Необходимость. |
Подставляя |
уравнение |
(8-7) в урав |
нение (8-6), получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
[хЦШ = S P |
| E [ X |
ft)*'(Ol |
- |
|
- 2 f £ [ * f t ) z ' ( ' ) l H f t , |
3 ) + еЛе (^„ |
?)}'di + |
to |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
+ f |
[Л |
ft, т ) + е Л , ( * „ |
x)]dxj £ [z(x)z'(^)]X |
|
|
X H f t , |
з) + |
еЛе (г„ 3 )]'d3 J. |
(8-8) |
Отсюда |
следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
j£-= |
Sp j |
- 2 j |
£ |
[x ft) г' (3 )] Л'. ft, |
з) X |
|
Х |
Л + |
[ [ Л |
ft, |
T ) + |
B ^ f t , |
х)] Х |
|
|
|
t |
'о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xdx f £ [ z ( T ) , ' 0 ) ] ^ 6 f t , |
3 ) Л + |
|
|
|
' t |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ | Л ft, |
x)tfx j £ [ z ( x ) Z ' 0 ) ] H f t . 3 ) + |
4 f t , |
а)]'Л |
Так как последнее слагаемое в правой части этого выражения получено транспонированием второго слагае мого, след их суммы равен удвоенному следу второго слагаемого. Следовательно,
^ - = 2 S p | f H f t , -O + e^.ft, x)]dxX
t0
t
X f COM'. ('..*)л-
'о
- Ç £ [ x f t ) z ' ( ^ ) ] / l ' , f t , a )^J .
Если сравнить сумму первого, второго и четвертого слагаемых в этом выражении с правой частью уравне
|
|
|
|
|
|
|
|
ния |
(8-6), то можно |
убедиться, что |
эта |
сумма |
равна |
среднеквадратической |
ошибке |
для |
весовой матрицы |
A(t, |
т), т. е. минимальной среднеквадратической |
ошиб |
ке. Обозначим ее |
J°[x(ti\t)]. |
|
|
|
|
Так как пятое |
слагаемое |
получено |
транспонирова |
нием шестого слагаемого, след их суммы равен удвоен ному следу последнего. Поэтому уравнение (8-10) мож но представить в виде
Согласно уравнению (8-1) |
|
Е [z (т) z' (а) ] = H (т) Е [х (т) х'{а)]Н'{а) |
+ |
+ Н{х)Е [х (т.) ѵ'(а)] + Е[ѵ (т) х' (а) ] Н' (а) + R (т) Ô (т—а). |
Первые три слагаемых в правой части этого соотно |
шения неотрицательны, а последнее слагаемое |
R(x)è(x— |
—а) положительно, поскольку матрица R(x) |
положи |
тельно определена для всех x^U. Поэтому подстановка |
этого соотношения в последнее слагаемое в правой части
уравнения (8-11) |
делает это |
слагаемое положительным. |
Теперь ясно, что если |
|
|
E[x(t,)z'V)]- |
t |
T)E[z{z)z'(,)\dz |
= 0 |
[ Л ( ^ , |
|
h |
|
|
для всех to^o^t, |
то второе |
слагаемое |
в правой части |
уравнения (8-11) |
обращается |
в нуль и |
|
J[x{tAt)}>P[x{U\t)}.
Это означает, что среднеквадратическая ошибка не уменьшается при возмущении A(t, т), если эта матрица удовлетворяет уравнению Винера — Хопфа. Теорема до казана.
Для удобства уравнение Винера — Хопфа |
часто |
запи |
сывают в виде |
|
|
|
E[x{t1\t)z,{a)] |
= 0 |
(8-12) |
для всех ^ о ^ Д ^ І |
|
|
|
Это равенство легко получить. Уравнение |
(8-4) |
мож |
но представить в виде |
|
|
|
a так как
X{tl\f) = |
^A(J1, |
т ) 2 ( т ) Л , |
и x{tl I t) — x(tù — x(tl\t), |
то |
отсюда сразу следует |
уравнение (8-12). |
|
|
Не представляет затруднения также доказательство следствия теоремы 8-1.
Следствие 8-1.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Вначале заметим, что
E[x{tt\t)x' |
|
г |
t |
|
|
{tAt)\=E\x{tAt) |
'A(tt, |
i)z(%)dz |
|
|
|
L'o |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
z)dz |
|
|
= |
^Е[х^\Е)г'(т)]А'(^ |
|
|
Но |
в силу |
уравнения (8-12) |
E[x(ti\t)z'(т)] |
= 0 для |
всех ^ о ^ т ^ ^ , что и доказывает |
следствие. |
|
В |
следствии |
утверждается, |
что оптимальная |
оценка |
не коррелирована с соответствующей ошибкой оценки. Так как оба вектора являются гауссовскими, это озна
чает, что они независимы. |
|
|
|
Решение уравнения |
Винера — Хопфа, |
как и |
решение |
всякого |
интегрального |
уравнения, |
представляет собой |
довольно сложную задачу. Если {х(іі), |
ti^U) |
и {z(x), |
U^x^t)— |
стационарные процессы, |
уравнение |
можно |
решить в общем виде, используя метод спектральной факторизации, предложенный Винером. Этот метод из лагается, например, в работах Ли [Л. 8-3], Ньютона и др. [Л. 8-4]. Однако обычно требуется рассмотреть не которые частные случаи решения нестационарного урав
нения |
Винера — Хопфа, что и будет сделано в |
§ 8-2 |
и 8-3. |
|
|
Легко найти качественные аргументы в пользу |
урав |
нения |
Винера — Хопфа. Во-первых, здесь утверждается, |
что оптимальная оценка должна быть линейной и иметь
вид |
(8-3) непрерывного |
аналога уравнения (5-9). Далее |
по |
аналогии с третьим |
свойством |
оптимальных оценок |
на |
стр. 185 получаем, что ошибка |
оценки |
|
|
|
|
|
|
не зависит от |
множества известных |
измерений |
{z(o), |
to^o^it}. |
Это |
означает, что процессы {x(ti\t), |
ti^to} |
и |
{z(a), |
to^o^t} |
некоррелированы и, |
следовательно, |
|
для |
ö < ! t. |
|
Поэтому следствие 8-1 представляет собой просто |
непрерывный аналог уравнения (5-10).
В заключение параграфа приведем следующую лем му, которая будет использована в § 8-2 и 8-3. В лемме
утверждается, |
что |
корреляционная |
матрица |
разности |
двух оптимальных оценок равна нулевой матрице. |
|
Лемма 8-1. Пусть |
|
x(tt\t) |
и -**(г,| |
t) — |
оптимальные |
оценки |
состояния x{tx). |
Тогда |
|
|
|
|
|
E |
{[X (f, \t)-x* |
(t, |
11)) [S (M Z) - x* |
С I 01 '} = |
0- |
(8-14) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть |
x{tt |
\t) = |
x(tA —x |
(t, \t) |
и x*(t1\t) |
= x(t1) |
— x*(t^t). |
Согласно |
следствию |
8-1 |
|
|
Е[х(^\^х'(Ц^} |
|
= |
0; |
|
|
(8-15) |
|
|
£ И М |
0 > |
(M |
0 1 = 0 . |
|
|
(8-16) |
