Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

мальная оценка

вида

x(ti\t),

t^ti.

виде {t,

t = ti +

jAt;

Определим

дискретное

время

в

/ = 0 ,

1 . . . } , где

Д*>0.

Теорема 7-4.

[ Л .

7-3].

1 ) Оптимальное

сглаживание

в

закрепленной

точке

для

системы, (7-1),

(7-2)

описывается

дифференциаль­

ным

уравнением

x (tt\t)

= ; я

(о к (t)

[z

(t)—

H (t) x

(t\t)\

(7-57)

при

t>t^,

где

К {t) —матрица

передачи

оптимального

фильтра;

x(tx\t^)

— начальное

условие,

а В (t) —

матрица

передачи

оптимального

фильтра,

сглаживающего

в

за­

крепленной

точке, размера

пХп.

2)

Матрица

B(t)

является

решением

матричного

линейного

дифференциального

уравнения

B =

-B[F{t)

+

A(t)},

(7-58)

где t ^ t u

B(ti)=I,

a

A(t)

= G (t) Q (t)

G' (t) P~l

(t\t).

=

3)

Случайный

процесс

{x(h\t),

t^ti},

где x(ti\t)

= x(ti)—x(t\\t)—ошибка

сглаживания

в

закрепленной

точке, является

гауссовским

марковским

процессом

вто­

рого

порядка

с нулевым

средним

и

корреляционной

матрицей,

удовлетворяющей

матричному

линейному

диф­

ференциальному

уравнению

Р ( f , \ f ) = - B ( t ) К (t) R (t) К' {t) В' (t),

(7-59)

t^ti,

с начальным

условием

вида P(ti\ti)

= E[x(U\U)

X

Xx'{U\U)l

Д о к а з а т е л ь с т в о . Заменяя в

уравнениях

(6-76)

и (6-77) теоремы 6-2 индекс k

на tit

j

на / + А/

и ;—1

на /, получаем.

*(Ог + Д0 = *(О 0 +

Я('

+

д о х

X [x(t - f д ^ + д о ~ x(t

+

Д'Ю1;

(7-6 °)

б(^ +

Д 0 = [ ] Л(,),

(7-61)

где

А(х)*

= Р(х\г)Ф'(х

+ М,

х)Р-Цх+М\х),

(7-62)

t = ti + jAt, / = 0,

1 ... ; т = 0 + Ш ,

i = 0,

1 .. .

Из

доказательства

теоремы

для оптимальной

филь­

трации

следует:

x {t -f- At\t +

ДО - Je (f +

Д* 10 =

/С (r - f ДО [2 (f-j-

At) —

-

Я (/ -f ДО Ф (t - f А/, 0 * Ш •

Поэтому

уравнение

(7-60) можно записать

в виде

x (t, 11 + ДО -

x (/, Ю = B(t + àf)K{t-\-

At) \z (t - f At) -

~

H (t + ДО Ф (f +

Дг, 0 *

|0].

откуда для / ^ О следует:

л (*,|0 = В (О К (0 [г (0 — H(t)x

(t\t)\,

(7-63)

если существует

предел

lim

ß(r + AO = ß(0-

B(t

+ At){I +{F (t)

+ G (t) Q (t) G' (t) p-i(t\t)]At

+

+

0(At2)}

=

B(t).

Группируя члены, имеем:

B(t

+ At)—B(t)=—B(t

+ At) {[F (t) +

+ G (t) Q(t) G' (t) P-i

(t\t)]At + 0

(At2)}.

Наконец,

разделив

обе части

последнего

уравнения

на

и

переходя

к пределу

при At—»~0, получим:

В =

-

В [F (() + G {t) Q (f) G' {t) P-1

{Щ

Так как

В{и+А*)=А{Ь).

lim

B(t1 +

M) =

B(t1),

то ясно, что

д/->о

В(^,) =

1ітЛ(^) .

Д<-»0

Но из уравнения

(7-62)

имеем:

lim

Л ft) =

Ига Р & І О Ф ' +

іі)Р'1{іі

+ Щі)

= 1-

Д<->0

Д<-»0

Следовательно,

требуемое начальное

условие

имеет

ВИД

Д ( * і ) = / .

ковского процесса

второго порядка {x(ti\t),

где

x(t\\t)=x(t\)-—x(ti\t)

ошибка сглаживания

в закреп­

ренциальное

уравнение

для

P(ti\t)

=E[x(U\t)x'(ti\t)].

Если в

уравнении

(6-80)

теоремы

6-2 заменить k

на ti, j на t + At,

а /—1

на t, то получим

уравнение

P{ti\t

+ M)—P(ti\t)=—B{t

+ At)K{t +

M)x

XH(t+At)P(t

+ At\t)B'(t

+

At).

Разделив его на At и перейдя к пределу при At—»-0,

получим:

P (МО =

-

в (О P (t\t) Н' (о R ' 1

( о н (о P (t\t) В' (о (7-65)

для t^ti,

где использованы ранее вычисленные

пределы

Um Я

- f ДО = ß

(0.

lim

K

{ t + à t )

=

P(t\t)H'(ty.R

- ' ( 0 ;

Д<-ѵ0

й

1

lim P(t-{-At\t)

=

P{t\t).

Из уравнения

(7-8)

следует:

K(t)=P(t\t)H'(t)R-i(t)

H{t)P(i\t)=R(t)K'(t).

Подставляя

два

последних

соотношения

в

уравне­

ние (7-65), получаем требуемый результат:

Я ( М 0 = -

В (t)K(t)

R(t)K'{t)

B'(t).