Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

п правая часть стремится к пределу при t —* +

пли при t —* —О.

так как функция D <p (t) ограничена и

непрерывна на 0 <

t •< 1‘

0

1

Определим

/ как функционал на 38 (I)

по формуле </,

<р> =

= limcp (/). Очевидно, / — ненулевой элемент пространства

38'{І),

^—*—{“О

(/) также является ненуле­

сопряженного к & (Г). Сужение f па. 3)

вым элементом в ЗУ (Г). Таким образом,

существуют два различных

элемента 38'

(Г), а именно / и нулевой элемент 33' (Г), сужёнпя ко­

торых на S)

(/)

равны и совпадают с нулевым распределением на /.

П р и м е р

2.4.2. Пусть I обозначает теперь всю действитель­

</, ф> = lim ф (<), ф е

38ь .

t —* СО

Тогда для

любого ф ев 38L

К /, Ф > К Р « ( Ф ) =

sup

|ф(<)|.

—oo<f<oo

Отметим,

что ß0 — норма на 38.

По теореме Хана — Банаха су­

ществует такой линейный функциональна.©, что <Д,

ф> = </, ф>

для всех

ф е 38l и | <Д, <р> | <

ß„ (ф)

для всех ф

38. Следова­

тельно,

Д — непрерывный линейный

функционал

на

38.

Так как 3) С 38L , то сужёние Д н асесть нулевое распределение,

поскольку <Д, ф> = lim ф (£) = 0

для всех ф £ 0 .

Таким образом,

существуют два различных элемента 38',

а именно Д и нулевой эле­

мент 38',

сужения которых на 38 (/) равны и совпадают с нулевым

ций 38' не может

быть отождествлено с

подпространством 38'.

З а д а ч а 2.4.1. Пусть

I — открытое

множество

в

и

ЗС (Г) — пространство всех функций, аналитическпх на I . Для каж­

дого

компактного

подмножества К (Z / определим полунорму т|я

на

(I)

формулой

Ф 6

(Ф) = sap

I ф (і ) I,

Ж (/).

Снабдим

ЗС (/)

топологией,

порожденной

где К

пробегает

•ек

дифференциальнымI

операторам с частными производнымиЯ п

,

действующимt

в пространствеt,

основных функций.

т)

Пусть

— некоторое открытое множество в

или

В

fé", =

{*2,

in, .

. . ,

г} е / , и ѳ ѵ (і)(ѵ

=

0 , 1 , . .

. ,

I .

обозначает

комплекснозпачную гладкую

функцию

на

ными производными

D k^ D kt. . . Qm^ D k'mQm,

(1)

к ѵ

Я =

(— I f

0О

гдеЛ п

теперь

обозначаютк\

неотрицательные целыепорядкомчисла

из

и\ктI

I — одномерное целое число |

кх

| + |

к2

| + . . .

. . .

+

к

|.

Число

I

мы будем называть

дифференцирования

D hm,

умножить наѲщ^,

и т. д. Кроме

того,

если

I

— открытое

множество

в

W1,

то оператор

D

определяется обычным образом; в частности%

, пределV" (I)

не

зависит от направления, по которомуI .

комплексное прира­

щение стремится к нулю.)

Пусть, наконец,

(/) и

% —

пространства основных функций на

отображение

(/)

Если

31

— непрерывное

лилейное

в

W

(/),

то

мы можем определить сопряженное ему отоб­

ражение

ЗѴ

как

оператор

на

V "

(/),

действующий

по

формуле

<917, Ф> =

</,

ср 6= %(/),

/ <= V" (I).

(2)

Согласно

теореме

1.10.1V 1'31'

определяет

непрерывное

линейное отображение

(/)

в

%'

(

I

).

Отметим,

что

порядок

дифференцирования

в каждом

символе

ния D ^ .

множество

в

Л п

и

D

Если

7 — открытое

/ — гладкая

функция, носитель которой компактен в 7 (т. е./

(7)),

то / и все ее

производные

определяют регулярные

рас­

Vпределения'

в

£ '

(7). Как

было отмечено в предыдущем%

пункте,

сужения элементов

£ '

(7)

на

V

(7)

принадлежат

(7).

Таким

образом,

для / €Е 25 (7)

и ср ЕЕ (7)

фор­

мула (2) может быть переписана в виде

<91'/, Ф> = </, % > =

\ і

(0

(0

dt.

г

где

D

ѳ ^ Ч . ^ т / ' Ѳ о ,

(3)

обозначает обычное дифференцирование.

Символ

(3)

будет использоваться и тогда, когда / — произвольный

элемент

%’

(7), и даже когда

7 — открытое множество

в

с&п.

Однако в этом случае символ

D

нужно понимать как

обобщенное дифференцирование

неявно определенное фор­

,

П р и м е р .

2.5.1. Пусть

/ — пптерпал

0 <

t < 1 ( ( £

£%1)

и

3) (/) — пространство

основных

функций,

опрѳдолеиное

в

примере 2.4.1.

В этом случае дпфференцпровапио является непре­

рывным лпиеппым отображенном 33 (/)

в 33 (/). Поэтому производ­

ная

(обобщенная)

D f

любого

элемента / è

33' (/)

определяется

формулой

W f , ф> =

</,

—D(p>,

ф £ 33 (Г).

Пусть

теперь / задается

выражением

</, ф > = ^і ф («)<и .

Таким образом,

/

есть

регулярная

обобщенная функция в 33' (/),

о

соответствующая обычной функции

/ (г) = 1 (0 <

і < 1). Обычная

нропзводная этой функции равна пулю всюду на I и поэтому по­

рождает нулевой элемент в.® ' (I ). С другой стороны, обобщенная

производная не является нулевым элементом 33' (/).

Действитель­

но,

для любой

функции

ф (Е 33 (/)

мы пмоем

1

<£)/, ф> = </, — І)ф> =

— ^ Лф («) dt = lim ф (t) —

lim ф (t).

Частным2

"

(->+о

і-»і—о

случаем операции, которую можно задать

формулой ( ), является операция умножения на гладкую

функцию.

Например,

если Ѳ — гладкая функция на 7,

и

если

ср ь->- Ѳср

есть

непрерывное” \Т) %'линейное

отображение

%

(7) в

V

(7),

то /н -Ѳ /Ѵпредставляет собой непрерывное

линейное

отображение

в

(7),

определенное фор­

мулой

<Ѳ/, ф> =

</, Ѳф>,

с р е ^ (7 ),

/ е Г ( / ) .

(4)