Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 286

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

роль входного «измерения» и г р а е т

текущая о п т и м а л ь ­

ная

оценка x(t\t), а «невязкой» является

разность меж­

ду

д в у м я оптимальными оценками

вида

x(t\ti)—x(t\t).

Кроме того, на сглаживающий фильтр накладывают­ ся не начальные, а граничные условия. Здесь подразу­ мевается, конечно, что для получения оптимального сгла-

Рис. 7-3. Структурная схема оптимального фильтра, сглаживающего на закрепленном интервале.

живания на закрепленном интервале проводится инте­ грирование в обратном времени от t\ до t0. Поэтому

вначале необходимо

получить оценку x(t\t)

для всех t

на интервале to^t^ti.

Иными словами,

до того как

можно будет начать сглаживание на закрепленном ин­ тервале, должна быть решена задача фильтрации. Как следствие этого, сглаживание на закрепленном интер­ вале можно считать полезным только для анализа дан­ ных после окончания эксперимента. В отличие от опти­ мальной фильтрации, его нельзя использовать в реальном масштабе времени для обработки текущей информации. Все эти свойства алгоритма, разумеется, следуют из свойств алгоритма сглаживания в дискретном времени.

Рассматривая выражение (7-30) для матрицы пере­ дачи фильтра

A(t)=G(t)Q(t)G'(t)P-i(t\t),

заметим, что для реализации сглаживающего фильтра корреляционная матрица ошибки фильтрации P(t\t) должна быть известной при ^ о ^ ^ ^ і . Это не является дополнительным усложнением по сравнению с требова­

нием знать x(t\t)

для всех h^t^ti,

поскольку при

304

определении x(t\t)

 

придется

вычислять

P(t\t).

Однако

здесь возникает одна довольно очевидная

трудность.

Если

матрица

P{t\i)

сингулярна в некоторой точке или

на некоторой

части интервала

[to, ^і], то в

этих

точках

матрица

A (t)

не

существует.

Аналогичная

трудность

возникает

даже

в

том случае,

 

когда

матрица

P{t\t)

несингулярна.

Если

определитель

матрицы

P(t\t)

мал,

матрица

может

оказаться

«почти

сингулярной», или

«плохо обусловленной», а в этом

случае

незначительные

вычислительные ошибки, такие как ошибки

округления,

могут

привести

к

существенно

неточным

значениям

Одним из возможных приемов, позволяющих не вы­ числять P-^tlt) в каждый момент t, t 0 ^ t ^ t i , заклю­ чается в выводе дифференциального уравнения, которое следует непосредственно решать для получения Я^1 ( / ] / ) . Такое уравнение можно получить, дифференцируя по времени тождество

P(t\t)P-*(t\t)=I

и получая

 

dP р - і t

p dP~1

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

dt

^

dt

~~

 

 

 

 

или

 

 

dP-l_

D - i dP p . ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя в (7-50) уравнение (7-9), получаем:

 

 

=—P-l[F{t)P

 

+]РР' (t) -

PH' (t)R-1

{t) H{t)P

+

+

G{f)Q(t)G'{t)\P-l

=

-P-'F{t)-F'{t)P~l

 

+

 

+

H'{f)R-1

{t) H{t)-P-W

(О Q (t) G' {t) P -1

(t).

(7-51 )

Полагая M(t) =P~l{t\t),

можно представить

уравне­

ние (7-51) в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

_

M =

F'[(t)\M

+ MF (0 - f MG (t) Q {t) G' (t) M

-

 

 

 

' -H'(t)R~40^(0-

 

 

 

 

(7-52)

Полагая,

что матрица

P(tt\ti)

несингулярна,

 

полу­

чаем граничное

условие для уравнения

(7-52)

вида

 

 

 

M(tt)=P-4tl\ti).

 

 

 

 

 

20—85

 

 

 

 

 

 

 

 

 

305

Матрица передачи оптимального фильтра, сглажи­ вающего на закрепленном интервале, имеет вид:

A(t) = G(t)Q(t)G'

(t)M(t).

Заметим, что вычисление матрицы P((\ti) не являет­

ся составной частью алгоритма оптимального сглажи­

вания в том смысле, какой имеет вычисление P(t\t)

для

оптимальной

фильтрации.

Действительно,

матрицу

P(t\ti) нельзя определить, пока

неизвестна матрица A (t),

в то время как в случае оптимальной фильтрации

нель­

зя

определить

матрицу K(t),

пока не

известна

 

матри­

ца

P(t\t).

 

 

{x(t\ti);

 

to^t^ti}

 

В заключение отметим, что ошибка

 

является марковским процессом второго порядка. На­

помним,

что этот процесс

описывается уравнением

 

x(t\tt)

= [F (01+

А (/)] x(t\tt) -

A (t) x(t\t) +

G(t)w

(t)

с граничным

условием

x(ti\ti)

—x(ti)—x(ti\ti),

где

x(ti\ti)—гауссовский

случайный n-вектор

с нулевым

средним и известной корреляционной матрицей

P(ti\ti).

Известно,

что

{x{t\t),

to^t^ti)

— гауссовский

мар­

ковский процесс с нулевым средним, описываемый урав­ нением

x(t\t)

=

[F (t) — K(t)H

(t)\ x {t\l) +G{t)w{t)-K

(/) V (t)

с тем

же

граничным

условием x(t1\tl) = x(t1) —

xit^t,).

Вводя 2«-мерный

вектор

 

 

 

 

УѴ)

=

 

 

 

 

 

x(t\t)

 

объединим приведенные выше два уравнения:

 

 

i|f (0 +

A(t)\

-А (0

 

у

=

о

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

+

 

 

 

 

Й У ( 0 -

vi!)-

 

 

 

а'(і)

 

 

 

Из § 4-3

известно,

что {y(t),

tos^t^ti}

является ray.

совским марковским процессом с нулевым средним.

306

Строго говоря, описание

случайного

процесса

 

{x(t\ti),

to<^t^t\)

с помощью

математического

ожидания (нуле­

вого) и корреляционной матрицы P{t\t\)

не может

быть

полным, так как этот процесс не является

марковским

процессом

первого порядка. Для корректного

описания

требуется

рассматривать

процесс

{y(t),

t0<^t^ti}.

Одна­

ко для большинства

практических

приложений

при ана­

лизе

ошибок

достаточно

определить

матрицу

 

P(t\ti).

Это

обстоятельство

уже отмечалось

в связи с

задачей

сглаживания

на закрепленном

интервале в

дискретных

линейных

системах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример

7-3. В качестве

частного

класса

задач

оптимального

сглаживания на закрепленном

интервале рассмотрим задачи, в кото­

рых

Q(()=0

для / о ^ = ё ^ і ,

т. е. случай

отсутствия

возмущений

(ср. пример

6-2). Предположим,

что обратная

матрица P~i{t\t)

су­

ществует ДЛЯ

to^t^ti.

следует, что A(t)=0

 

 

 

 

Из уравнения (7-30)

для Ь ^ г = ^ і .

Сле­

довательно, оптимальный сглаживающий фильтр описывается урав­ нением

x(t\ U)=>F(t) x(t

(7-53)

решение которого можно представить в виде

 

x(t | t,) = <S>(t,tJx~(tl I

г,),

где to^t^ti, а Ф(г, ^і)—переходная матрица состояния

системы

(7-53). Кроме того,

 

 

P{t\ti)=F(t)P(t\ti)+P(l\ti)F'(l),

 

(7-54)

откуда следует, что

 

 

Р ( г | г 4 ) = ф ( г , іі)Р(и\П)Ф'(і,

U).

 

Для рассматриваемого класса задач оптимальное сглаживание па закрепленном интервале состоит, очевидно, в обратной экстрапо­ ляции вектора %(г'і|гі) и матрицы Я ( Г і |гі) .

На

практике

кроме

тривиальных

случаев при определении

л (t j tt)

и P (t

I tx)

обычно

не вычисляют

матрицу Ф(/, /,) для всех

<о<і^<^

і- Вместо

этого для получения х (t \ tt) и P (t \ tt) уравнения

(7-53) и

(7-54)

численно

интегрируют в

обратном времени от fi,

начиная с соответствующих граничных условий.

Пример 7-4. Допустим, что для некоторого А > 0 оптимальный фильтр из примера 7-1 находится в установившемся состоянии и требуется получить сглаженную оценку состояния на закрепленном

интервале [to, <і], где г 0 > 0 и

ta<tir

20*

307

Для простоты рассмотрим случай, когда a2<^.aw/av

и дисперсия

установившейся ошибки фильтрации составляет:

 

P(t\t)=pi = Oviav.

 

Напомним, что здесь F (t) = — a; G (t) = 1; Q (t)= я^.

Из уравнения (7-30) имеем:

 

 

 

А (0 = G (t) Q (0 G'_(t) P~l(t

I t) =

1

f - .

< — =

Так как <22 <^a^/a^, то в примере

 

ri

u1>

7-1

а ^ / а , , .

Тогда из урав­

нения (7-29) следует, что оптимальный фильтр, сглаживающий на

закрепленном интервале, описывается

соотношением

x (t

I

-ах

(t

+

^ [x(t I tt)

-

- * ( '

I OJ = (К- —

 

I U)-^(t

I /)•

А так как р . « 0 ш / а в > а ,

то это уравнение можно записать в виде

x(t\U)**V.[x{!\tl)-x{t\f)\

 

(7-55)

для Г о ^ ^ г і , с

граничным

условием î " ( É i | / i ) .

Структурная схема

сглаживающего фильтра (7-55)

изображена на рис. 7-4. Следует

?(t\t)

H *

 

z6

 

 

 

Рис. 7-4. Оптимальный фильтр, сглаживающий на закреп­ ленном интервале, из примера 7-4.

обратить внимание на то, что фильтр действует в обратном вре­ мени начиная с Гі.

 

В данном

примере уравнение для дисперсии ошибки

сглажива­

ния

(7-31) имеет вид:

 

 

 

 

 

Pit I г1 ) =

2 ( ! х - а ) - Я ( М

 

при

to^t-^ti,

где Р ( / і | / і ) = р і

—сГиСТв.

 

 

Так как р,»а , используем приближение вида

 

 

 

P(t\

f,)^2(x/>(M * , ) - « * .

(7-56)

 

Решение уравнения

(7-56) имеет вид:

 

308

где ß — постоянная интегрирования. Из граничного условия следует:

Поэтому

Так как t^.tu

то

^ 0

а , с г в = . Р ( ф ) , причем неравенство

переходит в равенство только

при t

= ti.

t

Рис. 7-5. Сравнение дисперсий оши­ бок оптимальной фильтрации и опти­ мального сглаживания на закреплен­ ном интервале для системы из при­ мера 7-4.

Сравнение

дисперсий

ошибок фильтрации

и

сглаживания на

закрепленном

интервале представлено графически

на

рис. 7-5. В этой

связи заметим, что пои

t^ti

 

 

Р ( М ' > ) ^ ^ г

в предположении,

что для

выбранного значения

t

оптимальный

фильтр

находится

в установившемся

состоянии, т. е.

P(t\t)—OwGv-

7-5. ОПТИМАЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕ В ЗАКРЕПЛЕННОЙ

ТОЧКЕ

 

 

 

 

 

В

случае

сглаживания

состояния

системы x(t)

в одной точке интервала

[t0, ti],

U<U, разумеется, можно

использовать алгоритм оптимального сглаживания на закрепленном интервале (теорему 7-3). Работу сглажи­ вающего фильтра тогда следует прекратить в расчетной точке, не доходя до U. Однако как и в случае дискрет­ ного времени, эта процедура имеет два недостатка. Во-первых, она по своей природе является послеэкспериментальной и, следовательно, не может быть исполь­ зована для обработки данных в реальном масштабе вре­ мени. Во-вторых, она неэффективна, поскольку необхо-

димо вычислять сглаженную оценку x(t\ti) на всем ин-

зоѳ

Смотрите также файлы