Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

последовательность {cpv}SLi сходится

в

25 (7), если

все

Фѵ принадлежат некоторому

3)кт

(7)

и {фѵ} сходится по

мультинорме {у)(}. Пространство

25

(7)

не зависит

от

Обратимся

теперь

к

сопряженным

пространствам.

Символ 25к (7)

(пли 25к,

если 7 =

Л

п)

обозначает прост­

ранство, сопряженное

к

(7)

(или

соответственно

к 25

к 25к).

По теореме 1.8.3 25/с (7) полно. Кроме того, так

как у

0

— норма в 25к

(7), то из теоремы 1.8.1 следует

Т е о р е м а

2.2.1.

Если

D k

то

существуют

такие/ GEчто для(7),всех

положительная постоянная С и неотрицательное целое

число г,

зависящие от /,

С o<|/c|<r,

le j

D kq>

ф ЕЕ 25к (7)

2

I </, Ф> К

max

sup I

(f) |.

( )

25' (7)

(или

25')

— это пространство,

сопряженное

к строгому счетному

объединениюраспределениямипространствна

I 25 (7)

(соответственно

25);

по

теореме 1.9.2 оно

также

полно.

Элементы

25'(7)

называются

или

просто

распределениями.

(Элементы пространства

25'/f(7)

Т е о р е м а

2.2.2.

Если К

—

компактное множество,

содержащееся

в I ,

и f

ЕЕ 3)' (I),

то существуют

поло­

жительная постоянная С

и неотрицательное целое число

г, зависящие от f

и К , такие, что для каждого

ф

3)к (I)

выполняется неравенство 2

Я d

I ,

Если Я (t)и

/ — открытые

множества, причемI

то сужение /

е

®1

(/)

(

).3)

(Я)

принадлежит

3d'

(Я).

на

Пусть /

— локально

tинтегрируемая на функция.

Она

порождает

в

3)'

(/)

распределение (которое

также

обозначается через / или / ( )) по формуле

</. Ф> =

lf(t)q>(t)dt,I

ф <=3d(I).

Действительно,

очевидно,

что эта формула задает линей­

ный функционал на

3)

(/).

Его непрерывность следует из

неравенства

$j

I / (О I dt sup I ф (г) I = 51/ (О I *То (Ф)>

I </, ф> |<

где /

обозначает

носитель ф.

J

одно­

Существует взаимно

распределения называются

регулярными.

г (Я) не может

быть

соот­

I

Если распределение /

несено указанным образом с локально интегрируемой на

функцией,

то 1/ называется

сингулярным.

Примерами1 10 1

являются

сингулярных1

8

распределений

б-функция

(см. пример

.

. ) и ее производные (см. пример .

. ).

рассмотрен в другой

книге

автора (Земаняи

[1],

п.

1. 4 и 2.5).

t)

иt.

Как обычно, мы будем использовать обозначение / (

для регулярных и для сингулярных распределений. Эта

запись не означает, что / является функцией переменной

Это просто удобный способ указать, что основные функ­

ции, на которых задано /, имеют

t

в качестве независимой

переменной.

3d'

Носитель распределения на / определяется следующим

образом.

Говоря, что

распределение / GE

(/) равно

нулю на

открытом подмножестве

J

множества

I ,

если

</, Ф > =нулевым0 для

всех ф ЕЕ 25 (7). Объединение N всех

Nоткрытых подмножеств 7, па котором / равно пулю, назы­

вается

множеством Nраспределения;

/. Множество

открыто, как

объединение открытых множеств. Кроме

того, / также равно пулю на

этот факт

Ітребует довольно

громоздкого доказательства (см. Шварц [1],

т. I,

стр. 26—

28, или Земанян [1], и. 1.8). Дополнение

\

N

множества

N в I

называется

носителем

/ и обозначается

supp /.

Та­

ким образом, носитель / ее 25' (7) — это наименьшееT

замd l­

кнутое подмножество S (в /), на дополнении к которому

распределение / равно нулю. Если

подмножество

содержит носитель

распределения

f

2)'

(7),

то говорят,

что /

сосредоточено на Т.

3)'

(7) является множест­

ЛОтметим, что носитель / ЕЕ

вом, замкнутым в 7; однако он не обязан бытьt

замкнутым

в

п.

Например,

если

I —

{t

: \ t

| <

1}, то

1функция,

1

удовлетворяющая условию / (/) =

на

|

| <

,Л опреде­

ляет регулярное распределение в 25'(7). Носитель/совпада­

ет с 7 и, очевидно, замкнут в 7.

В то же время в

п

носи­

Пустътель не замкнутсовокупность.

открытых

множеств,

Распределения обладают еще одним важным свойством.

{/jn} —

7 —

объединение всех J m и на каждом У т задано распределение

/та ЕЕ 25' (/т )-

Предположим, что если два множества J m и J v

имеют непустое пересечение, то сужения f

m и f

v на 2

-^совпадают. Тогда существует одно и только одно рас­

пределение

сужение

которого на все

т) рав-

/ €Е 25' (7),

(J ) (/т П

HПb i/f m .

7 =

Л п

І ф

Я25п,

Доказательство в случае

при

дано в кнпге Зе-

маняна [1],

п.

1.8.

Доказательство

по

су­

ществу,

не

отличается

от

приведенного

там (см. также

Шварц

[1],ЕЕт. I,

стр. 26—28 или Фридман [1],

стр. 59).

Следствием сформулированного свойства является то,

что для /

25' (7)

и ф Е

25 (7)

величина

</, ф>

зависит

только от значений, которые

ф

принимает в любой ок­

рестности

supp /

(Земанян

[1],

п.

1.8).

Таким

образом,

если Ѳ

— любая

гладкая

функция

на

7,

тождественно

равная ф

в некоторой

окрестности supp /,

то мы можем

=определитьШ| г I < а} числопоказать, что всеформулой(к = 0,

1, 2,

. I. .), определенные

< /, 0 >

< /, Ѳ )

Д

< /, Ф > .

З а д а ч а

2.1.1.

Для

случая

t (ЕЕ 91х,

=

91х

и

К =

ность {Äm‘}m=i компактных подмножеств /, что К 1С

К г С К 3 С ...

и каждое компактное подмножество содержится в

одном из К т.

У к а з а н и е .

Замкнутым рациональным интервалом в £Яп

назовем множество

вида

{г: яѵ 4^ <ѵ ^

Ьѵ, ѵ =

,

,

. . ., л}, где

tv — компоненты t,

а„,

— конечные

рациональные1 2

числа в З і 1.

Использовать этн факты.

З а д а ч а

2.2.3. Пусть

<р — гладкая

функция и

50, * ( Ф ) =

sup

I Ѳ (f) Х)*ф (01,

где Ѳ — любая

гладкая

(&s?n

на З іп

н к — неотрицательное

функция

функций ер на £Яп , для которых к (ф) < со при любых допустимых

0 и к. Показать, что совокупность£ 0

S всех

к определяет мульти-

Как

и

раньше,

t

будет обозначать переменную точку

в

Я п,

а

I

— открытое подмножество

Я п.

Символом

ё (I)

ких

функций

наt

I .

Если

I

=

Я п,

то

мы

будем вместо

I

ё I

писать

простоё

ё .

На

рост функций

ф (f) е

ё

(/)

( )

при стремлении к границе

не накладывается никаких

ограничений,

(/) — линейное

пространство с

обыч­

ными определениями. Кроме

того,

3)

(/)

содержится

зательству,

проведенномуS

для 25к (7).

ДействительноR .

, как мы сейчас покажем, та же топо­

логия порождается в (7)

счетнымК подмножествомг,С2 K 2 CZ К 3 а

муль. . ­

тинормы

Пусть {-Km}m=i — такая последовательность

компактных

подмножеств

7, что

.,

из

К т.

Топология,

порожденная

счетной

мультинормой

{ук

5 =

, k}m,

ft* совпадает с топологией, порожденной Л.

В самом деле,

очевидно,

что первая слабее второй. Обрат1

­

но, дляyxtkлюбого компактногоУкт,

подмножества

К

d

7 сущест­

вует

такое

К т,

К

d

К т.

Тогда для

всех

ф е й

(7)

(ф)

<5что

имеем

ь (ф)- Следовательно, по лемме 1.6.3

Л-топология слабее

5-топологии.

Тем

самым

паше

ут­

верждение доказано.

Отсюда вытекает,

что

S

(7)

является

полноты, пространством Фреше.

сходится

в

S

(7)

S

(I)

и

Последовательность

{фѵ}^=і

тогда

только

тогда,

когда

все

фѵ

и

ф

принадлежат

Ж х

и

для любого

неотрицательного

целого

числа

к

ЕЕ

последовательность { Л^фѵ}^

сходится к

D

kф

равномер­

но на каждом компактном подмножестве

К

d 7.

Это

определение сходимости, очевидно, слабее, чем данноеS

для

25 (7);

другими

словами,

если

последовательность

сходится

в 25 (7),

то

она

обязательно

сходится и

в

(7)

к тому же самому пределу.

S

Кроме того,

3)

(7)

плотно в

(7). Чтобы доказать

это,

предположимК

К

— любое компактное

подмножествоJ

, чтоJ

7.

Возьмем открытое множество

/ , удовлетворяющее ус­

ловию

d

/ d

Xd

7,

где

/

обозначает

замыкание

(доказатьК X ,(t)что

это возможно).

Тогда

существует

такая

гладкая функция

(<),

определенная6

на 7,

что

X (t) =

1

укна, к

и

=к,к0 вне /

(см.,

например,

Земанян [1],

п. 1.8,

лемма 1).

Далее,

для

любой

ф

S

(7)

и любогоS

к

имеем

=

У

(ф)-

Так

как

Хер d

25

(7),^

то

отсюда

легко вытекает,

что каждая

окрестность ф в

(7)-тополо-