Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

Скачать файл (12,65Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 151

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

еслп правая часть	существует. Показать, что
	(1	1	-2
(Я/) (*) =	(1	1— е			1	1
			(1	преобразование		Лапласа об
З а д а ч а 3.3.4.		Двустороннее		преобразование		Лапласа об
З а д а ч а 3.3.4.		Двустороннее			— < Hes< .
общенных функций,	определенное) — впа“*"1)всех’				элементах 3)', может быть

введено следующим образом, основанным на результатах Земаняпа

[1] (пп.	7.6 п	7.8):
(а) Пусть ( p £ Ä H g — такая локальпо интегрируемая									функ
ция, что	для каждого действительного числа							с функция e~cl g (t)
абсолютно интегрируема			на	— оо	<	t <	со.	Положим
абсолютно интегрируема			на	— оо	ОО		со.	Положим
		Ф (*) =	(Яф )(*)=		^	ф (t)e-“		dt,
				ОО
		G («) =		^ g ( 0	e~Bt dt.
Показать, что для любого действительного значения с
	C -j-ioo	G (s) Ф (s) ds =		2лі оо ^		g (t) ф (— t)dt .			(6 )
	С— ІОО			— 00

Это приводит к следующему определению Я / для любого / £ 3)':

	<Я/,	Яф> = 2 яі </, ф>,			-(7)
где ф (<) =	ф (— г). Таким	образом, Я на 3)' представляет			собой
отображенпе, сопряженпое отображению Яф				яіф,	где ф
пробегает	пространство S).	Отметим, что при	f —	2g левая часть

равенства (7) может интерпретироваться как интеграл по верти кальной линии в комплексной s-плоскости, а именно, как левая

часть

равенства

(

(в)

Пусть п —

положительное целое число, 3?п — пространство

всех целых функций Ф , таких, что

ип к (Ф) 4

sup I е~пЫ / ф (») I <

оо, в =

Re *,

* = О, 1, 2, ... .

Снабдим’

& п

seSP'

топологией, порожденной мультинормон {un, k}£L0. До

казать,

что

3?п — полное

счетно-мультпнормпропаппоо простран-

ство

что

ф =х Яф

2яіф — изоморфизм

5?п

на 3>к , где К —

отрезок — п <

п.

оо

(с) Показать, что S? =

U S? может быть определено естествен-

ным образом

как

П =1

строгое

счетное объединение пространств и что

Ф =

Яф1-»-

яіф — изоморфизм S?

па 3). Отсюда следует, что если

Я/

указанным

в (а), то / і->- Я/ —

определено на / £ 3)' способом,

изоморфизм 3)'

на

где

— пространство,

сопряженное к S?.

3.4. Формулы преобразования операций

Вэтом пункте мы определим ряд операций, применимых

кэлементам любых пространств Х а,ь или X ' (w, z), и покажем, как эти операции преобразуются при преобразо вании Лапласа. На протяжении всего пункта мы предпо

лагаем, что				F s			2
				( ) =	£/ при s ЕЕ й/ и что ах, аг обозначают
абсциссы сходимости для й/.
	Дифференцирование.					В п. 3.2. (равенство (1))мы видели,
	y h		D
что		(— Z)cp) = Т/т (ф)- Поэтому согласно лемме 1.10.1
оператор —				(т. е. дифференцированней умножение на — 1)
задает непрерывное					линейное отображение		Х а, ь		в себя.
							D ,
По	теореме			1.10.1	сопряженный оператор			который

является оператором обобщенного дифференцирования (см. п. 2.5), определяет непрерывное линейное отображение

Х а,ь в себя. Следовательно,— D определяет также не прерывное линейное отображение любого пространства

X(w, z), являющегося счетным объединением пространств,

всебя, а обобщенный оператор D — непрерывное линей ное отображение X ' (w, z) в себя.

Это приводит к следующей формуле:

2 D k

(t)

skF

(s),

в е й / ,

2, 3,

. . .

(1)

Действительно,

если

/ е

У (ой,

су2),

e~sl ЕЕ X

(ой, сг2), то

Ф кІ (<), e~sl >

</ (г),

( ~ D tf

e- sl>

</ (г),

S*e-sl> =

skF (s).

Формула (1) представляет собой свойство преобразования Лапласа, которое делает это преобразование столь полез ным в качестве основы для операционного исчисления при

решении

дифференциальных

уравнений с

постоянными

коэффициентамиУмножение на.

функциюМы рассмотримиз ОмОмэтот вопрос

в конце

п.

3.6.

функций,

— это пространство

(t)

Ѳ м

гладких

определенных

следующим

образом:

принадлежит

тогда

и только тогда,

когда

она

является

гладкой

на —

оо

і <

оо и для

каждого

не

отрицательного

целого

числа

существует такое целое

число

N k,

чтооофункция.

(1 +

t2)~NkD kQ (t)

ограничена

оо

< ;

на —

Пусть ф — произвольный элемент Х с, а и а, & — произ вольные действительные числа, удовлетворяющие услови ям а < с и d < .Ъ . Тогда для любой Ѳ ЕЕ Ом операция

t-> Ѳ Ф

является

непрерывным лппѳйпым

отображением

%а,ь-

Чтобы показать это,

напишем

Ка,Ь0*(Ѳф)

Z)'l- v0)( x CidZ ) » ,

и заметим,

что

можно выбрать постоянную

В к

так,к .

что

*a, b D k-v 0

< B k,

° ° < ' : <

lX5i

V =

0 ,

1 , . .

Xc.d

Следовательно,

если10

ф1 б Ж Сіі,

(ф)-

Линей

Таким

образом,

то Ѳф€ЕІёа ,ь.

ность отображения 1ф>->-

Ѳф

очевидна,

непрерывность его

вытекает из леммы . .

Ом.

выборе

w, z

Из всего сказанного6следует, что приXлюбомw

0и для любой функцииѲ

соответствие ф>->-

ф определя

ет непрерывное линейное отображение

(

, z)

в себя (т. е.

— мультипликатор в

Действительно, для лю

(

, z)).

бой

заданной

последовательности

{фѵ},

сходящейся

, z), можно найти такие

действительные числа

а,

(

â,

что

Х<

с,

< z и

{Xфѵ(w,} сходится

Х Су (1.

а>ъ

Наш предыдущий результат показывает теперь, что {Ѳф„}

сходится в

и,

следовательно,

z). Поэтому ото

бражение действительно непрерывно, линейность же его

очевидна.

X ' w0

Мы можем поэтому заключить, что / ■->-

/ (см. п. 2.5) —

непрерывное линейное отображение

(

в себя.

Этот

результат и тот факт, что

tk ЕЕ Ом

для

всех

= 0, 1,

2,...,

приводит к еще одной формуле преобразования операции.

Для

любого

фиксированного

числа

такого,

что

О! <

Re s <

о2,

справедливо

соотношение

« / (

e~st>

</ (

te-st>,

гдеX

обе

( )

стороны

равенства имеют смысл

как результаты

применения2

элемента из пространства

X '

(ц1, о2) к элементам

(ог1, ст2). На основании

равенства

(3) п.

3.3

можно пере

писать

( ) в виде

— D F

Is),

s E Ö / .

(3)

&t f { t )

Для любого положительного целого числа к и фикси рованной (но произвольной) точки s из Q/ мы можем

аналогичным образом провести- следующие выкладки:

<t*f ( 0 ,

е " 8' )

< * * -1 /

(te~S,>=0 .

. <

* * ~

Ѵ ( 0 . е ~ 8,>

- -

я .

(0, ^ ' >

( -

Л.)* <гя~2/ (0, <г8'> = •■ ■

(4)

В результате мы

. . .

(

Л ,)*</(*),«-'>•

получим формулу преобразования опе

рации утюжения / на

F is),

tkf (t)

= </ (0,

( -

Д*)

Q/,

(5)

Умножение на

3, . . .

Пусть а —

экспоненциальную функцию.

фиксированноеа-комплексноеГ, ь-г %а, числоь-

Re а . Мы дока

жем сначалаХ, что

отображение ср >->

е-“ '<р

является изо

морфизмом

на

Действительно,

х0, ь (<)

D ke

к—V

^a, b (0

~alср (<) =

( - a )

r, b-r -at

ѵ=0

■«a-r.b-r (0

Функция к а, ь (г) е-а7ха-г, ь-г (0

ограничена на — оо <;

(

оо постоянной,

равной 1.

Следовательно,

Та, ь, к (е_а'ф) <

( *) I “

Г"ѴТо-г, Ь - г ,

V(ф),

поэтому

е~а'ср еі? ь ,а >

если

ср

Ä а-г, Ь-г-

Так

КЭК

отображение1 10 1, очевидно,

линейно,

то полученное неравен

ство доказывает, что оно и непрерывно из

а~ , ь_,-

ъ Х йіЪ

(лемма .

. ).

еаі

>->■

С другой стороны, умножение на

является единст

венным обратным отображением для ср

е-а“(,ьср,^

причема-г,ь-г-

аналогичные рассуждения показывают, что

Хоно определя

ет непрерывное линейное отображение всего

Поэтому отображение

qp>->-e_ a ((p

действительно

является

изоморфизмом Ä a_,.jt>_r нэ

Х а, ь.

Следовательно, ср>->-е-а,(р —

г =

изоморфизм

— г,

—

г)

на

iw,

z);

при

этом

мы

полагаем,

что

— оо —

— оо

при

w =

— оо,

оо— г — оо при z = оо.

Из результатов п. 2.5 вытекает теперь, что / >->- e~atf —

изоморфизм

как

Х а,ъ

на

Х а- Г,ъ-Т,

так

X '

(w,

на

X '

(

—

г, z

Поэтому

если В / =

(s) при

€Е Q/,

то

— -).

равенство

> =

it),

e-(s+a)(>,

+ a e

Й/,

- a7 (t), e~sl

( )

имеет в 1смысл.

Действительно, / е

6Ж'

(огх,

въ),

е-Ф+а>' ее

(d ,

Ста),

e -at )

Ä ' (о1! — Г,

въ —

г)

и e- s' е

Е Ж

(

— г, <х — г).

Равенство

( )

можно

нереписть

также в

виде- а1 / ( ( г )

—

(s + а ) , s

+ а

е £2,.

(7 )

£ е

Сдвиг. Пусть т — фиксированное действительное чис ло. Отображение cp (t) >-*- ср (і + т), как мы уже видели, является непрерывным линейным отображением Х а, ъ в %а,ъ, поскольку

I-

(/)

Т) Аі-тф (/ +

т)

ха, Ь(О А Ф (І +

т) = -—

_рту V-a. b (t +

отношение

на, ь (/)/х„)Ь (/ + т)

ограничено

на

—

оо

< ;

оо.

фЕдинственное(t) >-*■ ф (t

обратное отображениеX а, ъиме

Xета, ъвид

ср (/) и-»-

ср (і — т) Хиа, ьотображает).

все

Х а, ь

Х а, ъ.

Следовательно,

т) — изоморфизм

на

(т. е. автоморфизм

Поэтому рассматриваемое

отображение

задает также

автоморфизм

( , z).

Обозначим отображение,

сопряженное ф

(t) >->-

+ т),

через

f (t)

f {t

— т), поскольку оно имеет такой вид для

обычных функций, и напишем

</ (г — т), ф (г)> =

</ (г), ф {t +

т)>.

(8)

По теореме 1.10.2 / (t) / (/ + т) задает автоморфизм

пространств Х а, ь и X ' (w, г)'при любых а, Ъ, w и z. След ствием всего сказанного является формула

		S3 / t t - т )			= e ~ ^ F (s),				s ^ Q j .		(9)
З а д а ч а							F (s) при s Е Qf-
		.4.1.	Пусть йf =							Показать сна
чала,	что ср (г) і->- ф (— г) — изоморфизм 31_ь _ а на5?а ь. Затем для
любой	обобщенной функции					/ Е	Sßa ь,		определить		отображение
f (0	/ (— 0	формулой
		< /(-< ).		ф (0 > = < / ( 0 .				Ф (-<)>■
Наконец, показать, что й/ (— г) =							Т7 (—s) при —s Е			йу.
З а д а ч а		3.4.2.	Пусть			т — фиксированное				положительное
число,	йf = F	(s) при	s Е		Qy.	Показать,			что ср (г) >-*- ср (г/т)—изо
морфизм 5?та тЬ на S6a				ь.	Для	/ Е	Sß'a j,		определить		отображение
/ (г) і->- / (т, г) формулой
		</ (т, 0. Ф М>				=	</ (0.	'с~1/ С/т)>
Доказать, что		Й/ (тг)	=	т-1/'’ (s/т)			при s/x Е S2/.

Смотрите также файлы

Курсовая работа по дисциплине Теплотехника Студент гр. Гр2011 М. Н. Осокин.docx

Теоретические аспекты интегрированного и инклюзивного образования детей с овз.ppt

Моя семья. Краткие прилагательные.docx

Лабораторная работа 5 По дисциплине Химия (наименование учебной дисциплины согласно учебному плану).docx

Мануфактура.docx

Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно