Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

следует тогда,

что /2) г

г(т) равномерно стремится к нулю

на —1

оо < ; т <

оо при

—>■ оо.

зуем

ограниченность носителя ср для получения формулы

• fl,г (T) =

<roS cos

rb

--- Jtrb---- * a’b (T) D гф (T — б) +

+

- ^ \—5

Х>^ф (i +

-Г)

dt.

(5)

cos r« 9«в>ь (тг)

Первое слагаемое в правой части равномерно стремится

к нулю на — оо <

X

<

оо при

г

о

о , так как о и б фик­

сированы,

а

к а>ь

(т)

Dr

ср (т — б) — ограниченная функ­

ция т.

Кроме того,

*а,Ь (*)

Dt - г - Dr Ф (t -)- т)

---- «-) Dr<p(t +

т) +

ха,ь (т) ——Dr+\

(і+т)

=

*a,h(t) е°

х Піь (т) e°lDrк,ф (t

+

т)

ограничена

(6)

(

t,

Но

функция

в

т) (і-плоскости

tпри

всехА

посколькуА

п £ ф ( і + т )

ограниченаt

и имеет носитель,

сосредоточенный

в

по­

лосе

{(

,

т):

I

+

т I

<

},

где

а

— достаточно

большое

число;

в то же6время функция х а>ь (т) еа| ограниt

­

чена в этой полосе в силу неравенства

в

<

a

<

Ъ.

Таким

образом,

t

выражение

(

)

ограничено

области

{ (

, т):

— оо <

<

— б,

оо < т

< о о }

некоторойА

постоянА ­

ной

N .

Из этого результата и предположения о том,

что

носитель ф сосредоточенN Al(nr),на

интервале

—

т

,

вытекает ограниченность второго слагаемого в правой

части (5)

величинойJ

2

стремящейся к

нулю

при

г —» оо.

hr

11уГ

Следовательно,

(т) и поэтому

(т)

равномерно

г

стремятся к нулю н а — оо < т * < о о

при3

-> оо.г

Аналогич-+

­

ные рассуждения

показывают,

что

/

,г(т)

также

равно­

мерно стремится к нулю на — оо <; т <

оо при

оо . Та­

ким образом,

мы установили,

что

lim

I

т) I < е ,

В г(

Теперь мы в состоянииПустьсформулироватьF s) прии доказать форs

­

мулу обращения.

£/ =

(

< Re

<

Т е о р е м а

3.5.1.

«< а2, г —

действительная переменная.

Тогда

1

а-\-іг

F (s)es‘ds

^

(7)

/(І) = ІІП - ^ -

г~ *со

а — іг

.

в смысле сходимости в 3D', причем

о

любое фиксирован

действительное

число

из

интервала

пое Замечание.

—

< а <

Эта

а2.

мости в

X ' (аи

формула верна даже в смысле сходи­

а2) (Земаиян

[3]). Однако нам этот резуль­

тат не понадобится.

Идея доказательства состо­

Д о к а з а т3Dе л ь с т в о .

ит в перенесении формулы обращения на преобразование

функции ерХ а,ь■

и использовании

сходимости полученно­

го выражения к ф в топологии пространства основных

функций

Мы

применим

в

дальнейшем эту схему

J i m < \ 2 j t T

5

7 ? (s ) <?s' d s > cP ( <) ^ > =

< / - Ф

а — іг

СО

Г

dt, s = б + гео, г >

’ Tt — со II

Ф— г ( F0 (s )^

0 .

2^ — Г </(т),

— ОО

^ cp(t)cstdtdo),

< 7 С О .

U

J ф ( 0 estdtdioy .

— г

— со

<7 (О. 'ér ^

ф (0

^

е8('-т) d(ä dty

=

— оо

— г

= < ^ (Т)’ 1 Г —$оо ф(* + т)ев'-2^ й ^ .

Последнее

выражение

стремится

к

<•/ (т),

ср (т)> при

г —» оо, так

как

/ £ і?Иі (, и согласно

лемме Х3.5.2

основ­

ная функция

в

этом выражении

сходится в

а,ь

к ср(т).

Теорема доказана.

единственностиможем доказать).следуюПустъ­

Используя теорему 3.5.1,теоремамы

щее2

свойствоF (s)

единственностипри s ^ Q , идля2преобразованияh = H(s) при Лапласаs ^ Q h..

Т е о р е м а

3.5.2

(

Если

пересечение

не пусто и

F

Н {s)

при

s / =

то f

— h в смысле

равенства

в

X

'(w, z),

ва€Е £2/ П Oft,

Q/ (~)

Qhобразован

пересечением(s) =

множест­

где интервал w

Qf

П Q ;, с

< ; er < z

3).

действительной осью.

и g

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обобщенные функции /

должны принимать

одни и те же значения на всех ср

ее

Действительно,8

выберем

а

так,

что

w

< ст

< z .

Тогда по

теореме 3<h,.5.1, подставляя

Н

(а +

іео)

вместо

F (а +

іа)

что

в

формуле

3)( ),

мы

непосредственно

получаем,

</,

<р>

=

ср>.

X

w

g

X ’

Далее,

плотно

в

h

(

,

z)

и

/,

— элементы

(w, z).

Поэтому

</, Ѳ> =

, Ѳ> для всех 0 e Ä ( i i ) , z ) ,

<

чтоеслпЗи(7)требовалосьпереписать в доказатьвиде

.

3.5.1

остается

верной,

а д а ч а

3.5.1.

Показать,

что теорема

o-fir'

/ (0 =

lim

С

F

(s)esids,

сі <

а <

ба,

З а д а ч а

3.5.2. Пусть

функция

/ €Е й)

такопа,

что ср(/)^0

на — со < і <

оо. Определим Y (.?) как в лемме

3.5.1,

и пусть г —

фиксированное положительное число.

Доказать,

что

Г

^ I sk Ч? (s) I dw > 0,

s = с +

іео,

к =

О, 1,

2, . . .

функции

/ (в

смысле определения, данного в п.

3.3,

равенство

дала с

(1)),

и

чтобы соответствующая полоса сходимости совпа­

той подполосыQ , = {s: Ol

<аR e

s < стs

2},

необходимо и достаточ­

полосы

а

но, чтобы F

(в) была аналитична в Ulf, и для каждой замкну­

< ib

при {s:

Re

і }

Q/ (сті

<

<

o2) существовал такой полином Р ,

что

\F

(s) |

может<

зависеть от а и Ъ.

в общем

< ^ jP ( | s |)

а

^

s

Ь. Полином Р

случае

Необходимость.

Аналитич­

Д оFк а з а т е л ь с т в о .

ность

(s) уже была установленаX ' и,вь,теореме 3.3.1.< ЬR

силу

нашего определения преобразования Лапласа обобщенная

функция / является элементом

где щ < а

< ст 2.

Поэтому иза

свойства

ЪIII п. 3.2 следует,

что существуют

постоянная

С

и неотрицательное целое число

г,

для кото­

рыхF

при

Ree~slys

С

max

sup |

ка,ь (t) D f e~sl

I =

I (s) I =

I </ (/),

I=<

С

'<Г

t

1

0<1

Зависимость P ( | s |)

max

Is|Äsup I xai„ (<) e~s' |< P ( |s |) .

в общем случае от а и Ъ вытекает из

того, что поIsкрайней мереs для некоторыхF

преобразований

Лапласа граница Q/ содержит полюсы

(s).

Например,

2 1

(0

= 1

при 0 < R e

<

оо.

Достаточность.

Сначала

мы

докажем следующую

лемму.

Л е м мKаs-3.6.1.

Если функция. G (s) аналитична в поло­

и

удовлетворяет

неравенству

се {s :

а.

< R es <

fr }

I G(s)| ^

\ где К

—

постоянная,

и если

(1)

g V)= = ~èti

\

G(s)estds,

a < C o < b ,

О—І со

то g(t)

непрерывная функция, не зависящая от выбора

0 и порождающая регулярную обобщенную

функцию в

%' (а, Ъ).—П ри этом

Qg =

G

(s)

по

крайней

мере

при

а <С Re s

< Ъ.

g

(

t)

от

а

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Назависимость

женных

на

G{s).

Выражение (1)

может быть переписано

в виде

оо

G (б +

(2)

e~alg ( t ) =

—^оо

іа) еш сіа,

a<^a<^b.

Так как

функция

G

(s)

аналитична

по

s

=

а

- f

ісо и

|G(s)

|СО<

К

\8

Г , то

оо

^

I

G

(б

- f -

ісо)еш

I

du>

^

— ^

I

G

(а

ісо) dco

<[

с ю .

(3)

— ОО

оо

сходится равномерно при

Такимt, образом,

интеграл в (2)

всех

откуда

и следует непрерывность

g{t).

При

этом

формула

СО

(4)

G ( s ) =

^

g(t)e~stdt,

4 А. Г. Земаіши

97