til, т. II, а также Боас и Поллард [1], Мак-Роберт [і|, Титчмарш 121, Ватсон [1], гл. 18.
5а. Первая форма'.
|
|
|
I = |
(0, 1), |
|
р ;> — V2, |
|
|
31 = Sp = ~\f2x J p (y[JL>nx ) |
n |
|
|
|
x~v~i‘tD xzv'*1Dx~V"'n, |
1, 2, 3, . . ., |
где |
J\i |
Фп (я) = |
■ Дч-l 0/p, n) |
|
|
= |
|
— функция |
Бесселя |
первого |
рода и порядка р, |
а через г/р,п обозначены все положительные корни урав нения /р (у) = 0, причем 0 < y p ,t < у р ,2 <Ур,з < • • •!
К— Уѵ-м-
Вэтом случае разложение (2) называется рядом Фурье — Бесселя порядка р для функции и /.
ЪЬ. Вторая форма:
I = (0, 1),
31= |
S,x — аг'.А-'.Ф х - ^ хО х ^ ' - , |
р > |
— 1/г, |
Фп (Х) |
= ~)/ / ,х (Zp, „ х ) , и = |
1 , 2 , |
3 , . . |
где через zp,n обозначены все положительные корпи урав нения
|
|
|
|
f |
|
а/p (г) |
= |
0, |
(3) |
причем 0 < |
2 |
z j2 (z) -I- |
р,г < (х,о < ; zp,3 |
<С • • |
• |
Здесь а — любое фик |
сированное |
действительное |
число, |
и |
2 |
(г) = і) г/р ( ). |
Кроме того, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К = |
t / p ’ (zp,n)P |
-I- |
(1 |
— p 2Zp?„) [ / р |
(Zp,n)]. |
Наконец, |
|
п |
— |
2 |
|
рядом Дани порядка |
|
для функции |
Я |
zP,n- |
|
|
При этом разложение (2) называется |
|
|
р |
5с. |
|
I |
/.= (а,: Ь), |
0 < а < 6 |
< о а , |
|
|
|
Третья форма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь р — любое действительное число. Далее,
/ЯД?
2^ 1* (гіѴ, пх) Кр (м;р,пЬ) — Кр (wp, „х) J р (гср, пЬ),
где Ур — функция Бесселя второго рода и порядка р,
а через иу)П обозначены все положительные корни урав нения
/ц (aw) |
|
(bw) |
— У|л (aw) /ц (bw) -- О, |
причем U < иу,і < |
к-у)2 |
< |
ку,3 ■ < . . . . Кроме того, |
Ьп |
— My, n I і |
гJ^ Ѵ п Ь ) Т] 2) |
|
|
|
|
\±(w\x,na) |
Наконец,
—НУ.П'
За д а ч а 9.8.1. Используя первую форму конечного преоб разования Фурье, найти в соответствующем пространстве Уі' все ре шения следующих, дифференциальных уравнений:
a) (D* + 2 D |
+ |
1) и (а.-) |
|
= D& (х), |
- |
я < аг < |
я; |
|
|
b) (D- + 4) и (л) = е1Х, |
|
|
|
|
— я < X < я. |
|
|
З а д а ч а |
|
9.8.2. |
Используя |
преобразование Лагерра при |
а = 0, решить дифференциальное уравнение |
|
|
|
|
где 0 < z < o o , |
|
а — комплексное |
|
число, |
причем |
Не а > |
0. |
Указание: |
см. |
задачу |
3.4.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З а д а ч а |
9.8.3. Установить для преобразования Эрмита сле |
дующие |
формулы |
преобразования |
|
операций; |
здесь |
/ £Е |
(/), |
F (n ) = U [/(*)], |
F |
( - |
1) |
= |
0._____ |
|
|
|
|
|
____ |
|
|
a) |
U [*/ |
(*)] = |
Y |
|
|
|
|
F(n |
- f l ) + |
у |
Г-%-F ( n - 1); |
b) |
UU [e~x"Wex^[/>/(*)] = ] ](rc)]/ ^ =4 |
— F[n + i ) - Y ' Jr |
F (*-l)\ |
c) |
Y 2n + |
2 F (n + |
1); |
|
|
|
d) |
U lex2/’-De~x2/tf (аг)] = |
— V |
Tn F (и — 1). |
|
|
|
Указание: |
использовать формулы |
2 |
|
|
= |
0, |
|
|
|
|
|
Я п+1 (*) - |
2 |
х Н п (X) |
+ |
п Н , ^ (X) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D H n (X) = |
2яЯ n-1 (*), |
Н _ х {X) = |
0. |
|
|
(Бейтмен |
и |
Эрдейи, т. |
1Г, |
|
формулы 10.13 (10) |
и 10.13 |
(14)). (Отно |
сительно других результатов этого типа для обычного преобразова ния Эрмита см. Добнат [2].)
З а д а ч а |
9.8.4. Рассмотреть |
дифференциальное |
уравнение |
|
(91 -f- <г) ц = б, |
(4) |
де о 6 rS~1, в |
терминах системы, |
соответствующей преобразова |
нию Эрмита. Для каких значений а справедливо каждое из следую щих утверждений?
a) (4) не имеет решений в УІ'\
b) (4) имеет единственное решение в У&'\ c) (4) имеет более чем одно решение в У і':
Найти все решения в У і', если они существуют.
З а д а ч а 9.8.5. Пусть / е й ' (/), где I = (— 1, 1). Устано вить для преобразования Якоби формулу преобразования операции, соответствующую отображению
/ (ж) і->- [ш |
(Ж2 — 1) [ш (ж)]1'2/ (ж), |
используя тождества (Эрдейн [1], |
т. II, формулы 10.8 (11) и 10.8(15)): |
Т (Т -I- 1) (Т + 2) х Р {«' ß> (*) = |
(ß2 - |
а-) (у + 1) |
W (ж) -|- |
+ 2Т (я + 1) (Т - я + 1) Р & W (ж) + 2 (л + а) (л + ß) (Т + 2) Р<£ М (ж), |
7 (1 - *a) DP%< р) (ж) = п (а - |
ß - |
ух) Р%> р>(х) + |
|
|
|
+ 2 ( л + о ) (л + ß) Р < £ »(*), |
где т = 2л + а + ß и |
(ж) = 0. Написать эту формулу в част |
ных случаях, а именно для преобразований Лежандра, Чебышева и Гегенбауэра.
(Ряд других свойств соответствующих обычных преобразований
|
|
|
|
|
|
|
можно найти в следующей литературе. |
Относительно преобразова |
ния Лежандра |
см. Черчилл [3], |
Черчилл и Долф [1], |
Трантер [1]. |
Относительно преобразования Гегенбауэра — Конт [1], |
Лакшмана- |
рао [1], Сривастава |
[1]. Относительно |
преобразования |
Якоби — |
Дебнат [3] и Скотт |
[1].) |
|
|
|
|
З а д а ч а |
9.8.6. Показать, |
что для |
первой формы |
конечного |
преобразования Ганкеля |
1, р > |
- Vs, я = 1, 2, |
3, . . . |
U (ж^1/») = |
V 2/і/(Хі п, 0 < ж < |
Отсюда, согласно операционному исчислению, построенному в п. 9,7
вытекает, |
что |
|
|
|
|
U ( V |
1+,/’) = - ^ 2 l / 1Ml. |
(5) |
Но |
в смысле обычного |
дифференцирования |
5|іж'А+1,г = 0 при |
0 < |
X < |
1. Таким образом, этот результат, казалось бы, нарушает |
единственность конечного преобразования Ганкеля (теорема 9.5.2). Объяснить это противоречие и показать, вычислив левую часть формулы (5), что эта формула верна.
З а д а ч а 9.8.7. Используя первую форму конечного преобра зования Ганкеля, где на р, налагается условие — 1/2 < р. < 1, най ти решение и следующего дифференциального уравнения:
(Sji + Sp + 2) и (ж) = x ' t ^ , 0 < ж < 1.
Единственно ли это решение в соответствующем пространстве?
9.9. Применение конечного преобразования Фурье: задача Дирихле для иолубесконечного канала
Оставшаяся часть этой главы посвящена приложениям некоторых из преобразований, перечисленных в преды дущем пункте. Прежде всего мы применим конечное пре образование Фурье к решению внутренней задачи Дирихле
|
для полубесконечного |
канала R в |
(х , |
г/)-шіоскости. |
|
Пусть, например, |
|
0 < у |
< |
оо). |
|
R = {(x,ij): 0 |
С х С п , |
|
|
|
|
Мы желаем найти обычную функцию и = и (х, у), удов летворяющую в R уравнению Лапласа
и |
|
D iu + |
D iu |
= 0, |
|
|
(х, у) ЕЕ R , |
|
|
D |
\ = - ^ , |
(1) |
следующим |
граничнымЛ '. |
условиямЛ ' |
. |
|
(х) ЕЕ Л ' |
|
|
|
1) |
Если |
у |
— + |
0, |
|
то |
|
и (х, у) |
|
/ |
в |
смысле |
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
сходимости |
|
Здесь |
|
обозначает пространство |
обобщенныхX функций, |
|
соответствующее |
системе 1с (см. |
п. |
9.8). |
|
|
|
|
Y |
X |
у |
|
|
|
|
и (х, у) |
Y . |
|
|
2) |
Если |
у ->• + |
0 или |
—>- л — 0, то |
равномер |
но сходится к нулю на |
|
|
|
< оа при любом |
|
|
|
3) |
Если |
—>- оо, то |
и (х, у) |
равномерно сходится к нулю |
на |
0 |
С х С |
я . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как обычно, мы сначала получим решение формально, а затем докажем, что оно действительно удовлетворяет уравнению. В силу граничных условий 1) и 2) мы должны выбрать третью форму конечного преобразования Фурье;
отметим, что |
соответствующие собственные |
функции |
} / ~ sin |
пу |
удовлетворяют граничному |
условию 2). |
Положим |
|
|
1, 2, |
3, . . . |
U (п, у ) = ( и (.г, у), У -^-sinn-T^, п = |
Тогда можно формально преобразовать дифференциальное
уравнение к виду |
n2) |
U |
( |
п |
, |
у) |
= |
0. |
|
(D l - |
|
Следовательно, |
|
|
+ |
(2) |
|
|
|
|
|
R (гг) еп\ |
U (п, у) — А п) е~пу |
|
( |
|
|
|
|
|
|
где А (п) и R (п) не зависят от у. Для выполнения гранич ного условия 3) нужно положить R (п) = 0. Далее, ис пользуя свойства преобразования граничного условия 1), мы получаем, что
<4 |
(гг) = |
lim |
U (гг, у) |
= |
(/(<), |
л |
nt) |
Д |
F(n). |
|
|
' |
/ -^-sin |
|
|
|
|
и—fo |
|
|
' |
|
л |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом,
U (п, у) = F (п) е~пу.
Применяя обратное преобразование, мы приходим к воз можному решению
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и (х, у) = |
у у — |
00 |
F(n)e-*v sin пх, |
|
(3) |
где |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
___ |
|
|
|
|
|
|
F |
(и) = |
|
|
П=1 |
n t) |
. |
|
(4) |
|
Докажем7 |
|
(/ (г), ] |
/ |
" sin |
|
|
|
Хп |
теперь, чтоF |
(3) |
действительно является реше |
нием. ПреждеF всего |
в |
силу |
теоремы |
9.6.1 и формулы |
77 |
= — |
t2 |
функция |
|
(7і) — медленно |
|
растущая |
q |
при |
71-7-00 |
(т. е. |
(п) — О |
nq) |
для некоторого целого |
при |
|
|
|
( |
|
-»- оо). Поэтому мпожитель |
е~пу |
обеспечивает равномер |
ную сходимость ряда (3) в любой полуплоскости |
|
вида |
У < т / < ;о о , |
где |
Y |
0 (в |
|
х |
х, г/)-плоскостиу ). Это утвер |
|
|
( |
ждение останется верным и после того, как мы продиффе |
ренцируем ряд (3) почленно по |
|
или |
сколько угодно раз. |
Поэтому можно применить оператор D% + Dy под знаком суммы в (3). Поскольку функция e~nv sin пх удовлетворяет уравнению Лапласа, то ему удовлетворяет и функция и. Таким образом, функция и удовлетворяет дифференци альному уравнению (1) в обычном смысле всюду в і?. .
Чтобы проверить граничное условие 1), мы должны показать, что для любого элемента
|
(и (.г, |
у), |
ер (х)) ->-(/, ф),у |
у |
+ 0. |
|
(5) |
в |
АДля любого |
фиксированного |
9.3.3, |
0 ряд (3) |
сходится |
и поэтому, |
согласно лемме |
сходится |
в L 2 (/). |
Следовательно, |
мы |
можем |
почленно |
вычислить |
его |
ска |
лярное произведение с ф и написать |
|
|
|
|
(и (х, у), Ф И ) = |
____ _ |
оо |
(п) e~n'J (sin пх’ Ф (*))■ |
(6) |
|
] / 4 ' |
S F |
|
|
|
|
71=1 |
|
|
|
|
|
Но в силу лемм 9.3.2 и 9.3.3 функция (sin пх, ф (х)) быстро убывает; это означает, что при п —т- оо
I (sin пх, ф (х) I = о (n~q)
для любого целого д. Отсюда вытекает равномерная схо димость ряда в (6) на О у < ° ° , так что мы можем
