Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

Скачать файл (12,65Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 142

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

гии содержит элемент 25 (7). Действительно, любая та кая окрестность содержит шар вида

№К Ф е

Ш (I);

Т ( ф —

Ф)

< вѵ, еѵ > О, V = 1, . .

т),

где

— неотрицательные целые числа в

Л п

К ч

— ком

пактные подмножества 7,

неКобязательно отличные друг

от

друга.

Полагая

и построив

указанным

К =

Ѵ(J

выше способомS

= 1

, мы находим, что Хер есть элемент шара.

ЭтоS доказывает утверждениеI — Л п, .

пространство,

S'1

Через

(7) обозначается

сопряженное

(7).

Если

то

обычноS'(I)

пишут

вместо

(/). В силу теоремы 1.8.3

пространство

$'(І)

полно.

Кроме того, согласно теореме 1.9.1,

является подпрост

ранством 25'(7). Можно дать следующее описание распре

делений из			S'(I).	Пустъ	/		I ). Для того что
	Т е о р е м а 2.3.1.				/	ЕЕ	25' (
бы	/	€Е S' (7), необходимо и достаточно						,	чтобы носитель
	/							,

/был компактным подмножеством I .

До к а з а т е л ь с т в о . Достаточность. Пусть носи тель / — компактное подмножество 7. Возьмем такую функцию X(t) ЕЕ 3) (I), что X (t) == 1 в окрестности J носи

теля /, где J d I . Тогда из последнего абзаца предыдуще го пункта (перед задачами) следует, что / можно опреде

литьS

на

(7)

по

формуле

</, ср>

(7)</, Х'р>

для

любой

функции /

ЕЕ S

(7).

Очевидно, что

функционал

линеен

на

(/).

Его

непрерывность

на

вытекает из того

факта, что

Хсрѵ

в 25(7),

если

фѵ - > 0

S(I).

Следо

вательно,

/ GE $'(7).

Необходимость.

Пусть {7£т }т=.і — последовательность

К х

К 2

К 3

компактных подмножеств

удовлетворяющаяК т.

условию

d . .

и пусть

каждое

компактное

под

множество 7 содержитсяD (7),

в одном из

Предположим, что

носительК т,

/ не компактен. Тогда для

любого

найдется

функция фт ее

обращающаяся в нуль в окрестно

сти

для

которой

</, фт ) ч ^ 0 -

Положим

Ѳт =

Фт / </, Фт)•

Тогда </, Ѳ т)

ДЛЯ ВСѲХ

771.

Но

ПО-

следовательность

0т}

сходится

7в

(I)

7так какК т

{

К т\к нулю,

каждое компактное подмножествоК т

7 пересекается

толькоS'

с конечным числом

множеств

здесь/ ЕЕ \

(7),

обозначает

дополнение

Поскольку

то

</, Ѳ т ) —>- 0

при

т - * - о о .

Полученное

противоречие

доказывает теорему.

З а д а ч а		2.3.1.		Показать,			что <£ (/) полно.
З а д а ч а		2.3.2. Пусть дано компактное подмножество К
открытого множества / С					;	показать,		что существует такое от
крытое	множество		J ,	что
				К С	/	С	7 С I .
З а д а ч а		2.3.3. (а) Пусть @R п обозначает пространство глад
ких комплекспозначпых функций на								носители которых огра
ничены	справа	фиксированным					положительным		целым числом
п (т. о.	supp cp (г)		содержится				в полуинтервале		— с о < г ^ г с ) .

Снабдим (SR п топологией, порожденной семейством полунорм вида

к (ф) =		sup		I D k ф (О I, т = О, 1, 2, ...; к = О,1, 2, ...
’	—т < 1 < СО
Показать,	что		п — полное счетно-мультипормировашіое про
странство.				д	03
(в) Показать,
			что @R — U @r п станет полным строгим счет-
ным объединением			пространств, если в нем ввести естественное пра
				п=1
вило сходимости.			также, что		SD плотно в @д .
(с) Показать

(,d) Пусть @'R — пространство, сопряженное к ®д . Доказать,

что @'R образовано распределениями, носители которых ограничены

слева (в книге автора [1 ] это пространство обозначается через 3)R )-

2.4. Обобщенные функции

Цель этого пункта состоит в том, чтобы указать различия, которые в этой книге будут делаться между понятиями распределения и обобщенной функции. Начнем с опреде ления обобщенной функции. Пусть I снова обозначает открытое множество в Л п или в %п, где — это ^-мерное комплексное евклидово пространство. Множест во У ' (/) называется пространством основных функций

или основным пространством (на /), если выполняются три следующие условия.

1.У" (I) образовано гладкими комплексиозначными функциями, определенными на I .

2.У" (I ) является полным счетпо-мультинормирован- ным пространством либо полным счетным объединением

пространств.

3. Если {фѵ}£Ц сходится в У* (/) к нулю, то для

каждого неотрицательного целого числа к ЕЕ Л п последо вательность (D^'cp ѵ сходится к нулю равномерно на каж

дом компактном подмножестве I .

Обобщенной функцией на 7 (или просто обобщенной функцией) называется любой непрерывный линейный функционал на любом пространстве основных функций на 7. Другими словами, / называется обобщенной функ цией, если / принадлежит пространству V 1' (7), сопря женному к некоторому пространству основных функций

Ѵ' (7). Мы будем также использовать термин «обобщенная функция» для обозначения фуикциионала, область опреде ления которого содержит пространство основных функ ций Ѵ' (7) (но шире него) и сужение которого на V* (1) принадлежит V (/).

Заметим, что из условия 2 и теорем 1.8.3, 1.9.2 выте кает также полнота пространства V (7).

Ниже мы всегда будем обозначать нулевой элемент в пространстве основных функций и в сопряженном к нему

символом 0	(а не 0 , как в п.			1.3).			Щ
Отметим,	что пространства			3)к	(7), 25	(7) и		(7)	удов
летворяют условиям 1, 2			п 3. Таким образом, элементы
пространств	3)'к	(/), 25'	(7)	и $' (7)		суть	обобщенные
функции.								I )
В отличие от термина «обобщенная функция» названиеЯ п
«распределение» мы сохраним для элементов							25' (		(где
7 обозначает теперь любое открытое						множество в			)

и для элементов любого пространства обобщенных функ ций, такого, как, папрпмер, $'(/), которое может быть однозначным образом отождествлено с подпространством 25' (/); при этом с элементами 25' (7) отождествляются сужения обобщенных функций на 25 (7). Таким образом, каждое распределение является обобщенной функцией, но не наоборот.

Ввиду принятого соглашения элементы 25я (7) будут называться обобщенными функциями, а не распределения


ми,	поскольку 25к (7) не		содержит				25	(/). Кроме		того,
между 25' (7) и подмножеством				3)'к		(7) нельзя установить
взаимно однозначного			соответствия;					папример,		если
7 =	Я 1 я К	— интервал вида 1 ^			t	^	2, то и б (£) и нуле
вой элемепт 25' имеют одно и то же сужение на									3)к-
										[12]),
	В некоторых работах		(Земанян				[2]	— [6], [9],
на которых основана эта книга,					мы использовали термин

«распределение» в несколько более общем смысле. В част ности, любая обобщенная функция, которая обладает сужением на 25 (7), принадлежащим 25' (7), также назы валась распределением, даже если нельзя было устано вить указапиого выше взаимно однозначного соответствия.

Однако мы, по-видимому, поступим в большем согласии

со сложившейся практикойI

, если ограничимсяЛ п

использова

нием слова «распределениеп,

» в смысле, разъясненном выше.

ОтметимV

, что Лесли

совпадает<S (I),

или

с открытым

подмножеством

то

любое пространствоV (I)основных

функций

(/) содержится в

<§ (I)и. согласно условию 3

сходимость

любой последовательности

к нулю

влечет ее сходимость к нулю

$ '

Отсюда следует, что

сужёние любого

элемента

/ ЕЕ

{!)

на

Ѵ'

(Т)

принад

лежит

Ѵ* г

(/)•

Ѵ* (I)

функция на

(/ СИ

Л п),

такая,

Пусть / (£) — обычная

что для всех cp е

интегралdt

(1)

^ / (О ф (0

существует в смысле Лебега и для каждой последователь ности {срѵ}, сходящейся к нулю,

5 / (О

Ф»

d t

-*■ 0

при

V — СО.

;

(1), мы определимфункциейэлементв

fТогдаобобщенной, положивфункцией</, ф> равнымв W'

W (I),

который

мы будем называть либо

регулярной

V " (J).

сингулярной,

(/),

либо просто

называется

П р и Обобщенная

функция

/ е ^ ' С О

на I

если она не регулярна.

м е р 2.4.1.

Для иллюстрации сказанного мы построим

пространство обобщенных функций,

сужения которых на S3 (Г)

принадлежат

S3' (/), но

которые

пе

могут быть

отождествлены

с подпространством S3'

(/), так как существуют две различные об

общенные функции, имеющие одно и то же сужение па S3 (/).

Пусть I

— конечный

интервал

0 <

t < 1 в

33?-. Обозначим

через 33 {!) пространство всех таких комплекснозначных гладких

функций ер (<) на I ,	что		0		1		2
В (ф) =	sup I D ky (О I < оо,	/с =		,		,		, . . .
к	tel

Снабдив 33 {I) топологией, порожденной мультинормой {ßH“= o> мы получим в результате пространство основных функций, содержа щее S) (I ). Однако S3 (/) не плотно в 33 (/). Например, пусть ф (г) =

=1 на I . Тогда функция ф (<) принадлежит 33 (/); однако она не

может быть пределом последовательности функций из S) (/), по скольку lim ф (t) = 0 для всех ф ЕЕ S3 (/).

Пределы lim ф (<) и lim ф (t)		существуют для	всех ф Е ^ (/)•
і-И	(->1 - 0
Действительно, -0	(->1 - 0
ф (0 =	^ 1>Ф (0 dx +	ф (Ѵг), 0 < t <	!/*,
	V.

Смотрите также файлы

Курсовая работа по дисциплине Теплотехника Студент гр. Гр2011 М. Н. Осокин.docx

Теоретические аспекты интегрированного и инклюзивного образования детей с овз.ppt

Моя семья. Краткие прилагательные.docx

Лабораторная работа 5 По дисциплине Химия (наименование учебной дисциплины согласно учебному плану).docx

Мануфактура.docx

Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно