Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 145
Скачиваний: 0
Можно придать |
смысл и операции интегрирования |
/т по т. Этот вопрос |
рассматривается, например, в книге |
автора (Земанян [1], п. 2.8). Однако мы этим понятием пользоваться не будем.
З а д а ч а 2.6.1. |
Пусть |
/т (t) — регулярная |
обобщенная |
функция в V " (/) (I |
С З І 1), |
зависящая от параметра т е / , где |
|
/ — фиксированный |
интервал |
в З і 1. Предположим, |
что /т (г) — |
регулярная обобщенная функция, порожденная обычной функцией
А (т, |
t), удовлетворяющей следующим |
условиям. Функции Л (т, |
||||
t) и D xh (т, t) непрерывны в области |
{(т, |
t): |
|
е |
/, t е /}. Интеграл |
|
^ А (т, |
I) ф (I) dt сходится поточечно |
в |
/ , |
а |
|
D J i (т, t) ф (t) dt схо- |
т |
|
|||||
I |
|
|
|
|
I |
|
дится равномерно на / при любой ф е V (/). Наконец, обычная производная ПТЛ (т, t) также порождает регулярную обобщенную
функцию (і) в V ' (/). Показать, что в этом случае Z?T/T (t) = = gx (t) в смысле равенства в V ' (/). Другими словами, при сфор
мулированных условиях дифференцирование по параметру и обыч ное дифференцирование совпадают.
2.7. Обобщенные функции, сосредоточенные на компактных множествах
В п. 2.4 |
мы отмечалиI |
, что еслиV"' |
I |
|
|
|
Я п, |
||
|
— подмножествоS ' |
I ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
<£' |
(/) на про |
||
то сужениеWлюбой обобщеппой функции / ЕЕW |
|||||||||
странство |
( ) принадлежит |
|
(/). В этом случае |
|
( |
||||
можно рассматривать как подпространство |
V ' |
(/) и полу |
|||||||
чить описание соответствующих элементов в |
|
(/), анало |
|||||||
сосредоточенагичное данномунав теоремеподмножестве2.3.1. |
|
|
|
|
|
V " |
|
||
Мы будем говорить, что обобщенная функция / ЕЕ |
(/) |
||||||||
|
|
t |
f i d |
/ , если |
(/, ср) = |
О |
|||
для всех ф Е ^ (/), равных нулю в окрестности £2. На пример, дельта-функция б ( ) сосредоточена на любом множестве, содержащем начало координат. Если / — рас пределение, то его носитель есть наименьшее замкнутое множество, на котором / сосредоточено (см. п. 2.2).
Те о р е м а 2.7.1. Пустъ I — открытое множество
в32” , и пространство основных функций V 1 (/) обладает
следующим свойством-. 3) |
содержится |
в |
|
(/), |
и схо |
||||||
в V |
к тому же самому(/) |
пределу. Пустъ |
|
||||||||
димость в 3) |
(/) |
к некоторому |
пределу влечет сходимость |
||||||||
Тогда для |
|
|
|
|
|
|
е |
|
|||
|
|
|
того чтобы обобщенная функция |
|
принадлежала |
||||||
S' |
|
(/)необходимо и достаточно, чтобы она |
была сосредо |
||||||||
|
|
/ У ' (/). |
|||||||||
|
(/), |
|
V |
|
|
f i d |
/ . |
|
|
||
точена на компактном подмножестве |
|
/ |
|
|
|
||||||
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Из наших |
предположений |
|||||||
относительно |
|
(/) и первого условия в определении про |
|||||||||
66
странства |
основных23 |
функций (см. п. 2. 4) следует, что |
||||||||||||||
25 |
(I) d |
2Д (I ) |
а |
<§ |
(7). Так как |
3) (I) |
плотно в |
|
І§ |
(7), |
||||||
то оно плотно и в % |
(7). Далее, из третьего условия в оп |
|||||||||||||||
ределении |
пространства |
основных функций получаем, |
||||||||||||||
что сходимость в |
|
|
(I) |
к некоторому пределу влечет схо |
||||||||||||
димость |
в |
^ (?) |
к тому |
же пределу. Из теоремы<§' (I) |
1.9.1 |
|||||||||||
следует |
|
тогда, |
что |
|
Щ' |
(I) |
— подпространство |
|
23’ |
(7) |
||||||
|
было |
|
|
|
||||||||||||
(более точно, нужно |
|
бы сказать, |
что |
можно |
||||||||||||
однозначным образом отождествить с подпространством
23’ (/)). Установив эти предварительные результаты, мы обратимся к доказательству необходимости и достаточно
сти условий теоремы23. |
(I) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) (I) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Достаточность. |
Сначала заметим, |
|
что |
по предположе |
||||||||||||||||||||||||
нию |
относительно |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
сужепие / на |
|
|
|
принадлежит |
||||||||||||||||||||||
25' (/). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X (t) |
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Далее, |
|
пусть |
функция |
X |
(7) |
такова, |
что |
|||||||||||||||||||||
X (t) |
= |
1 в окрестности23(1)Q. Функция |
является23 |
|
мультипли |
||||||||||||||||||||||||
катором в |
23(1). |
Действительно, |
|
ф >->- |
Хер определяет |
ли |
|||||||||||||||||||||||
нейное |
отображение |
|
|
|
|
в |
25 |
(7) (Z |
|
(7). |
|
Оно |
также |
||||||||||||||||
непрерывно; |
в самом деле, |
из свойства 3 пространства ос |
|||||||||||||||||||||||||||
новных функций (см. |
|
п. 2.4) |
вытекает, |
что |
|
если |
фѵ |
-*■ |
О |
||||||||||||||||||||
в |
23 (I) |
при V —>- |
оо, то tapv -> |
0, в |
3) (I) |
и, |
следовательно, |
||||||||||||||||||||||
в |
23(1). |
|
X (t). |
|
|
|
функцию |
|
|
|
|
t |
|
на |
7 |
|
равенством |
||||||||||||
|
Определим |
далее |
г |
|
£ ( ) |
|
|
||||||||||||||||||||||
£ (£) = |
1 — |
|
|
Так |
как |
|
единицаI, ) очевидно, |
является |
|||||||||||||||||||||
мультипликатором |
в |
23 |
(7), то |
этим |
свойством0 |
обладает |
|||||||||||||||||||||||
и функция |
|
£. |
Для |
любой ф е |
У |
|
( |
|
|
функция |
£ф равна |
||||||||||||||||||
нулю в окрестности Q, так что |
</, |
|
|ф> |
= |
|
, |
|
поскольку, |
|||||||||||||||||||||
по предположению, обобщенная функция |
/ |
сосредото |
|||||||||||||||||||||||||||
чена на Q. Итак, |
|
і)ф> = |
|
</, tap) |
+ |
|
</, |
Еф> = |
|
( tap). |
|
|
|||||||||||||||||
|
</. ф> = |
|
</. (*- + |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Так какI )tap е |
25 |
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(/), то равенство показывает, что задание |
|||||||||||||||||||||||||||||
/ на 25 ( |
определяет / на6 |
|
(7). Таким образом, / есть рас |
||||||||||||||||||||||||||
пределение |
|
на 7 (т. е. / |
E |
25' (7)). |
|
|
поскольку содержит |
||||||||||||||||||||||
|
Носитель2 2/ е |
25' (7) |
ограничен, |
|
|||||||||||||||||||||||||
ся в компактном множестве £2. Кроме того, носитель замк |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Необходимость. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
нут (см. п. |
|
. ) и поэтому является компактным множест |
|||||||||||||||||||||||||||
вом. |
Из теоремы 2.3.1 |
следует |
теперь, |
что |
/ ée §’'(/). |
|
|||||||||||||||||||||||
23(1), |
|
|
|
|
|
Доказывается точно так же, как и |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Единственным от |
||||||||||||
необходимость условий теоремы 2.3.1. |
|||||||||||||||||||||||||||||
личием является то, что теперь функции фт принадлежат а не 25 (7).
з*
Г Л А В А 3
ДВУСТОРОННЕЕ П РЕОБРАЗОВАН ИЕ Л АП Л АСА
3.1. Введение
Обычное двустороннее преобразование *) Лапласа опреде ляется формулой
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
(і) |
|
СО |
|
|
|
где / |
— подходящим образом выбранная обычная функF s |
|||||
ция |
на действительной осиs. |
— оо < |
t |
<t) |
оо. двустороннееТаким обра |
|
зом, |
это преобразование отображает1 |
/ ( |
в функцию ( ) |
|||
комплексной переменной |
Прилагательное |
|||||
означает, что интегрирование в ( ) ведется по всей дейст
вительной оси — оо < |
t |
< оо и что па носитель / не нало |
|
жено никаких ограпичений (т. е. функция / (t) не обязана обращаться где-либо в нуль). С другой стороны, / может
быть такой, что нижний (верхний) предел в формуле (1) становится конечпым; в этом случае преобразование на зывается односторонним или правосторонним (соответ ственно левосторонним).
Существует много способов распространения преобра
зования (1) на обобщенные функции, причем некоторые из этих способов применимы только к односторонним пре образованиям Лапласа (см. Бенедетто [1], Купер [1], Долежал [1], Гарнир и Мунстер [1], Исихара [1], Джоунс
[1] |
, |
Кореваар [1], |
Лавуаи [1], Ливерман [1], Миллер [1], |
||
Майерс2 |
[1], Реберг |
[1], Шварц [2J, Уестон [1], |
Земаняи |
||
[1J, |
, |
[2]). |
Самый первый способ, предложенный |
Шварцем |
|
[ ] |
основывается |
на его определении преобразования |
|||
Фурье обобщенной функции. В частности, Шварц оп
ределяет преобразование Лапласа |
распределения / |
|
как преобразование Фурье выражения |
e~alj |
t |
|
( ), где деыст- |
|
*) Обычным интегральным преобразованием здесь и далее будет называться соответствующее интегральное преобразование обычной функции. {Прим, перев.)
68
вительиое число а содержится в множестве Г /, для которо
го |
е~°1 |
/ ( |
t) |
— обобщенная функция медленного ростаF. (s) |
||||||||||
|
В противоположность этому метод, |
развиваемый в дан |
||||||||||||
ной книге, определяете~г1\ |
преобразование Лапласа |
|
||||||||||||
обобщенной функции / как |
результат |
непосредственного |
||||||||||||
применения / к |
</( |
0 |
, «-*'>• |
|
|
|
2 |
|||||||
|
Этот |
|
|
*■ («) = |
|
на |
—оо |
t |
( ) |
|||||
|
подход требует построения |
|
<С оо |
|||||||||||
определенных пространств основных |
функций, |
содержа |
||||||||||||
щих |
e~sl |
при различных значениях комплексного парамет |
||||||||||||
ра |
S. |
Если через Г® обозначить множество внутренних то |
||||||||||||
чек Г/, причем Г" не пусто, |
то |
определение (2) |
приводит |
|||||||||||
к |
тем же |
результатам, что |
и |
определение |
Шварца, |
для |
||||||||
всех значений s, удовлетворяющих условию er = Re s ЕЕ Г®. Указанный подход независим от теории Шварца, хотя и может быть связан с ним. Построение пространств основ ных функций требует в нашем случае несколько более длин ных рассуждений по сравнению с подходом Шварца, одна ко ряд доказательств, касающихся свойств преобразова ния (2), при этом упрощается.
Кроме того, наш подход позволяет определить преоб разование Меллина G (s) некоторого класса обобщенных функций g (х) на 0 < X < оо по формуле
G (s) = <g (х), XS-1}
на основе простой замены переменных t = — ln х, g (х) = = / (() в (2); это обсуждается в следующей главе. Более того, как мы увидим в главе 7, с преобразованием Лапласа можно связать также преобразование Вейерштрасса. В пн. 3.2—3.10 мы рассматриваем одномерное преобразо вание Лапласа, при котором i n s принадлежат Л х и fé1 соответственно. Пункт 3.9 посвящен применению получен ных результатов к задаче Коши для волнового уравнения в одномерном пространстве. Одностороннее преобразова ние Лапласа обобщенных функций затрагивается в п. 3.10; здесь наше рассмотрение полностью эквивалентно приве денному в книге автора (Земанян [1]), хотя по форме не
сколько отличается от него. |
Преобразование |
|
Лапласа |
||
в /i-мерном случае, когда i n s |
принадлежат |
Л п |
и |
%п |
соот |
|
|
||||
ветственно, вводится в п. 3.11; там же перечислены его наиболее важные свойства. Применению этого преобра зования к неоднородному волновому уравнению посвя щен ц. 3.12.
69
