Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf

Скачать файл (12,65Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 131

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

строгое счетное объединение пространств6

является линей

ным пространством с секвенциальной ^-сходимостью. Чтобы

проверить, выполняется ли аксиома

п.

1.4,

предполо

жим,Ѵчтот,

срѵ не сходится к ф в

2У

при’ ѵ

оот. ,

Это может

произойти только в двух случаях: не существует простран

ства

все

содержащего

все фѵ,

) для любого

для кото

рого

фѵ £Е

ф GE

последовательпость {фѵ}

не сходится в

Ѵ т

к ф.

В первом случае выберем из {фѵ} элемент фѴі, не

принадлежащийѴ т.

Последовательность,

получающаяся

после исключенияъ фѴі,

также не содержится ни в каком

Выберем из нее элемент фѴі,тне содержащийся в

и,

следовательно,

Ѵ 'і

. Продолжая этот процесс и полагая

не

= фЧ(А, находим для каждого

некоторый элемент ф^.,

содержащийся

ни

каком

пространстве

при

т]

другими

словами,

не

содержит

фц, ес

^(.1

ли

т.

Таким образомѴ'т ,

мы получили

последователь

ностьV

{фц}, все подпоследовательности

которой

не

со

держатся

ни в каком

поэтому не

могут

сходиться

к ф.

аксиома

Следовательно,

выполнена. Ѵ'-р.

Во втором случае обозначим через т

наименьшее целое

число,

для которого

все

ф„ £Е

и ф ЕЕ

р.

Тогда

все

фѵ и ф принадлежат

для любых

Кроме того,

Ѵ'р

существуют окрестность ѴQ'рp

элемента ф и подпосле

довательность {ф(л} из {фѵ},

такие,

что

£$= Qp при

всех ц.

Но так как топология

совпадает с топологией,

индуцированной

на

Ѵ ѵ

пространством

Ѵ'т (т

р),

то

Ѵ'т

должна существовать по крайней мере одна окрест

ность

Q m

элемента ф,

для которой фц, QË Q m при всех М'

(действительно, выберем Q m такой, что ее пересечение

Ѵ ѵ

совпадает с Qm; по крайней мереѴ

одна такая окрестностьт р

Q m существует).

Таким

образом,

никакая

подпоследова

тельность {фР.}

не сходится в

*т

к ф при

любом

6 )>

и поэтому не сходится в

Следовательно,

аксиома

удо

влетворяется.

объединение пространств, не обяМ

М аПустьV плотно— счетноеV",

зательно

строгое.

Мы будем говорить, что подмножество

если для любого

элемента ф ЕЕ

найдется последовательпость1 6.2{фѵ}, все

элементы

кото

рой

принадлежат

которая сходится в У к ф.

Это

определение в

силу

леммы .

согласуется с ранее дан

ным определением для счетно-мультинормированных пространств.

П р и м е р 1.7.1.		Рассмотрим	счетно-мультинормировапМыб
пространства 2 К и 2	Jt	где К и J	— компактные подмножества

З У и К d J . Такие пространства уже встречались в примере 1.6.1. Для каждого неотрицательного целого числа к из З У 1 мы имеем одну и ту же полунорму на 3)К и 2 Jt а именно:

ТГк(ф )= sup \D h<p(t)\.

(1)

Семейство {T/J^Lo порождает счетную мультинорму на 2 К и S lj. Таким образом, 2 к d 2 j , и топология 2 К совпадает с топо логией, индуцированной на 2 К пространством S)j.

Пусть	теперь		— последовательность				компактных
						СО
сфер в З У ,	таких,	что К х С	К 2 С	Къ С	... и З У 1 =	(J	К	Мы мо-
жем положить, например,			К т =	{(:	\| / \| <; т }.	т = і			2)
						Пространство
определяется как		строгое	счетное объединение			пространств,			по-
рожденное пространствами 2 К . Это означает, что 2							=	ОО
								U 2 К ,
			т			'		7П=1	т

и последовательность {<рѵ} называется сходящейся в 2 , если все <рѵ принадлежат некоторому пространству & к т и {<pvJ сходится

в 2 , , . Так как каждое 2 „ полно, то полно и 2 . Отметим, что 2 ,

будучи линейным пространством с секвенциальной «-сходимостью, не зависит от выбора последовательности {АГГП}^=1 компактных_сфер. Поэтому если бы мы выбрали какую-либо другую последователь

ность		компактных сфер, такую, что	d J 2 d J з С ...
	ОО
и З У 1 = U		Jm i то нашли бы, что 2 состоит из тех же элементов
и что	тп=1
	сходящиеся последовательности точно те же, что и в рассмот
ренном выше случае.
В	силу	леммы 1.7.2 последовательность	{<рѵ} сходится в 2

тогда и только тогда, когда все <рѵ принадлежат 2 К , где К —

некоторое фиксированное компактное подмножество З У 1, и для каждого неотрицательного целого числа k (Е З У 1 последователь

ность {D kq>v (г)} равномерно сходится на З У 1. Это понятие сходи мости совпадает с введенным для 2 в примере 1.4.1.

За д а ч а 1.7.1. Проверить, что счетное объединение про странств является линейным пространством с секвенциальной схо димостью.

За д а ч а 1.7.2. Рассмотрим 2 не как счетное объединение пространств, а как счетно-мультинормированноѳ пространство,

снабдив его топологией, порожденной {Tft}£L0, где Та. определены

формулой (1). Показать, что получившееся пространство не полно. З а д а ч а 1.7.3. В задаче 1.6.4 было отмечено, что 2 — плот ное подпространство с$Р. Показать, что сходимость в 2 влечет

сходимость в 8 .

1.8.Пространства, сопряженные

ксчетно-мультинормнрованным

Пусть	V 1	— счетио-мультинормпрованиое пространство.
Правило,		по которому каждому элементу ср	е	=	V 1	ста
			е

вится в соответствие некоторое единственное комплексное число, называется функционалом на Ѵ '. Мы будем обозна чать это число через </, ф>. Говорят, что функционал / линеен, если для любых ср, ф Е W и любых а , ß ЕЕ

</, ссср -I- ßi|>> = а </, ср> -I- ß </, ф>.

Отсюда следует, что (/, 0 ) = 0. Функционал / называется непрерывным в точке ср ЕЕ 2^, если для любого е )> 0 найдется такая окрестность Q элемента ср в 2^, что I </, ф> — </, ср> [ < е, когда ф е й . Функционал / назы вается просто непрерывным, если он непрерывен в каждой точке Ѵ'. Полезным и достаточно прозрачным фактом (ко торый также непосредственно следует из леммы 1.8.2) яв ляется то, что линейный функционал непрерывен тогда

итолько тогда, когда он непрерывен в начале координат.

Ле м м а 1.8.1. Пустъ W — счетно-мулътинормиро- ванное пространство. Для того чтобы функционал / на W был непрерывен, необходимо и достаточно, чтобы для лю

бого ср е= 2^ и любой последовательности {срѵ}^, сходя щейся в V к ср, имело место соотношение

lim </,

срѵ> =

</, ср>.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Необходимость очевидна1 6 2

Для доказательства

достаточностиV

мы

используем тот

факт, установленный при доказательстве леммы

. ,

что

для любого данного ср ее

найдется последовательность

шаров с центрами

в ср,

для

которой

С х ZD

2 ZD

U С 3

+2С

ID . . .

и каждая

окрестность

ср содержит поѵ

край

ней мере один

из

Сѵ

и,

следовательно6

, Сѵм,

• • •

Допустим,

что

функционал0 /

не непрерывен.

Тогда

он

не непрерывен

в некоторой

точке ср

V .

Это

означает,

что существует такое е

, что не найдется окрестности

Q элемента

ср,

которой

</, ф> — </,ср > |

< е

для всех

ф е й .

Другими

словами,

существует

такое

е ]>

что

для любого

Сѵ (с центром в ср) существует

по

крайней

мере

один

элемент

фѵ ЕЕ С ѵ,

для

которого

| </, фѵ> —

— (/, Ф> I >

е.

Очевидно,

что

фѵ

Ф в W

при

оо,

но Km </, <pv> =f= </, ф >; полученное противоречие дока-

V—>оо

зывает лемму.

Л е м м а 1.8.2. Пусть Д — счетно-мультинормиро- ванное пространство. Для того чтобы линейный функцио нал f на W был непрерывен, необходимо и достаточно, чтобы


для любой последовательности	{фѵ}^ і,		сходящейся в V
к пулю, выполнялось соотношение	{фѵ}^ і,		0
	ѵlim—*оо	</, ф„> = .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Необходимость снова оче видна. Выберем произвольный элемент г|) £Е V 1 и любую последовательность {фѵ}, сходящуюся в V к ф.

Тогда фѵ =

фѵ — і | і - > 0 в

V".

Из

линейности

/ и пред

положения

о достаточности

условий следует,

что

I < / , фѵ> — < / , Ф > | = | < / , ф ѵ — ф > I - > 0

при V -> оо. Применение предыдущей леммы завершает

доказательство.

Тг

линейного про

Предположим теперь, что топология

странства

порождена

счетной

мультинормой

ІуД ”—г

где yt — норма. Определим счетную

мультинорму {рД^Ц

формулой P[jl = max

{yj,

. . ., уД ,

пусть

Т 2

— тополо

гия, которую {рДу

порождает в

У/'.

Топологии

Тх

Т 2

совпадаютТ2 а.

ТДействительноі ,

, для любого элемента

ф ё

Рц (ф) = птах (Уі (ф)і • • •» Уу (ф)>,

так

что по

лешіе

1.6.3

кроме

того,

уу (ф) <

ру (ф),

поэтому

в силу той же самой леммы

Т г

Т 2.

Отметим, что все ру являются нормами и для любого

элемента ф0

б ^ , отличного

от нулевого,

< Р і (ф) <

2 (ф) <

рз

(ф) <

• • •;

этот результат мы используем при доказательстве следую щей теоремы.

Те о р е м а 1.8.1. Пустъ Д* — линейное пространство

стопологией, порожденной счетной мулътинормой {уДуТь где ух — норма. Введем счетную мулътинорму {ру}£Д

формулой ру. “ max {ylt . . ., уу}. Для любого непрерыв ного линейного функционала /, определенного на W , суще ствуют положительная постоянная С и неотрицатель ное целое число г такие , что для всех ф £ ^

I </, ф> і < СрТ (ф);

(1)

г и С зависят от /, но не от ф.

2 А. Г. Земанпн