Файл: Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 132
Скачиваний: 0
Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим, что не существу ет значений С и г , для которых неравенство (1) выполня ется при всех cp 6Е W . Это означает, что для любого поло жительного целого числа ѵ найдется такой элемент Фѵ £= V ', для которого
Мы |
уже |
1К/> |
Ф*> I > ѴРѵ (фѵ)- |
(2) |
|||||
отмечали, что рѵ |
является2 |
нормой. Поэтому |
|||||||
Рѵ (фѵ) |
|
0 |
фѵ не |
может быть нулевым элемен |
|||||
|
, так как |
||||||||
том в |
V |
(иначе мы имели быв ( ) равенство, поскольку |
|||||||
обе части обратились бы в нульI |
). Положим |
||||||||
|
|
|
|
Ѳѵ |
____ — |
|
|
||
|
|
|
|
|
ѵрѵ(Фѵ) ^ |
|
|||
Если |
|
к |
— произвольное, но фиксированное неотрицатель |
||||||
ное целое число, то при ѵ |
к |
мы имеем |
|||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
Pt (Ѳѵ) < Рѵ (Ѳѵ) |
Рѵ(фу) |
1___ п |
|||
|
|
|
|
ѴРѵ (Фѵ) |
ѵ |
||||
|
|
|
|
|
|
когда V ос. Так как топология, порожденная {рД, совпадает с топологией, порожденной {у^}, то из леммы 1.6.1. вытекает, что {0Ѵ> сходится к нулю в V . Следова тельно, </, Ѳѵ> ->• 0, поскольку / — непрерывный функцио нал на Ѵ'. Но из (2) вытекает, что
Полученное |
I |
</, Ѳѵ> |
I |
= 1</. фу> I |
^ , |
|
теорему. |
||||||||||
|
|
|
|
ѴРѵ(Фѵ) ^ |
|
||||||||||||
противоречение доказывает |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Мы показали, что условие ( ) необходимо для того, |
||||||||||||||||
чтобы линейный-*■ Р ' |
функционал / на |
был |
непрерывным. |
||||||||||||||
По лемме 1.8.2 это условие также и достаточно, так как |
|||||||||||||||||
если фѵ |
|
0 |
в |
при V -> |
оо, то | </, фѵ> | |
|
|
Ср (фѵ) 0. |
|||||||||
|
Семействопространствомвсех непрерывныхсопряженнымлинейныхк W |
функционаловдуальным |
|||||||||||||||
наV )счетно-мультинормированном пространстве |
V |
назы |
|||||||||||||||
вается |
|
|
|
|
, |
|
V*'. |
|
|
|
(или |
|
|
||||
к |
g |
|
и обозначается через |
Говорят, что два элемента / |
|||||||||||||
и |
|
из |
V ' равны в V ' |
(или просто |
равны), |
если для всех |
|||||||||||
Ф ЕЕ |
V* |
мы имеем </, ф> = |
<g, ф>. Сложение и умножение |
||||||||||||||
на |
|
комплексное число |
а |
определяются в |
V ' |
следующими |
|||||||||||
двумя |
равенствами: |
|
|
|
. |
<а/, Ф> |
â а </, |
Ф>. |
|||||||||
|
</ + |
g, |
Ф> = </, ф> + |
|
<g, ф>, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34
С этими определениями V ' становится линейным про странством, нулевым элементом которого служит функ ционал, ставящий в соответствие число нуль каждому
Фе Г Предположим, что % и *0" — счетно-мультинормирован
ные |
|
|
пространства, |
причем |
% |
— подпространство |
Ѵ*. |
Под |
|||||||||||||||||||||
сужёпием f Е=Ѵ" |
на |
% |
мы понимаем единственныйg |
функцио |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
GE %. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
нал |
|
|
g |
%, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
</, ср> |
для |
|||||
|
|
cpна |
|
%определенный формулой <g, ср> |
|||||||||||||||||||||||||
всех |
|
|
V |
|
Очевидно, |
|
что |
функционал |
линеен. |
Если |
|||||||||||||||||||
топология |
|
|
. |
сильнее топологии, индуцированной прост |
|||||||||||||||||||||||||
ранством |
|
|
на |
%, |
то |
g |
|
также непрерывен и поэтому при |
|||||||||||||||||||||
надлежит |
|
|
|
|
Действительно, |
предположение о том, |
что |
||||||||||||||||||||||
Ф„ ->■ |
0 |
в |
|
%, |
|
|
влечет |
|
cpv |
0 |
|
в |
W , |
и, |
следовательно, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(g, |
срѵ> = |
|
</, |
Wсрѵ> ян-*■ 0.% Таким |
образом., |
по |
лемме |
1.8.2 |
|||||||||||||||||||||
g |
определяет непрерывный |
функционал |
на |
%. |
Поэтому |
||||||||||||||||||||||||
сужёнпе / е |
|
|
|
|
|
|
|
|
принадлежит |
|
|
что |
0 " |
|
|
0 " |
|||||||||||||
|
Одпако мы не можем сделать вывод, |
|
|
—■ под |
|||||||||||||||||||||||||
пространство |
%', |
поскольку два различных |
элемента |
|
|||||||||||||||||||||||||
могут иметь одно и то же сужёние на |
% |
(т. |
е. не обязатель |
||||||||||||||||||||||||||
но существует однозначное соответствие между |
0 " |
|
и под |
||||||||||||||||||||||||||
множеством |
%'). |
|
|
|
|
|
|
|
|
если мы добавим пред |
|||||||||||||||||||
|
|
|
0 "С другой стороны, |
||||||||||||||||||||||||||
положение о том, что |
% |
плотно в |
0", |
то тогда, как мы сей |
|||||||||||||||||||||||||
час |
|
|
покажем, |
|
|
|
|
— подпространство |
%'. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
П р и м е р |
|
1.8.1. |
Пусть |
й>'к — пространство, |
сопряженное |
к 3)к . Примером элемента из 3)к является дельта-функция (Дирака)
сосредоточенная |
в |
точке |
т (Е <%". |
Она |
обозначается через |
|||
б (г — т) |
п определяется формулой |
|
Ф 6 |
|
||||
|
|
|
< 6 |
(t — т), |
<р (<)> = |
ф (т), |
% |
|
Пусть |
К |
обозначает |
множество {i: |
| t \ ^ |
1} и |
/ — множество |
||
{і: I 1 |
1< |
2}. S0K |
образует подпространство в SDj, |
а топология 3>к |
||||
совпадает с топологией, индуцированной 3)j |
на 3)к - Отсюда сле |
дует, что сужёние любого элемента / (Е 3)j M& SO£ принадлежит 3)%-. Однако, как было только что указано, мы не можем сказать, что Sü'j является подпространством 3)к , поскольку не существует
взаимно однозначного соответствия между SDj и некоторым под
пространством 3)'к . Например, пусть т = (3/2, 0, 0, . . ., 0} (Е
тогда б (t — т) принадлежит обоим пространствам 3%- и 3)j (более точно следовало бы сказать, что сужёния б (t — т) на SD^ и SDj
принадлежат З к и 3)j соответственно). Дельта-функция является
нулевым элементом на 3)к , так как ф (т) = 0 для всех ф (Е З к , но
она не является нулевым элементом в SDj. Таким образом, мы нашли
2 * 35
в S )j два элемента, а именно: б (г — т) и нулевой элемент в 3)Jt
сужения которых на 3)к определяют один и тот же элемент в 3)к , совпадающий с нулевым.
Т е о р е м а 1.8.2. Если % и V — счетно-мулыпинор- мированные пространства, причем % — плотное подпро странство V и, если топология % сильнее топологии, инду цированной W на %, то V ' является подпространством %' {говоря точнее, существует взаимно однозначное соответ
ствие между V " и подпространством %', |
представляющее |
|||||||
собой соответствие между элементами W и их сужёниями |
||||||||
на %). |
|
|
|
% |
|
V 1, |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Поскольку |
(Z |
то |
оче |
||||
видно, что два различных элемента |
%' |
не могут соответV " , |
||||||
ствовать одному и тому же элементу |
V " . |
Таким образом, |
||||||
нам нужно доказать лишь |
следующее: |
|
если |
/ ЕЕ |
|
то |
значения </, ср), гдеср пробегает%, однозначно определяют
значения </, |
ф> при cp |
E |
|
V |
■ |
Это гарантирует нам, что два |
|||||||||||||||||||||||||
различных элемента |
|
|
é |
не будут иметь одно и то же су |
|||||||||||||||||||||||||||
|
V " |
||||||||||||||||||||||||||||||
жение на |
%. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%, |
||||
|
% |
|
|
|
|
|
|
V , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
мы6 |
Так как |
плотно в |
то для каждого элемента cp |
е= |
V |
||||||||||||||||||||||||||
|
можем |
найти |
последовательность |
{срѵ} |
элементов |
|
|
||||||||||||||||||||||||
сходящуюся в |
V* |
к ср (см. лемму 1.6.2). Тогда для любого |
|||||||||||||||||||||||||||||
/ |
Е |
V ' |
справедливо |
соотношение |
</, срѵ> — </, |
ср) |
|
при |
|||||||||||||||||||||||
оо; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
V —>■ |
следовательно, |
|
</, |
ср) |
однозначно |
|
определяется |
||||||||||||||||||||||||
значениями </, срѵ>, что и требовалось доказать. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Наш результат можно сформулировать также в виде |
||||||||||||||||||||||||||||||
следующего |
|
утверждения. |
Пустъ % и V* |
|
|
счетно-мулъ- |
|||||||||||||||||||||||||
|
С л е д с т в и е |
|
|
1.8.2а. |
— |
||||||||||||||||||||||||||
тинормированные |
|
пространства, |
|
причем |
|
% |
|
плотное |
|||||||||||||||||||||||
подпространство |
|
|
|
Предположим, |
что сходимость любой |
||||||||||||||||||||||||||
последовательности |
|
|
к |
нулю |
|
в % влечет ее |
сходимость к |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
нулю в |
W . |
|
Тогда |
W |
— |
подпространство %'. |
к |
счетно- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
W , |
|
|
|
^ , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Введем в |
|
пространстве |
|
|
сопряженном |
|||||||||||||||||||||||||
мультииормированному |
|
пространству |
|
|
топологию, из |
||||||||||||||||||||||||||
вестнуюV |
под названием |
|
слабой |
топологии. |
|
Эта топология |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
W , |
где |
||||||||||||||||||||||||
порождается |
|
мультинормой |
{£Ф}<ре т , |
для |
каждого |
||||||||||||||||||||||||||
ср ЕЕ |
мы имеем полунорму £ф на |
|
|
определяемую фор |
|||||||||||||||||||||||||||
мулой I , |
(/) |
= |
I </, |
|
ср> |
|. |
|
|
Эта |
мультинорма |
отделяет |
V " , |
|||||||||||||||||||
так |
как |
</, |
ср) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V , |
||||
не может равняться нулюV ' шаромна всехс центромср ЕЕ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
если / Vне" |
является нулевым элементом в |
V |
' . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
в g |
Таким образом, |
|
в пространстве |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
ЕЕ |
|
можно назвать множество вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
{/: / (ЕЕ |
W |
|
, |
I |
</ — |
g, |
|
ср*) I |
^ |
ел, |
к = |
|
1, 2, |
. . ., |
л}, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
36
|
|
п |
—в Vлюбое' точкиположительноеg Z E V " |
целое число, |
ц>к |
— любой |
|||||||||||||||||||
гденость |
|
|
|||||||||||||||||||||||
элемепт |
V |
и |
гк |
— любые g.положительные числа. |
Окрест |
||||||||||||||||||||
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— это любое |
множество, |
содер |
||||||||||
жащее шар с центром в |
|
Семейство |
|
всех окрестностей |
|||||||||||||||||||||
в |
|
|
называетсяWслабой топологией в |
|
|
мы будем опу |
|||||||||||||||||||
скатьWприлагательное, |
|
«слабый», поскольку никакая дру |
|||||||||||||||||||||||
гая топология в |
|
рассматриваться не будет. |
Простран |
||||||||||||||||||||||
ство |
|
|
|
снабженное такой топологией, |
становится муль- |
||||||||||||||||||||
тинормированиым, |
но |
|
не |
|
обязательно |
|
счетно-мультинор- |
||||||||||||||||||
мированным, |
1что6 1и показано на рис. 1.6.1. Поэтому |
V |
— |
||||||||||||||||||||||
линейное |
пространство с секвенциальной |
^-сходимостью |
|||||||||||||||||||||||
(см. |
задачу |
. |
. ). |
|
|
слабо сходящейся |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Последовательность в |
V ' , |
сходящуюся в этой тополо |
||||||||||||||||||||||
гии, |
обычно называют |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
мы будем называть |
||||||||||||||
ее просто |
сходящейся. |
Согласно лемме 1.6.1 |
последователь |
||||||||||||||||||||||
ностьФ |
{/„Küi |
элементов |
V ' |
сходится тогда и только тогда, |
|||||||||||||||||||||
когда |
|
существует |
такой элемент / |
ЕЕ V " , |
что |
|
для всех |
||||||||||||||||||
|
е |
V* |
|
</ѵ —/, |
ф> -»-0 при V |
|
оо. В этом случае предел / |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
единствен. Аналогичное утверждение можно сделать от
носительно |
направленных |
множеств |
|
{/ѵ}ѵ-а |
и |
рядов |
||||||||
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V " |
|
|
|
|
У /ѵ. Последовательность {/vKLi элементов |
является |
|||||||||||||
ѵ=1 |
последовательностью Коши |
|
V " |
|
|
|
|
|
||||||
(слабой) |
в |
тогда |
и только0 |
|||||||||||
|
|
ЕЕ V |
|
|
|
|
||||||||
тогда, когда для всех ф |
|
при стремлении ѵ и р к бес |
||||||||||||
конечности |
независимо друг |
от друга |
</ѵ — Ді, |
ф> ->■ . |
||||||||||
Как и раньше, пространство |
V ' |
называется |
полным |
(точ |
||||||||||
|
|
|
|
нее, нужно было бы сказать «секвенциально полным»),
если в нем сходится |
|
любая последовательность Коши. |
||||||||||||
Т е о р е м а |
1.8.3. |
Если V |
— |
полное счетно-мульти |
||||||||||
нормированное |
пространство |
то |
|
сопряженное к |
нему |
|||||||||
пространство |
также полно. |
, |
Пусть |
|
{/ѵ} — последова |
|||||||||
1 Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
|
||||||||||||
тельность Коши в |
V ' . |
Из полноты комплексной плоскости |
||||||||||||
fë следует, что для любого <р E |
f |
|
существует единствен |
|||||||||||
ное число, которое мы обозначим через </, |
ф>, такое, что |
|||||||||||||
П т </„, ф> = </, ф>. |
Когда |
ф пробегает |
W', |
эти пределы |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
V—*со |
|
|
|
|
|
|
|
V 1. |
|
|
|
|
|
|
</, ф) определяют функционал / на |
Легко видеть, что |
|||||||||||||
из линейности |
всех /ѵ вытекает линейность /. Для |
завер |
||||||||||||
шения доказательства мы покажем, |
что |
функционал / |
||||||||||||
непрерывен в начале координат пространства |
V . |
|
||||||||||||
Допустим противное; именно, пусть существует после |
||||||||||||||
довательность, |
сходящаяся в |
Ѵ" |
к нулю и такая, что соот |
|||||||||||
ветствующая последовательность |
значений |
|
функционала |
37
не сходится. Мы можем выбрать из указанной последова
тельности в V такую подпоследовательность {срѵ}^=і, для которой
I </, фѵ> I > С > 0 , V - 1 , 2 , 3 , . . . , |
(3) |
где С — некоторое фиксированное положительное число и
через {YjJSLi |
Ук (фѵ) < 4-ѵ, |
|
к = |
|
1, . . ., |
V; |
|
|
|
(4) |
|||||||||
— обозначена мультинорма |
на V". Положим |
||||||||||||||||||
фѵ = 2ѵфѵ. |
Из |
|
(4) |
и |
леммы |
1.6.1 |
следует, |
что |
{фѵ} ^ і |
||||||||||
сходится |
в |
Ѵ' |
к |
нулю, |
а |
числовая |
последовательность |
||||||||||||
{ I < /, фѵ> I |
} в силу |
(3) расходится. |
|
Выберем далее под |
|||||||||||||||
последовательность |
{ф'ѵ}“ |
і |
из |
{фѵ}ѵ=і |
|
и |
подпоследова |
||||||||||||
тельность {/ѵ}^=і из последовательности Коши |
{/ч}7=і |
||||||||||||||||||
следующим образом. |
|
|
что | </, ф^> | |
Д> 1. |
|
|
f[ |
||||||||||||
Сначала выберем фі так, |
Поскольку |
||||||||||||||||||
для любого ф |
|
е У |
|
</ѵ, |
ф1> ->-</, Ф> |
при |
Ѵ -ѵОО , |
то |
|
||||||||||
можио выбрать |
таким, что | |
</і, |
фі) |
| |
|
1. |
Затем, |
пред |
|||||||||||
полагая, что первые ѵ — |
|
элементов этой подпоследова |
|||||||||||||||||
тельности |
выбраны, возьмем в качестве фѵ элемент после |
||||||||||||||||||
довательности {фѵ} с индексом, |
большим чем у элементов |
||||||||||||||||||
фі, . . .,ф ѵ -Kі, |
/иJ , |
для которого |
7 |
= |
1 , |
• • . , V — |
1, |
|
|
||||||||||
И |
|
|
|
Ф ;і>< |
2/~ѵ, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
ѵ -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
I </, *Фѵ>I > |
2 |
|
к/. Чѵ>| + ѵ. |
|
|
|
(6) |
|||||||||
Это можпо сделать, так как для любого |
0фиксированного /] |
||||||||||||||||||
</;■ , фѵ'> |
0 |
при |
V |
о о . |
|
Условию |
6 |
также |
можпо |
||||||||||
|
( |
) |
|||||||||||||||||
удовлетворить, |
|
поскольку6 | |
</, фѵ> I |
|
|
|
при |
ѵ —»- |
о о . |
оо. |
|||||||||
Для любого ф е У |
имеем </ѵ, ф> -> |
</, ф> при ѵ |
1 |
||||||||||||||||
На основании формулы ( ) |
в качестве Д можио выбрать |
||||||||||||||||||
такой элемент |
из {/ѵ} |
с индексом, |
большим, |
чем у / , . . . |
|||||||||||||||
. . ., /ѵ-ь |
для |
которого |
ѵ-1 |
I </v, aly> I |
|
V- |
|
|
|
(7) |
|||||||||
|
|
I </ѵ, Фѵ> I > |
2 |
|
-I- |
|
|
|
|||||||||||
Теперь, когда |
{ф{,} |
и |
{/{,} |
И=1 |
|
|
рассмотрим ряд |
|
|||||||||||
выбраны, |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ф = |
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
|||
|
|
|
|
|
|
V—) ф ѵ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38