Файл: Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление.pdf

мации. Его работа не зависит

от того,

известно или нет

t = t,

~

'

x(t,\t)

X(to\to)=0^7ç>

Zft)

4 ?

• x(t\t)

можно

одновременно

с x(l\\t) вычислять

P(ti\t)

и пре­

рывать

сглаживание,

например, в тот

момент,

когда

след

матрицы

P(ty\t),

представляющий

собой

средний

квадрат

модуля ошибки

сглаживания

в

закрепленной

точке,

окажется

меньше

заданного порога. С этого мо­

вание в некоторой

новой

точке

tt.

В этой связи следует

заметить,

что вычисление

матрицы P(ti\t)

достаточно

просто, поскольку согласно уравнению (7-59)

P (МО =

P (MA) -

Ç В (х) К (x) R ' ' (х) К' (х) В' (т) dz,

где t^ti.

t\

Заметим

также,

что

если

выражение

(7-30) для

матрицы

передачи

оптимального

фильтра,

сглажпваю-

системой и2 уравнений. Более

того, в коэффициент при

матрице В в уравнении

(7-58)

входит

обратная матри­

ца P~l(t\t)

со всеми вытекающими

отсюда вычислитель­

ными трудностями. Эти трудности

можно частично

обой­

ти, решая уравнение (7-52) и получая

непосредственно

матрицу M (t) =P-l(t\t),

i~^U.

В этом случае

начальное

условие для уравнения (7-52)

имеет вид M(ti)

= P _ 1 (*iUi) -

Ясно, что матрица

P(ti\ti)

должна в этом случае

быть

несингулярной.

Можно

также

определить

матрицу

передачи

филь­

метода,

в

котором

полностью

отсутствует

матрица

P-^tlt).

Этот

метод приведен

в задаче

7-10, он

также

будет рассмотрен в § 8-3.

Пример

7-5. Исследуем

задачу

сглаживания

в

закрепленной

точке для того же класса

систем,

какой

рассматривался

в

примере

7-3, а именно для класса

систем

без

внутренних

шумов,

т. е. при

Q(0=0 для всех

t^to.

Полагая, что матрица

P{t\t)

несингулярна

для всех

t^tu по­

лучаем:

G(t)Q(t)G'(t)P-i(t]t)=0,

так что уравнение

(7-58) при B(ti)=I

принимает вид:

B = —BF(t).

(7-66)

Легко

убедиться,

что решением этого

уравнения

будет

матрица

B{t)=0(tu

t)

(7-67)

для t ^ t i ,

где

Ф(/і,

t) — переходная

матрица

состояния

системы

Подставляя

в (7-57) уравнение

(7-67),

имеем:

*(*,

I о=Ф ( * . . 0 * ( 0

\z{t)-H{t)x(t

I 0].

Однако

согласно уравнению (7-7)

К

(t) [z{t)-H

(t) x(t

\t)] = x(i\ ()- F (t)

x(t\t).

Поэтому

x(tt

| 0

= Ф ( * , .

0

[x(t

\t)-F(t)

x(t\

t)]

=

=

Ф(*„ t)x(t

I 0 - Ф ( ' і .

t)F(t)x{t

1 *)•

I 0 = Ф(Л.0*(< I 0 + Ф(Л.О *(* 10 =

=^ - [Ф (/,,0*(<

I 0]

и отсюда

сразу следует, что

х ( М 0 = Ф(<і . 0*('І0

(7 -6 8 )

для t^ti.

Следовательно, если Q(l)=0,

то оптимальное

сглажива­

P(ti

і)=—

Ф ( / І , t)P(t\t)H'(t)R-*(t)H{t)P(t\t)«$'(tu

t).

Но из уравнения

(7-9)

следует, что

—

P(t

I t)H'

(t)R-4t)H{t)P(t

I 0

=

= P(t\t)-F[t)P(t\t)-P{t\t)F'

(0,

если

Q(l)=0.

Тогда

ясно, что

P(h

I t)

=

<b(tl.t)P{t

I 0Ф' (<і.0-Ф('і. t)F(t)P{f

I 0 Ф ' ( ' і . 0 -

- Ф ( ( І

, І ) Р ( І

i t)F>(t)V{t,

I о = Ф('і.О^С

I ОФ'(Л.О +

+

é(tl,t)P(t\

t) Ф' (t,, о + Ф (/,. 0 P CI

0 Ф' (<і.

0 =

£=—ах,

(7-70)

где a=const>0. Примем ^о=0 и предположим,

что начальная кон­

где

[v(t),

/3*0}—скалярный гауссовский белый шум с нулевым сред­

ним и дисперсией

о^, независимый от х (0).

Так

как требуется

уточнить

значение

х(0),

положим

/і = /о=0.

ет

Задача

фильтрации,

которую

следует решить

сначала,

совпада­

с задачей

из примера 7-1, за исключением того, что здесь Q(0 =

— a2w = 0, а

х(0)

имеет

ненулевое математическое

ожидание.

Из примера 7-1 имеем:

Рі = ( - в +

^а»")<»*=0;

Н2 = (— а — V~äF) z\

= — 2аа\

4

+

^ 4

'

так что

PV\t)=7—T2

fag/(ag -f 2т\

M* " f " «

(°o + 2a°l

) - аУ2a''

Уравнение оптимального фильтра имеет вид:

x(t\t)

= -ax(t\t)

+

K(t)

[г(0

- * ( / | 0 ]

для

/3=0

при х (0 | 0) =

х (0),

где учитывается тот

факт,

что х (0)

имеет

ненулевое

математическое

ожидание.

Для

системы

(7-70)

имеем:

где

/ : - 0.

Ф(<,, <) = Ф(о, о = «°*.

(7-68)

и (7-69)

следует, что

Из

уравнений

x(0\t)=e°*x(t\t)

(о |о

2а

р

Замечая, что постоянная времени химической реакции Т=\/а

й

полагая,

что реакция

в

основном заканчивается за время t = 4T,

имеем

2а°1

2

в качестве предела точности

оценки

начальной

концентрации,

при

условии,

что дисперсия

а2,

произвольно велика.

7-6. ОПТИМАЛЬНОЕ

СГЛАЖИВАНИЕ С ПОСТОЯННЫМ

З А П А З Д Ы В А Н И Е М

В заключение главы исследуем задачу оптималь­

ного сглаживания с постоянным запаздыванием

для

системы

(7-1), (7-2). Здесь будет рассматриваться оцен­

ка вида

x(t\t + T),

t^to,

где

величина

7 = const>0

на­

метрии

и связи,

если

допустима

задержка

оценок.

Теорема 7-5 [Л. 7 4].

1)

Оптимальное

сглаживание

с постоянным

запазды­

ванием

для

системы

(7-1),

(7-2)

описывается

уравне­

нием

x {t\t +

T) =

F (t) x {t\t +

T) + С (t +

T)

X

X Ä ' ( H

7-) [z(t

+

T)-H{t

+

T)x{tt+

T\t +

T)]

+

+ A(t)[x~(t\t-\-T)-x(t\t)\

(7-71)

при t~p>U, где

K(t)=P(t\t)H'(t)R-*(t);

A(t)

=

G(t)Q(t)G'(t)P-4t\t),

a C(t + T) —матрица

передачи

сглаживающего

филь­

тра с постоянным

запаздыванием

размера

пХп.

Началь­

ным условием

является

результат

оптимального

сглажи­

вания

в закрепленной

точке

x(t0\t0+T).

линейному

мат­

2)

Матрица

С(і + Т)

удовлетворяет

ричному

дифференциальному

уравнению

C(t+T)

=

[F{t) +

A{t)}C(t

+

T)-

-CV

+

T)[F{t

+ T) + A{t

+

T)],

-(7-72)