Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

F(s) Ü (£/) (s) =

<f( t ),

e-s'>,

s e

Q ,.

имеет

При любом фиксированном

s £

правая

часть

смысл как результат применения / G Ä '

(сг1, ст2) к

e~st

GE

называть2

областью

(или

полосой) сходимости

S /,

Q/ абсциссами

а (Tj

и cf

■—■

сходимости.

Отметим, что термин

F ,

«преобразование Лапласа» будет использоваться как для

операции £ , отображающей / в

так и для самой функ­

ции

F s

Если мы пишем £ /, то это означает, что / —

( ).

ширенная указанным выше способом.

1

­

Qf. В некоторых случаях оказываетсяt

возможным припиt

сать определенное значение выражению ( ) на границе

Например,

пусть функция 1+

( )

равна

1 при > О,

t =

t

1 (t)

'

Ь.

Ѵа при

0 и 0 при

<С 0. Тогда

1

f2- £Е Ж0, ь для всех

аобласти±

sсходимости; определение (

1

) всегда будет рас­

сматриваться

лишь во внутренних точках полосы

^ Re

^

сг2.

Основанием для этого служит следующий факт. Если/—

преобразуемая по Лапласу

обобщенная функция и еслис

ее преобразование имеет полосу сходимости ца < Не s <С

< ц2, то задание / на любом

пространстве і£С)СІ, где о^ <

я d <

(8ц2 (или даже

на

одном ®) однозначно определяет

/ на 5? (сд, сг2) (см. и. 3.2,

свойство I). Поэтому преобразо2

­

вание

/) (s) также

определено всюду в Qf. Это, однако,

не верно на границе £2/. Например, если цх и а конечны,

то /X может принимать ненулевые значения на некоторых

Ф €Е 5?0„ о, и тем не менее быть

нулевым функционалом

на

1(од, ог2) (см. пример 3.2.1).

В этом случае функцио­

нал (

) будет тождественно равен нулю в Й/, и в то же са­

мое время будет определен и не равен нулю тождественно8

на границе й/. Именно для того, чтобы избежать<

таких

осложненийt),

мы и ограничиваем

наше sопределение

/

внутренней частью области {s: сд

Re

or2}.

такая,

Если / (

— локально интегрируемая функция,

что

функция

e~a,f

t

ограничена

на

— оо <

t

< ; со

для

( )

всех

действительных

чисел

а

из

интервала сд <

а

<

ст2,

то ее обычное преобразование Лапласа

(2)

оо

$ f (t) e~s> dt

Re s <

существует по крайней мере при сд <

с 2 и может

са (1). Это непосредственно следует из свойства V п.

3.2.

Следует отметить еще один существенный факт.

При

задании преобразования Лапласа

F

s

( ) обобщенной функ­

ции / необходимо

указывать полосу сходимости й/,

так

как одна и та жеi/sфункция

F

s

может соответствовать

( )

двум совершенно разным обобщенным функциям.

Н а­

пример, функция

является преобразованием Лапласа

функций 1+ (f) и — 1+(—

t).

Однако соответствующие по­

лосы сходимости — полуплоскости

R e « ) > 0 и Re s < О

руем это утверждение более точно. Пусть

/ = Е (s) при

s £=

a a < ; R e s < C f r — любаяh,

s

собственная8 h F (s)подполоса

а

b.

й/. Тогда можно построить такую преобразуемую по Лап­

ласу

обобщенную функцию

что

=

и полоса

сходимости й,,, имеет вид <

Re

<

В качестве иллю­

страции рассмотрим

Sß' (а, Ъ). С другой стороны, элемент Д

не определен на всех <S?ClCi,

если либо

<

а либо Ъ

<

d.

( 6

<

=

и

с

Таким образом,

ЯД

0

=

js:

Следовательпо, äh =

й

+

Д) ==

при

а < Res < b}.

оо

1

а <

<

Res <

b,

но

£/і не

существует при

—

Ro s <

а н

6

<

<

Res <

оо.

В п.

3.5

(теорема 3.5.2)

F

s)

и

мы увидим, что Xзадание'

(

полосы

сходимости

Й/ =

{s: öx < ; R e s < ^

6

однозначно

2}

определяет

тот Fэлемент /

пространства

(сд,

сг2),

для

которого S

/ =

(s) при s ее Й/.

Как и в классическом случае, преобразование Лапласа

обобщенной функции является функцией,

аналитической

верждать,

что справедлива

Ти

е о р е м а

теорема аналитичности). Если

3.3.1 (

функция

F

s)

аналитична в

S

/ =

F

(s)

при s

GE й/,

то

(

(3)

й/

D F (в) =

< / ( * ) , - *e-s‘ >,

в е й / .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

s

Ъ— произвольная

фиксированная

точка

области

й/ =

(s: сд <

Re

s

<

ст2}.

Возьмем такие положительные числа а,

и г, что а,

<

а

<

Ф

<

Re

s

— г <

Re s +

г <

Ъ

<

о2. Пусть

As —1

комплекс­

ное приращение аргумента, причем | As

| < ; г. При As

О

мы можем

воспользоваться

определением

( )

функции

F

(s)

и написать

_

^

(<)і

=

< f

^

(0>i

(4)

^

( s +

A

s ) - ^

где

5

-| г [e~(s+As)( -

e-s']

-

-і-

e~sl.

Фд (£) =

Отметим,

что

8(іЕЕ

Х а>ь,

поэтому (4)

имеет смысл. Мы

покажем,

что

я|д

)

стремится

к

нулю

в

Х а,ь

при

I As| ->-0.

Так

как

/ ЕЕ

Х а.ь,

то

отсюда

следует2

,

ачтоЪ

(/, фдб) —>- 0.

Из равенства (4) и возможности выбора

и

произвольно

близко Ссоответственно

к

и

о

вытекает

справедливостьг

r1формулы (3)

и

F

(s)

в й/.

аналитичностьa, b

Обозначим через

круг радиуса д

с центром в точке

s, где 0 <

<

<

min (Re s —

— Re s). Мы можем

изменить порядок дифференцирования

по s и но

і и на

(— D t)k фдц (£) =

l(s + Аs)k

1

— sfce~si] —

~

s ke~sl

=

_ J ___

e~i6*As)l

ka-U

As

E —s

—

2niks

(-£ -oo

*)a

d£.

1

- ÜL =

£ke~KI

2 л£

t

<

oo

c

( £ - » - Д * ) (£-«)*

Для всех £ e

С и

<

будет | х а, ь (г)

£fce c'| <!

К ,

где

К —

постоянная, не зависящая от £ и

t.

Кроме

того, I £ —

s — Ас

! > Г і

— г >

0

и

|

£ — s I

= \As\KгіСледо­

К

вательно,

L2M

('т — '•) г\

(О 1>!‘фдз (О I <

(п — г) п

Правая

часть

не

л

от (

и

стремится

зависит

к нулю при

3U)

к нулю в Ä Q)b

I А s|->-0. Отсюда вытекает сходимостьт|?д

чтоприЗ IаAs

I —>- 0, что и требовалось доказать.

доказать,

д а ч а 3.3.1.

В

предположениях теоремы 3.3.1

D kF (s) =

</ (0,

( - t ) ke~sl>,

s<=Qf ,

к =

1 , 2 , . .

. , _____ (5)

воспользовавшись при этом методом индукции:

предположить,

что

формула ( ) верна для к —

1

; для к =

0

она справедлива по опре­

делению.

5

как в

теореме 3.3.1.

Далее

провести все рассуждения,

пункте.)

3.3.2.

Пусть

Я/ = F (s)

для

Q/ =

{«:

<

Re s <

З а д а ч а

<

ст2}. Определим

е~°‘ / (£)

как функционал

на

формулой

<e~°‘f,

ф> = </, е 01 Ф>, Ф Е # .

Доказать,

что e~at / £ # '

при ах <

а <

ст2. (Обратное утверждение

также верно: именно, если

ё~аі / G

cS5'

при

<

а <(

ст2,

то

/ ЕЕ

ЕЕ SS'(oi,

о2), так что (Я/) (s) существует по крайней мере при

а, <

<

Re s <

а2;

см.

Земанян

[2]).

З а д а ч а

3.3.3-

Выражение

/ (о =

ОО

е~|(|

(г- ѵ)

2

6

определяется на

как

функ­

любой функции ф (<),

—

оо

<; г <

оо,

ционал, заданный

формулой

СО

</,

ф > =

ѵ =2— оо

<гМ ф (ѵ)>