Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

Скачать файл (12,65Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 138

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

н ео тр и ц ате л ьн о го	ц ел о го ч и сл а к (Е 9 1 п	мы	и м еем
ь	- sup	=	Тр (ф),
	(еяп

где DP = D kd/dtv. Поэтому наше утверждение следует пз леммы

1 . 1 0 . 1 и определения непрерывности оператора, отображающего

счетное объединение пространств в себя.

Оператор, сопряженный к d/dtv, обозначается через — d/dtv

попределяется соотношением

( ~ ~ К ' *> = < (*• " й ^ > - / ей )'’ ф е г ) -

Эта формула согласуется с формулой интегрирования по частям, если, например, / и df/dtv — непрерывные фупкцнп па £Яп \ в этом

случае обе части равенства (2 ) являются интегралами на £R,n, и вне-

интегральные члены, возникающие при интегрированпп по частям,

обращаются в нуль. В общем случае сопряженный оператор — -4 7 —

интерпретируется как обобщенный дифференциальный оператор, действующий в 3)’К или в 3)’ . Например, для любого фиксирован

ного г е 31п II дельта-функцпл б (t — ßх), сосредоточенной в < = х (см., например, 1 .8 . 1 ), функционал — -777— б (t — х) является элемен

том й)' и определяется на 2) выражением

< -	~	k 6	(г -	т)’ ф (<)> =		< б -	т)’	ф (‘)>	=	-ж ;	\| , _

П р и м е р				1.10.2.	Пусть	х — фиксированное			действительное
число. Оператор				сдвига	5Т: ф (г) е->- ф (t — х) определяет, очевидно,
непрерывное			линейное		отображение 3) в 3). Обратное отображение
имеет вид 5 _ т и те же самые свойства.							Кроме того, 5Х осуществляет
взаимно		однозначное отображение Sb на 3). Такпм образом, 5Т —
автоморфизм			на 3).
По определению оператор 5.1, сопряженный к оператору 5
задается		формулой
				ф > = </, <утф >,			/ е й ) ',	ф е й ) .			(3)

Обычно 5т / (<) обозначают через 5-т / ( * ) = / ( * + х), так как это согласуется с тем случаем, когда / — локально интегрируемая функция и (3) представляет собой равенство двух интегралов;

§ f ( t + %)<V(t)dt= ^ / (О ф (t — х) dt.

сдвига	5 _т:	я п		/ {t + х).	яп
		/ (t) >->■				как обобщенный	оператор
Таким	образом,		5т	интерпретируется
					Согласно	теореме 1.10.2	оп задает
автоморфизм		на	й)'.

З а д а ч а

1.10.1. Показать, что область изменения линейного

оператора

является линейным пространством. Показать также,

что если 91 линеен и взаимно однозначен, то

обратный оператор

91-1 также

линеен.

З а д а ч а

1.10.2.

Доказать

лемму

1.10.1.

З а д а ч а

1.10.3.

Доказать

лемму

1.10.2.

З а д а ч а

1.10.4.

(а) Пусть 16 и I f — мультинормпроваииые

пространства

п 91 — изоморфизм

из

на I f .

Показать, что если

16 полно,

то

полно

I f .

(Ъ) Пусть,

кроме

того, оператор

А — линейное непрерывное

отображеине 16 в другое мультипормнрованное

пространство

16?.

Определим

оператор В , отображающий I f

в W

формулой £ф =

где

ф = 91<р,

ф €Е 46.

Показать,

что В

линеен и непре

= А ф,

рывен.

З а д а ч а

1.10.5.

(а) Пусть Ѳ (t) — гладкая функция на £Яп.

Показать,

что

ф >->- Ѳф

есть

непрерывное

линейное отображение

3) в 3).

Определив сопряженное отображение формулой

<0/,

Ф> =

</,

0ф>,

ф е 0 ,

(4)

мы можем заключить, что / к-»- Ѳ/

является непрерывным линейным

отображением 3 ' в 3)'.

(Ь) Сформулировать условия

на рост Ѳ (г)

при | t [ —» оо,

при

которых оператор / ь>

Ѳ/, определенный

формулой (4), где ф £

$ ,

задает непрерывное линейное

отображеине с?'

в S '.

Г Л А В А 2

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

2.1.Введение

Вэтой главе мы излагаем некоторые элементы теории рас пределений и обобщенных функций. Как и в предыдущей главе, мы ограничимся только теми результатами, которые нам понадобятся в последующих главах. Более полное рассмотрение этих вопросов имеется во многих других книгах; см., например, Фридман [1], Хорват [3], Шварц [1]

пЗеманян [1]. В конце п. 2.2 мы приведем ряд более тонких свойств распределений, таких, как свойства ло кальности; за их доказательствами читателю предлагает ся обратиться к другим источникам.

2.2. Пространства ЗЗк (I ), 25 (I ) и сопряженные к ним. Распределения

to, .

. .,

tn )

ее

Я п

и / —I .непустое открытое

Пусть К

Ц 1;Я п

множество

(допускается

случай

I =

Я п).

Далее,

пусть

— компактное

подмножество

Обозначим через

25 (/) множество всех комплекснозначных гладких функ

ций, определенных

на /

и обращающихся

25в кпуль в тех

точках

I ,

которые

не принадлежат

К .

Если / =

Я п,

то

это множество3)будетк

обозначаться

через

Мы

уже

частично рассмотрели 25н в примерах

предыдущей главы.

Множество

(Л является линейным пространством

с обычными .определениями сложения функций и их

умножения

на

комплексные

числа.

Нулевой элемент

25н (/) — это

Кфункция,

тождественно равная нулю

на

I .

Мы обозначим ее через 0

(вместо прежнего обозна

чения 0 ) . Если

{

I <

1} и

— любое открытое

множество,

содержащее

К ,

то примером элемента 25/с(/)

является сужение на

функции, определенной равенством

(1)

и. 1.3.

Для

любого

неотрицательного целого числа

к GE Я п мы определим полупорму

Т а (ф) = sup I D\ р (t) |, ер е ЗЗк (/)•

(і)

Отметим, что у0— норма. Таким образом, когда к про бегает неотрицательные целые числа в Я п, мы получаем счетную мультинорму, определенную на З )к (І). Мы снаб дим З)к(І) топологией, порожденной { уь}; £>к{1) станет тогда счетно-мультпнормированным пространством.

Пространство 25к{1) полно и, следовательно, явля ется пространством Фреше. Для доказательства заметим, что если {срѵ} — последовательность Коши в З З к(І), то опа сходится на I равномерно, так как комплексная плоскость полна п

То (фѵ —

ф Д

= s u p

I ср, (<) —

фц ( і) I - > О,

іеі

когда V н |і стремятся к бесконечности независимо друг

от друга. СледовательноI .

согласно

известной

теореме

предел ф последовательности{33к

{фѵ} есть непрерывная

функция

на

Повторно

используя

Iдругую.

известную

теорему, мы видим, что

фѵ} сходится на /

к функции

25А'ф,

ѵкоторая также непрерывна на

Таким

образом,

Ф принадлежит 25к(Л> и

ПРИ

всех

у ь ( ф ѵ — ф )-» -О,

когда

сю. ЭтимIдоказательство завершается.

Мы обратимся теперь к определению пространства

функций 25 (/),

где

снова{/£TO}ft=1обозначает некоторое непустое

открытое множество в

Я п.

Если

I =

Я п,

то мы обозначаем

I ,

25 (/) через 25. Пусть

— последовательность ком

пактных подмножеств

обладающих следующимиК т.

двумя

свойствами:

К х CZ К 2 CZ К я с : .

2) каждое

ком

1)со

пактное подмножество

содержится в одном из

Следо-

вательно,

К т.

Такая последовательность

сущест-

7 П = 1

вует

для любого непустого открытого множества

(см.

задачу

3)кт

.т).< р ,

то

(/) CZ 25/^ (/). Кроме

того,

все

ктЕсли

(/)

имеют топологию,

порожденную одной и той же

мультинормой, а именно {yft}, где

y h

определены форму

пробегает неотрицательные целые числа в

Я п.

лой ( )

Таким образом,

мы можем построить строгое счетное объе-

3)к

{!)■

динение пространств 25 (/) =

По определению,

т=і

Смотрите также файлы

Курсовая работа по дисциплине Теплотехника Студент гр. Гр2011 М. Н. Осокин.docx

Теоретические аспекты интегрированного и инклюзивного образования детей с овз.ppt

Моя семья. Краткие прилагательные.docx

Лабораторная работа 5 По дисциплине Химия (наименование учебной дисциплины согласно учебному плану).docx

Мануфактура.docx

Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно