Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

З а д а ч а

3.4.3.

Пусть

■ ' іп

\

т

— ), п = О, 1, 2 , . . .

Эти

функции

называются

функциями Лагерра.

Показать, что

=О

’ >п (г)

+

СО

Фп ('•)

(s +— 1/2)”

^

2 1

1

(!) =

e~sl dt ■■

Is

--------- h r ,

Res > — 1/2.

(10)

3.5.

l/2)n+1 ’

^

I

к )

Обращение и единственность

лосу

определения

Re

<

сгX и одинаковое преобра­

зование

Лапласа, совпадают

на F

при

s

(щ, сг2).

Доказательст­

во формулы обращения основывается на двух леммах.

cp EЛÖе мкм'Fа

(t)es,dt.

Тогда

для

любого фикси-

3.5.1.= ^ооПустьф

£ / =

(s)

Re

<С сг2,

—СО

числа

г

справед­

рованного действительного

(«)

0

ливо

соотношение

г,Г

< ; < ;

оо,

Г

—Г

< /(t),e-” >T(.9)dco =

</(T),

—Г

е~^¥

(s)

d a ) ,

5

Uв

5

а < сг2.

где s =

а +

и а — фиксированное число,

(t-l <

(t) ф.

Если ф (/) =

F

s)

Дфо к а з а т е л ь с т в о .

0,

то справед­

ливость

утвержденияs

очевидна. Поэтомуs)

предположим,

что

0. Далее, заметим,

что функция

(

анали­

тична при

Г

<с Re

<

а2,

а

Т"Г

(

— целая

функция.

Следовательно,

оба интеграла

существуют.

Кроме того,

rI

^—Г e~STXF (s) ckoSI^

e~ax—^Г | sklF (s) | da,

отрезка.

Рассмотрим выражение

m

2

1

Применяя / (т)

Ѳ т ( т ) =V = 1 <ГѴ ' П О - ! - -

( )

к (1)

почленно,

получаем

</ (*), Ѳт (т)> =

тп

Т

(sv) ^

->

2 </ (Т),

Г

=1

Ѵ

->

</ (т)> е~"> 'F (s) dcö

при m o o ,

поскольку </ (т), e-ST

5

> ¥

(s)

— непрерывная

функция

со.

а

и

Ь,

что

В качестве следующего шага выберем такие

о1! <

а

<

а <

Ь

< ст2.

Так

как

0

все,

что

/ е= Ж ,ь, то

(х)

Г

осталось доказать — это сходимость Ѳт

к \ e~ST*F (s) dco

в

Х а,ь ■

Д ля

этого

нужно

просто

установить,

что

при

любом фиксированном

к

величина

А (т, т) = ка> ь(т) D £

т

Y

(SV)

-

=

( -

1)* «а, Ь СО 2

ѵ=а

г

sfcg-sTip (s)

da

2

— (— l)fcxa> ь (т) §

( )

стремится к

нулю

равномерно

на

—г

< ; т <

оо

при

— оо

X

I * а , Ь М

I = * а , Ь (т) б " " - > О

при I

I

оо,

так как

а

Т < п < Ь. Поэтому по любому

заданному е

0

можно найти такое достаточно большое

71, что для

всех

| т |

Г

I Х а , Ь (* )

I <-т[[ lsk-fr (s) Id u >] _1•

Так

как

ср

(t) ф

0,

то

правая

часть

конечна

(докажите

это).

Таким образом,

для всех

|

т | >

Т

второе слагаемое

в правой части (2)

меньше е/3. Величина же первого сла­

гаемого ограничена при

|

t

|

Т

выражением

- г [ $r

-1 2,п l ^ T ( s , ) | - ^ .

для

Мы можем выбрать теперь

тп0

настолько большим,тпчто)

всех

m

тп0

последнее

выражение

меньше,

чем

2

3

е/ .

Поэтому для всех |

т |>

Т

и

m

>

m0

имеем |

А

(т,

| < ;

е.

гНаконец.

,

к 0)Ь (т)

sk

e-CTlF (s)

— равномерно

непрерыв­

ная функциятѵ

(т, со) в областитп^>—тп1

\А —(т, гтп)

со

^

Отсюда

и

из

формулы Т(2)

вытекает

существование

такого

что для

всех

оценка

|

<

е

справедлива также и па —

<5 т < ;

Т .

Таким образом,

при

тп

шах

тг)

b,имеемс и г|

А

тп)

,<а;

(m0,Пустъмыа,

действительные(т, | < ; е на

числа— оо

т <а;

оо,

Ъчто;

и требовалосьТогда интегралдоказать.

Л е м м а

3.5.2.

ср

6

■—

<

<

Е 25.

т ) ^е Т° ' 1 dt

4 -

J

Ф (г +

сходится в £ а,ъ к ср (т) при г-*-

оо.

мы

будем

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В

дальнейшем

предполагать,

что

г

)>СО

0. Прежде всего,

—Sоо sin rt

Поэтому

нам

достаточно доказать,

что

при всех

к =

0,

1

,

2

, .

. .

функция

[cp(* +

t ) ^ - c p ( T ) ] Ä i ^

ОО

B r ( x ) A ^ - H a>b(x)D ;K—$со

при

равномерно

сходится

к

пулю

на

— оо

< ; т <

оо

г —> оо. Так

как

ср — гладкая

функция

с

ограниченным

носителем, то

мы можем дифференцировать под

знаком

интеграла:

J [e°‘D l cp (г + т) - D l cp (т)]

di =

В г (т) =

=

a,bJ

[jj

+

+ ^ ] =

(T)

+

^ ,r (T)

+

(T)-

—oo

—&

о

t

Здесь< t/1)Г (т), /2)Г (т)

и /3>г (г) обозначают

, по­

величины0

лученные интегрированием на интервалах — с» < ; <

—б,

—б

<Сб, б

< ° °

соответственно,

б

.

Рассмотрим сначала /2,г (т). Функция

Я(«, т) A

Xatb(T) г* [в»'Д?ф(* + т) -

^Ф(т)1

(3)

непрерывна по (і, т) для всех т и всех t

0.

Более того,

так как

ср — гладкая функция, то (3) стремится к

0

Di

[е°'і)тф(< +

t ) J

|;=0

(4)

и ,ь(т)

/*,г(*)| =

4 " $

H ( t ;t ) s m r t d t < 2/W6 < 8 , — о о < Т < о о .

Фиксируем это значение б.

1

1

Рассмотрим теперь/ іГ(т). Положим І

)Г(ф) = / і,г(т) —

J 2

1

где

,г (х)

-5

J 1

4

D*V (*

dt'

,r (T) =

\

CO е°'

+ T)

- — 03

Л.Г (t) = - 4

со

—Г&^

dz-

----iOO