Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

т

т

оо

оо

V=r?l

v = n

v = n

v = n .

V— 1

00

</ѵ, Ф> = [2і= 1

</ѵ, Чѵ> + </ѵ, Фѵ> +

2

ѵ+1

Из

</ѵ, Ф>>- Н-=(9)

(5)

получаем

*

2

2

2

1

10

I Н-=ѵ-Ы< / : . ы | <

ѵ + 1

( ) .

| |

^^ == .

"П

Для любых трех|

>

—

|

I

— |

комплексных|

чисел а ,

ß

и ц справедливо

неравенство

а

+

ß + ц

а

ß

1-

Поэто­

му из (7),

(9)

ч-1

н (10) следует

I < / * , Ф >

|

>

—

</»»

Ф ^ >

—

| </ѵ , Фѵ> II92= 1

— I

I

оо

I >

ѵ — i-

= 4 - 1

9

2

</*»

W

j

оо

Отсюда

вытекает,

что

при

|

</(,

гр>

| —-

;

ѵ —>- оо

это

противоречит

предположению,

W

которому

согласно

{/ѵ} — последовательность

Коши в

.

Таким образом,

/ — непрерывный линейный функционал в

,

что и тре­

З а д а ч а

1.8.1.

Проверить, что пространство V ' , сопряжен­

ное к счетио-мультинормированноыу, является линейным.

бовалось доказать.

З а д а ч а

1.8.2.

Проведите доказательство следствия 1.8.2а.

З а д а ч а

1.8.3.

Пусть К — фиксированное

компактное

под­

</, ф> =

^ h (<) ф ( 0

dt,

(1 1 )

где ф (Е

Показать, что / принадлежит 3)К и определить наи­

меньшие

возможные значения,

которые

могут принимать

6

' и г

в формуле (

1

) для функции /.

З а д а ч а 1.8.4.

Пусть <!?' обозначает пространство, сопря­

женное к пространству

определенному в задаче 1.6.4. Элементы

eff' называются обобщенными функциями медленного роста. Пусть

ровать условия па рост h (t) при |

1

—> oo, которые гарантируют,

что h (t) порождает элемент / из S '

в

соответствии с (

), где теперь

1

для того,

чтобы

Ф (Е <(?. Будут

ли эти условия также и необходимы

1 1

выполнялось равенство (И )?

З а д а ч а

1.8.5. Пусть t (Е 31'.

Допустим, что элементы S

СО

заданы на 31'. Определим выражение

/ (£) = ^ а„б (£— п),

где

7 1 = 1

V '

Т

оо

Ѵ'т

Пусть

=

(J

обозначает счетное

объединение

про­

П = 1

{^ m)“=1

странств,

порожденное

последовательностью

счетно-мультинормированныхV*

пространств. Как п раньше,

функционал

/

на Ѵ'

— это правило, по которому каждому

элементу

cp

ЕЕ

ставится

в

соответствие1

комплексное

число </,

ер).

Функционал

/

называется

линейным

,

если

для любых ер, ф ЕЕ2

I

а ,

Р Е

fé выполняется равенство

</, аф +

ßi|)>

=

а </,

ф> +

ß

</, ф>.

Далее,

/ называется

непрерывным

на

^,

если он непрерывен на каждом

Ѵ'т-

По определению последовательность8 2

сходится в

V

тогда

и только тогда,

когда1

она сходится в одном из

Ѵ"т.

Следо­

вательно,

0по леммеV .

.

. ,

линейный функционал /

на

V .

непрерывен в том и только в том случае, если </, фѵ> —ь О

Совокупность всех непрерывных линейных функцио­

при фѵ

V

в

пространством

,

сопряженным к V

налов на

называется

W .

W

и обозначается

через

Равенство, сложение и умно­

жение на комплексное число определяются для

совер­

шенно так же,

как

в п. 1.8. При этом

W

превращается

в линейное%

пространство.

Ѵ*

пространств,

Пусть

%

и

V

— счетные

объединения

причем

— линейное подпространство

(как было отме-

в % к

некоторому пределу ср

V*

следует ее сходимостьV слабеев

,

к тому же%.)самому пределу ср. (В этом случае мы будем

также говорить, что понятие сходимости для

чем для

%Если

— счетно-мультинормированные

пространства, тоV .это условие,

конечно,

выполнено,

когда

топология

сильнее топологии,

индуцированной

на

%

пространством

W ,

g

%,

%

Если / — элемент

то его сужением на

называется

(g,

тот

единственный функционал

на

1.8,

для которого

V '

ср) = </, ср>

при ср

Как,

и в п.

можно дока­

зать,

что

g

принадлежит

.

Для

того чтобы множество

было подпространством

нужно предположить боль­

ше.

В частности, достаточно допустить,

что

%

— плотное1 8 2

подмножество

V

,

и тогда доказательство требуемого свой­

ства

будет

аналогично

доказательству теоремы . . .

рему.

Пустъ % и V*

счетные объедине­

Т е о р е м а2

1.9.1.

—

плотное под­

ния пространств. Предположим,

что %

пространство

и что понятие

сходимости для % силь­

нее, чем для 2

"

является под­

в указанном смысле. Тогда V—

^,

^, .

W ,

сопряженно­

пространством

Понятие сходимости для пространства

2

го к счетному объединению пространств

^,

вводится сле­

дующим

образомW ',

. Последовательность {/ѵ}

называется2

сходящейся в W ,

если все / , е Г

, и

существует

такой

элемент / е

что </„, ф)->-

</,

ф>для всех ф £

*"

при

V —V OQ

(этот тип

сходимости

называется

также

слабой

сходимостью в V

) .

Очевидно, что для любой данной после­

V " .

довательности не может существовать более одного преде­

ла / в

Приведенное понятие

сходимости

Vможет быть

обычным образом распространено

на направленные

мно­

жества

и ряды.

Мы не уточняем топологию

" ,

как

это

Однако ранее

уже было1 6показано1

, что

W

— линейное

пространство

с

секвенциальной

^-сходимостью. Этот

факт отображен

на рис. . . .

последователь­

Последовательность {/ѵ} называетсяV "

последователь­

ностью Коши

в V '

слабой

ностью Коши в Ѵ ) , (точнее говоря,

и для любого ф е У

если все /ѵ €=

Т е о р е м а

1.9.2.

СО

—

счетное объе­

Пустъ 2У —

ш ь

динение пространств

построенное из последовательности,

ffim )

полных

,счетио-мулътипормированиых

про­

полноіп. =і

Тогда

сопряженное пространство

V 1'

также

странств.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

{/ѵ}^=і — последо­

вательность Коши в

W ■

Как п в доказательстве теоремы

1.8.3, {/ѵ} определяет единственный линейныйV—*оофункцио­

нал / на

посредством соотношения </, ср> =

lim

</v, ср>

(ф €Е

.

Ѵ').

Мы должиы показать, что /

также

непрерывен

на

По определению, /ѵ при всех ѵ является непрерывным

линейным функционалом на

каждом

W m,

причем {/ѵ} —

П р и м е р

1.9.1. Пусть âУ — пространство,

сопряженное

к 3), строгому

счетному объединению нространств,

введенному

По теореме 1.9.2 пространство 3)'

полно. Элементы 3)' называются

распределениями на З У или просто распределениями.

З а д а ч а 1.9.1. Проверить,

что пространство, сопряженное

ством с секвенциальной »-сходимостью.

/(')=

а (*-*,.>

З а д а ч а 1.9.2.

Определим

выраженяе

721 = 1

как функционал на 3) формулой

</ (0,

Ф (0> = 2

ф (т«)’

Ф е 3),

п = 1

если правая часть ее сходится;

здесь t

— перемепная

в З У 1, и

гп — фиксированные точки З У 1. Найти для множества точек {тп}