простые действительные полюсы, расположенные в точ ках вида — 7??.р, где т — неотрицательное целое число. Справедливо п более общее утверждение, а именно; если в X (t) входят только действительные экспоненты, то F n (s) может иметь только действительные полюсы. Если же мы позволим X (t) содержать затухающие синусоидальные экспоненты, то окажется, что Fn (s) может иметь как дей ствительные, так и комплексные полюсы.
З а д а ч а 9.10.1. Показать, что двустороннее пребрааованпе Лапласа выражения (3) есть рациональная функция, имеющая нуль при s = оо и только один полюс кратности /V + 1 + а/2, расположенный в точке s — — 1/2. Как и раньше, порядок а обоб
щенных функции Лагерра фп считается равным неотрицательному четному целому числу.
9.11. Применение преобразования Лежандра: внутренняя задача Дирихле для единичной сферы
J Іреобразоваппе Лежандра может быть использовано для решения следующей внутренней задачи Дирихле для единичной сферы. Выберем сферическую систему коор динат
{(г, Ѳ, а) : О ^ г < 1 , О ^ 0 ^ л , О ^ о с < 2л}
и предположим, что искомая функция ѵ не зависит от коор динаты а (т. е. V — V (г, 0)). Полагая р — cos Ö, мы можем переписать уравнение Лапласа в виде
rD\ rv - f Dp |
(1 — р2) Dy.v = |
0, |
(1) |
V = V ( г , arccos р), |
0 < ; г < 1, — 1 |
< |
р < 1 . |
Далее, потребуем, чтобы функция ѵ (?■ , 0) оставалась огра ниченной в некоторой окрестности начала координат г = 0. Пусть, наконец, Л ' — пространство обобщенных функций, соответствующее системе 4а (см. п. 9.8) для пре образования Лежандра, и / (р) £Е Л '. Наложим гранич ное условие
V (г, arccos р) |
/ (р) в Л ' при 7- |
1 — 0 . |
(2) |
Чтобы формально получить решение, мы сначала приме ним преобразование Лежандра 11 по р к дифференциаль
ному уравнению (1). Переставляя операции U и г D\ и полагая
V — V (г, //) = U V (г, arccos р), п = 0, 1, 2, . . .,
