Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

3.2.

Пространства Х а, ь и Х (іѵ ,

х) основных функций

и сопряженные к ним

мысвпредполагаемп

, что

а, Ь,

с,

На1

протяжениигё г

этой главыЯ п

d

Я 1

и s G '

S 1;

исключение

составляет и. 3.11, где

Я GE

и

заменяются на

и

соответственно.

Пусть

Х а, ъ

обозначает

пространство всех

комплекснозначных

гладких функций

ф (<) на — оо <

t

< оо, для кото­

рых функционал

y h,

определенный

выражением

{yft}£L0; при этом Х а,

ь становится

счетио-мультинормиs

-

ровапным

пространством.

функцияfte-*1

Отметим, что для каждого фиксированногоb.

e~st

X a>b

тогдаs

и только тогда, когдак

s

удов­

ЕЕ Х принадлежита<ь

а

летворяет условию

аRe

s

В b.то же время

GE

для любого положительного целого числа

в том и

только том случае, если

<

Re

<

Л е м м а

3.2.1.

Х а>ь полно и, следовательно, является

Из определения (1)

видно,

пространством Фреше.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

что {фѵ}^!

является последовательностью Коши

тогда

и

только тогда,

когда каждая функция фѵ принадлежит

X atb

и для любого

к

яаіЬ(і)

D h'(

(t)

фиксированного ѵ —функции

t

pv

образуют

равномерно

сходящуюся

на — оо <;

<

оо

последовательность Коши при

оо

. В этом случае из

известной

теоремы

следует,

у

что существует такая глад­

кая функция

ф (f),

для

которой 2)*фѵ (0

—>D kcp (і)

при

любых

к

и

t,

когда ѵ ->

оо. Более

того, для любого б ]>

О

найдется такое

N к,

что для[фѵ

всех v,

р,

В

N k

|« а ,Ь

( 0 D k

{t) — Фи.

( г ) ]

I <

при всех

t.

[Переходя

к пределу

при

р

—*-

оо,

получаем

D k

t

|к а,Ь (0

фѵ

(0 —

ф ( О Н

< е> — ОО <

<

00

,v > iV h.(2)

Таким образом, при ѵ -> ооt

у к (фѵ — ср) —>- 0

дляt)Dвсехk

кt).

Наконец, вследствие равномерности сходимости и ог­

раниченности на

— оо <

< оо

всех

x 0jb (

фѵ (

существует такая постоянная

С к,

не зависящая от ѵ, что

I х а, ь

(t)

Т)Лсрѵ (

t)

I <

С к

при всех

t.

Поэтому

из (2) вы­

£текаета,ь-

неравенство |

к а<ь

(i)

D k

cp (£)|

C k

+

e,

которое

показывает, что предельная функция ср принадлежит

Применяя лемму

1.6.1,

завершаем

доказательство.

£ а,ъ

обобщенных

функций.

(Отметим,

— пространство

что х П)Ь

(t)

имеет положительную точную нижнюю грань

на каждом

компактном множестве,

и поэтому условие 3

п.2.4 выполнено.)

£ а,ъ

представляет собой

линейное

жения и

умножения

элементов на

комплексное

число.

Мы считаем,

что

пространство

Х а,ь

снабжено обычной

(слабой) топологией. Из теоремы 1.8.3 следует, что

Х а,ь

полно.

а

с

d

Ь,

£ c,d а

Х а>ь,

Если

^

и

^

то

и топология

X Cyd

сильнее

топологии,

индуцированной

на

X Cjd

про­

странством

Х а<ъ.

0Для того чтобы убедиться в этом, заме­

тим сначала,

что

<

я а>ь

(<)

xc,ä

(t)

на — оо < ;

t

< оо.

Поэтому

I К

„ , ь ( ОD* ф (t)

I <

%I c,d (t) D* cp

(t) I,

странством

X c,d.

Рассмотрим, в частности,

П р и м е р

3.2.1. Предположим, что а < с и і < і . Частично

Пусть 3}а,ъ — множество всех функций ср (Д из SSa, , для ко­

торых существуют оба предела lim eal ф (Д

и

lim

eb,cp5 (Д; £Ва,ь

формулой

t

—>+CO

t —*■

00

—

является подпространством £$а,ъ. Определим функционал / па 3)а,ь

</,Ф> =

lim e“(tp (Д +

lim еыср (Д,

ф е

ь.

t > I 00

(—»—СО

Тогда Іі< Д ф > К

2'рп,ь,о (ф) для

всех ф е <©а,ь- Из теоремы Хана —

Банаха (Люстерннк и Соболев [ 1) следует, что на SSa,ь существует

такой линейный функционал Д ,

1что <Д, ф>

= </, ф>

при ф е

âSn,b

и |</і, ф> I

2Та,ь,°

(Ф) Для всех Ф €= 35а<ъ-

Последнее неравенство

показывает,

что Д

S6a,b. Этот элемент не является

пулевым

в

5?а,ь, поскольку <Д,

ф> =

2, если функция ф е

%а,ъ

такова,

что

=

е~ЬІ для t <

— 1

и ф (г) = е~аІ для

t >

1.

Ф (ДПространство 3ic,d является подпространством

69а,ь- Действи­

тельно,

для

ф €= Sßc,d.

еа(ф (Д = е(а_с)( ес'ф (Д.

Если г —» +

оо,

то е(а- с)' —» 0 н ес1 ф (Д — О (1). Таким образом,

lim еа,ф (Д =

0.

Аналогично,

lim еь,ф (Д =

0.

Следовательно,

t-

I —*

< »-{‘ ОО

= (/, ф)

=

0.

—со

имеют

Д, ф>

Поэтому и Д , и нулевой эломент Sßa,b

одно и то же

сужение на 3Sc,d-

действительных чисел {аѵ}^=і и

{öv}^Li, такие, что а ѵ ->

—э - щ + 0

Ьп — z

— 0. Определим

X

w

,

z)

как счетное

иоо

(

объединение

всех

пространств

Х а^ Ьѵ;

таким образом,

X

(

w

,

z) —

U

Х аѵ>

ьѵ,

и последовательность

сходится в

из

пространств

Х аѵ, Ьѵ.

Это

определение

не

зависит

от

выбора {аѵ}

и {&„}.

(Докажите это.)

Функция

tke~si

при­

надлежит

X

іо, z)

для всех

к

=

0,

1,X 2,(іо.,

.z).

.тогда и только

(

тогда,

когда

w < R e s

< ;

%.

Как обычно,

X ' (іо, z)

обозна­

чает пространствою, сопряженное к

Пространства

X

(іо, z)

z)и

X ' (іо,

z)

полны

X(см(и. , по).

1.7 и теорему

1.9.2).

X

(іо,

(Пусть теперь

и

и

ѵ

z. Очевидно,

что

X (и, о)

CZ

X

CZ

іо,

z).

и сходимость

в

влечет

сходимость

в

Поэтому сужение любой обобщенной функции

/(~

X ' (іо, z)

на

X (и, ѵ)

принадлежит

X ' (и, ѵ).

Чуть

позже мы покажем,

что

X '

(w, z)

в действительностиX ' а, ь

яв­

X '

(и,

ляется

подпространством

ѵ).

Отметим, что, как

мы

уже

указывали

ранее,

пространство

а

нельзя

отождествить

с

подпространством

Х

с, d>

если

< ;

с

или

d

Х а>ъ.

X (а, Ъ)

X <(а,Ь.Ъ)

Результаты,

полученные до сих пор, показывают, что

содержится

в

Действительно,

уже,

чем

X 0tb.

Например,

функция,

тождественно

рав­

X

ная 1

для всех

t,

является элементом

Х 0>0.

Однако она не

принадлежит

(0,

0),0

так

как

0не

принадлежит

Х ач,

Ьч

ни

при

каких

а ѵ >

и

.

(Сужениеа, Ь),

любой / е

Х а<ь

на

X ' (а, Ь)

является элемен­

X '

том

X ' (а, Ь).

С

другой стороны,

существуют

элементы

Х а, ь.

которые

определены

не

на

всех

функциях

из

Примером служит функционал

</,

cp)

=

lim

teatcp (t)

(он

определяет

нулевой

со

X '

(а, Ь)).

Читатель

не

элемент

должен путать обозначения

X (а, Ь)

и

Х а> ь,

поскольку

в дальнейшем будут попользоваться оба эти пространства,

так же как и сопряженные к ним.

свойства введенных проХ ­

Перечислим теперь некоторыеX)

странств, па

которые мы будем часто ссылаться.

а, ь,

I.

X

Очевидно,

что

— подпространство

как

так и

(іо,

z)

при

любых значениях

а, b, іо, z;

более того,

сходимость

в

X

влечет

сходимость

в

Х а, ь

иХ

X (іо, z).

из

а,

ь

или

Следовательно,

сужение

любого

элемента

X

'

(іо, z)

на

X

является

элементом

X '

(см.

п.

1.9).

Однако

X

не плотно в

Х а,

ь.

Мы не можем также отож­

дествить

X ' а> ь

с

подпространством

Х'\

действительно,

можно найти

различные

элемепты

Х а,

ь,

сужения

кото­

рых на

X

совпадают.

Это утверждение иллюстрируется

примером 3.2.1 и тем фактом, что 25

содержится в про­

странстве

52c, d, рассмотренном в

том

же

примере.

w

С

другой стороныХ

,с,<2)і

плотно

в 52

(іи, z)

X

для всехd

и

z.

,Действительноа

, пустьЬ,

фw— произвольныйа

элемент из

(

w

z).

Тогда Ф GE

для

некоторых

с >

w

и

•< z.

Выберем

такие

и

что

< ;

<;

с и d ■ < fr <; z.

Мы

докажемф

наше утверждение, построивX

,последовательность,

элементы

которой

принадлежат(t) =

25

и

tкоторая

Xсходится

к

в t52ПіЬ и,

следовательно, в

(

z).

Пусть

функция

X (г) GE 25

такова, что А,

w

|

| <

1

и

(г)

= О

1, для

для

I I

2.

Пусть

также

ѵ )>

1. Мы

можем

написать

Выражение

D k~

t/v

t* [А, (

) — 1] тождественно равно нулю

при

I

t

I

V

II

ограничено постоянной,

не зависящей от

V , при

\t

I

V . Более того, для всех р

-> О, V —> о о .

|( |> Ѵ

I х а, ь (г)

П ’лф (О

I <

| ( | > ѵ с, d \ 4

s u p

Тс, з, |х (ф ) s u p

сходится к пулю на

— о о < г « < о о . Таким образом,

{А,

(і/ѵ)

ф П ) } ^ — искомая последовательность. Утвержде­

ние доказано.

w

X ' (w

X ' w,z

Из теоремы 1.9.1 вытекает теперь, что

, z)

— под­

пространство 25' для всех

и z, поэтому элементы

( )

являются распределениями;

однако это

неверно

относи­

каждой Ф ЕЕ

X

w

такую последовательность

{фѵ}^ і,

(

, z)

что Фѵ 6Е25 для всех ѵ и фѵ-> ф в

X

w

, z) при ѵ -ѵ оо. При

(

этом </, ф> = limw </, фѵ>.

v

Пусть снова

и

и

<5 z.

Мы

уже

отмечали, что

X (и, v) CZ X w

,

z)

и

что

сходимость

Xв

X (и, ѵ)

влечет

(

w

сходимость в

X

w

z).

Так

как 25 d

25 (и, у) и 25

плотно

(

,

в 52 (гу, z), то 52

(н,

у)

также плотно

в

( , z).

Поэтому