с нулевым средним {x(t), t^t0}, где х — «-вектор, a t0— заданное начальное время. Очевидно, что случайный
процесс, |
описываемый |
уравнением |
(7-1), |
является |
част |
ным случаем такого процесса. |
|
|
|
|
На процесс измерения |
здесь |
накладываются |
более |
жесткие |
ограничения, |
чем |
ранее. |
Предполагается, что |
{z(r), |
x^to} |
является гауссовский |
непрерывным |
случай |
ным процессом, описываемым соотношением |
|
|
|
|
|
г(х)=Н(х)х(х)+ѵ(х). |
|
|
|
(8-1) |
В уравнении (8-1) |
z — m-вектор; |
Н(х)—непрерыв |
ная |
матрица |
размера |
тХп; |
{ѵ(х), |
x^t0} |
— гауссовский |
белый шум |
с нулевым |
средним и матричной |
корреля |
ционной функцией |
вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
E[v(x)v'(a)]=R(x)6(x—o) |
|
|
|
|
для |
всех |
x, |
o^U, |
где |
R(x) |
для всех x~^U — непрерыв |
ная положительно определенная матрица. Предполага
ется, что |
случайные |
процессы {x(t), |
t^t0} |
и {v(t), |
t~^U) |
могут быть |
коррелированными. |
|
|
|
|
|
|
Как и |
ранее, |
обозначим |
через |
x{t^t) |
оценку |
состоя |
ния x(t^) |
в |
момент |
времени |
f,3- |
t0, |
сделанную на |
основе |
измерений |
{z(x), |
t0^x<zZt} |
|
для |
некоторого |
t^t0. |
Ошиб |
ка оценки |
вновь |
определяется |
с |
помощью |
соотношения |
|
|
|
* ( М 0 = * & ) - |
*(',!*)• |
|
|
Ограничимся критерием качества оценки вида сред- |
неквадратической |
ошибки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1[х{и\1)} |
= Е[х'(к\1)х(1^)1 |
|
|
(8-2) |
Далее потребуем, чтобы оптимальная оценка, т. е. |
оценка, минимизирующая |
J[x(ti\t)], |
имела |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
т ) г ( т ) ^ , |
|
|
|
|
|
|
= |
! |
Л (f„ |
|
(8-3) |
где A(ti, |
х)—матрица |
|
размера |
|
nXtn, |
непрерывно диф |
ференцируемая по обоим своим аргументам. |
|
Уравнение (8-3) |
просто |
означает, |
что |
оптимальная |
оценка отыскивается в классе линейных оценок. Каче ственным обоснованием такого ограничения является
теорема 5-2, свойства оптимальных оценок на стр. 185, уравнение (5-12), полученное для оптимальных оце нок гауссовских процессов с дискретным временем и обсуждение результатов § 7-3 (стр. 291). Действительно, уравнение (8-3) является непрерывным аналогом урав нения (5-12). С его помощью оптимальную оценку мож но интерпретировать как выходной сигнал нестационар ной линейной системы с входным воздействием в виде
|
Нестационар |
> |
) |
ная л инвиная |
|
I |
система |
|
Рис. 8-1. Представление оптимальной си стемы оценки в виде нестационарной ли нейной системы.
вектора |
измерений. |
Это показано схематически |
на |
рис. |
8-1. |
|
|
|
С другой стороны, можно ограничиться оценками ви |
да |
(8-3) |
в силу их |
простоты. Предполагается, что |
это |
облегчит задачу оптимизации и позволит получить про стые и эффективные алгоритмы оценки. Такая точка зрения принята в классической теории управления, ког да заранее фиксируется структура системы управления, а ее параметры подбираются впоследствии с целью
оптимизации |
соответствующего |
набора |
характеристик |
качества. |
|
|
|
|
|
|
Используя |
более сложные |
математические |
методы, |
чем применяемые в настоящей книге, можно |
показать |
[Л. 8-1, 8-2], |
что |
если процессы |
{x(t), |
t^tQ} |
и {z(x), |
гауссовские |
с нулевыми |
математическими ожида |
ниями, то оценка, |
оптимальная |
не только |
для |
критерия |
качества вида среднеквадратической ошибки (8-2), но и для любого критерия качества вида
|
1[х(^)] |
= |
Е{Цх(и\Щ}, |
|
где L — допустимая функция |
потерь, должна описывать |
ся уравнением |
вида (8-3). |
|
|
|
|
Впоследствии A (ti, х) |
будет называться весовой |
мат |
рицей, чтобы |
подчеркнуть, |
что она |
определяет |
связь |
между входом системы z(x), |
t0^.x^t, |
и выходом |
x(ti\t), |
Постановка |
задачи |
|
|
|
|
|
|
По |
известным |
измерениям |
{z(x), U^ix^Lt) |
найти |
оценку |
состояния |
|
|
вида |
(8-3), |
минимизирую |
щую среднеквадратическую |
ошибку |
(8-2). |
|
|
|
Ясно, что задача |
заключается |
в определении |
весовой |
матрицы A(t\, х), |
/о<:т<с;г. |
|
|
|
|
|
Решение поставленной задачи оценки дается теоре |
мой 8-1. Эта теорема |
доказана |
|
Калманом |
и |
Бьюси |
[Л. 8-1] с использованием понятия |
|
ортогональных |
проек |
ций в гильбертовом |
пространстве. |
|
Здесь |
она |
доказыва |
ется с использованием классических вариационных ме тодов.
Теорема дает необходимое и достаточное условие оптимальности оценки в виде матричного интегрального уравнения, называемого уравнением Винера — Хопфа.
Вследствие этого задача оценки сводится к задаче ре шения интегрального уравнения частного вида.
Теорема |
8-1. |
Для |
того |
чтобы |
оценка |
x(t\\t) |
была |
оптимальной, |
|
необходимо |
и |
достаточно, |
чтобы |
весовая |
матрица |
A (О, |
х) |
удовлетворяла |
уравнению |
Винера |
— |
Хопфа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
(т) z' |
|
|
|
|
E |
[x (Q |
z' |
(*)] - |
{ Л ( М x)E[z |
(s)] dx = |
0 |
(8-4) |
для всех |
|
cr<c: t. |
to |
|
|
|
|
|
|
|
i o < ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Согласно |
определению |
ошибки |
оценки и уравнению (8-3) |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
* (МО = |
• * & ) - * |
( М О = • * ( ' . ) - |
f л * ^ > |
-о 2(1) |
|
где A*(t, т)— произвольная весовая матрица. Отсюда следует, что корреляционная матрица ошибки имеет вид:
£ [ х ( М 0 * ' Ш = Я < |
. * & ) - |
т)г(т)<*т X |
X ! • * & ) - \A*(tt, |
IL |
h\=Е[х{и)х'Ш- |
o)z(?)ds |
|
- Ç £ [ * ( О г ' ( ° ) М * ' ( ' . . 9)(Ь-
|
-jV(*„ x)E[z(x)x'(t1)]dx |
+ |
|
to |
|
t |
t |
|
Среднеквадратическая ошибка |
представляет собой |
след этой матрицы. Так как третье слагаемое в правой части уравнения (8-5) получено транспонированием вто рого слагаемого, след их суммы равен удвоенному следу второго слагаемого. Это означает, что среднеквадратическую ошибку можно представить в виде
^ ( M 0 ] = S p J £ [ * & ) * ' ( O l -
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
2 |
\E\x(t1)z'(i)}A*'(tl, |
|
|
0 |
) d 3 |
+ |
|
|
|
+ |
{ A* (fl t |
x) dx Ç E[[Z |
(x) Z' |
(a)] Л*' (fn |
3 ) |
Л |
. |
(8-6) |
|
|
to |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
Уравнение (8-6) представляет среднеквадратическую |
ошибку в виде функционала от A (t, х). |
|
|
|
|
|
Теперь предположим, что существует весовая матри |
ца |
A(tit |
х), для |
которой |
выражение |
(8-6) |
минимально. |
Образуем другую весовую матрицу вида |
|
|
|
|
|
|
|
Л* (г,, x)=A(t1, |
x) + |
eAt(tlt |
|
x), |
|
|
(8-7) |
где |
As(t^ |
x) — произвольная |
весовая |
матрица, |
а s — ска |
лярный параметр. Член eAt(tlt |
|
х) |
называется |
вариацией |
матрицы |
A(tu |
х). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если уравнение (8-7) |
подставить |
в уравнение |
(8-6), |
то |
среднеквадратическая |
ошибка |
становится |
функцией |
от |
е при постоянном Ae(t, |
х). |
Далее, |
если |
A(t, |
х) |
—ве |
совая матрица, |
минимизирующая |
среднеквадратическую |
ошибку, |
то эта |
ошибка |
должна |
быть |
стационарной при |
8 = 0. Иными |
словами, |
частная |
производная от средне- |
квадратической ошибки по е должна обращаться в нуль
при |
е = 0. Такой подход приводит к необходимому |
усло |
вию |
оптимальности, накладываемому на A (ftи т). |
Полу |
чив это условие, покажем, что оно также является до
статочным.
331
