?t0.

Так как x(t0)

—

произвольный

вектор, то это равенство

выполняется

тог­

да и только тогда, когда X(t)

yдoвлeтвqpяeт матрично­

му дифференциальному уравнению

 

 

 

 

 

 

 

X = F(t)X

 

 

 

(2-10)

для всех t^t0.

При этом для t=io должно

выполняться

условие

x(ta) =Х(t0)x(t0)

или,

что

то же

самое,

 

 

 

 

[I-X(t0)]x(t0)=0,

 

 

 

 

 

откуда

следует, что равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X(t0)=I

 

 

 

 

(2-11)

является начальным условием уравнения (2-10).

Тогда общее решение уравнения (2-9) можно запи­

сать в виде

 

x(t)=X(t)x(to),-

(2-12)

где X(t) удовлетворяет уравнениям (2-10) и (2-11). - Теперь получим частное решение уравнения (2-1),

используя метод вариации постоянных. Предположим, что искомое (решение имеет вид:

x(t)=X(t)y(t),

(2-13)

где X(t) определяется так же, как и раньше, a y{t) — неизвестный n-вектор. Подставляя этот результат в урав­ нение (2-1), получаем:

X\t)y{t)+X{t)y{t)=F{t)X(t)y(t)+

 

, ,

+ G(t)w{t)+C(t)u{t).

.

уі

42

Поскольку X(t)=F(t)X(t),

то это выражение

сводит­

ся к выражению

 

 

 

 

X(t)y(t)=G(t)w(t)+C(t)u(t),

 

 

 

или

 

 

 

 

 

у (t)

=X-i(t)[G (t) w (t)+C(t)u(t)l

 

(2-14)

в предположении, что X(t)—несингулярная

 

матрица

для t^'to (последнее утверждение

доказывается

ниже).

Интегрируя

уравнение

(2-14),

получаем

равенство

 

t

 

 

 

 

у (0 =

Г Х -1 (х) [G (х) w (х) +

С (х) и (х)]

dz,

 

'о

которое означает, что частное решение уравнения (2-1) имеет вид:

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х(і) = Х (О J X-l (x)lG(x)ay(x) + C(x)« (x)]dx.

 

(2-15)

 

'о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Объединяя уравнения (2-12) и (2-15), получим общее

решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X (t) = X (t) X (f0) + X (О Ç Х - 1

(х) [G (т) И» (х) + С (х) « (х)] dz.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2-16)

Теперь

покажем, что матрица

X(t) несингулярна для

всех t^t0.

Согласно уравнению (2-10)

 

 

 

 

 

*}

=

tft*(1)xhi

 

 

 

(2-17)

 

 

 

 

4=1

 

 

 

 

 

 

для і, у = 1 , . . . , п, где X(t)=\\Xij(t)\\.

 

Тогда

 

 

 

 

« *

 

 

 

 

 

 

Х>\\Х>і2 •

 

 

 

Х и Х 1 2 . .

 

 

 

 

 

•%1п

 

+

t

»

 

 

 

 

 

 

-^гп

 

 

 

 

 

• X 2 n

Х2 і Х22 • •

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

» «

 

€

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• •

хпп

Подставляя

уравнение (2-17)

в первый

определитель

в правой

части

полученного

выражения, получаем:

 

 

 

 

 

 

 

k=l

 

 

 

 

 

Х21

X22

•

•

xln

 

 

 

 

 

 

 

 

•

•

xnn

 

 

 

*

43

 

Смотрите также файлы