и
І А Ы Г Ч ^ . |
» = 1 , 2 , 3 _______ |
где К — некоторая постоянная (см. Янке, Эмдѳ и Леш [1]). Кроме того, из соотношения (5) и теорем 9.5.1 и 9.6.1 следует, что G (п) — О (пр) при п —> оо для некоторого целого числа р , тогда как е~упг = О (e~nnZ) равномерно на Z z < оо при любом фиксированном Z > 0. Заметим, наконец, что
D rJ О(УпГ) = —IJnJl (УпГ),
D p -Ji (УпГ) = УпГJo (УпГ).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а функции |
J |
о (г/„г) и |
J x (упг) |
равномерно ограничены |
на |
0 < г < |
1, |
|
» = |
1, 2, |
3, . . . В силу |
всего сказанного |
ряд (4) |
равномерно сходится при 0 < г |
< 1 , |
Z ^ |
z с |
оо |
Z |
0). |
Это утверждение останется верным и после при |
менения |
любого |
из |
операторов |
D , r ~ |
D ,rD rr~'^, |
D ., |
D i |
|
|
|
|
|
в формуле (4) под знаком суммирования. Таким образом,
можно применить оператор |
S |
0, + |
D i |
к (4) почленно, |
|
|
после чего все слагаемые обращаются в нуль. Поэтому мы можем заключить, что функция (4) удовлетворяет диф ференциальному уравнению (1) в обычном смысле.
Установленная равномерная сходимость ряда (4) по зволяет нам перейти к пределу под знаком суммирования при z со, г -> 1 — 0 или г —► -{-0; в действительности это можно сделать даже для ряда, состоящего из абсолют ных величин членов ряда (4). Отсюда непосредственно
следует выполнимость |
граничных |
условий |
1), |
3) |
и |
4) |
соответственно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л , |
Наконец, в силу леммы 9.3.3 и наших предыдущих |
рассуждений |
правая часть |
равенства (4) сходится |
в |
|
а поэтому |
и |
в |
Ь 2 {1), |
при |
всех |
фиксированных |
z |
> |
0. |
Мы можем, |
следовательно, |
вычислить скалярное |
произ |
ведение |
и |
(г, |
z) |
с любой функцией |
ср (г) 6Е |
Л |
почленно |
и |
получить |
формулу |
со |
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
е~Ѵп\(Фп, ф). |
|
|
■ |
(6) |
|
(и {г, z), ф (г))= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
П=і . . . |
|
|
|
|
|
Но функция G (и) имеет медленный рост, в то время как (Фш ф) быстро убывает при п -> оо. Поэтому ряд в (6) сходится равномерно на 0. z <Со°, и мы можем перейти
к пределу под знаком суммирования при z -> -|-0; тогда
со
{и(г, Z), Ф (г)) - » 2 G («) (Фи. Ф) = (g. ф)-
7Ѵ=1
Таким образом, граничное условие 1) выполнено. Этим завершается проверка того, что (4) действительно является
решениемв конечной. области вида |
|
дифференциальное уравнение |
(!) |
|
|
З а д а ч а |
9.12.1. |
|
Решить |
|
|
|
|
{(г,*): |
0 < |
г < 1, |
0 < |
z < |
с> |
|
|
|
прп |
следующих граничных условиях: |
|
|
|
|
|
|
|
1) |
если z —> + 0 , то |
и (г, z) |
сходится в cé ' к |
(г) е |
|
|
|
2) |
если z —» с — 0, |
то и (г, |
z) сходится в J k ' |
к g2 (г) е |
|
|
3) |
если г —* 1 — 0, |
то и (г, |
z) сходится к нулю равномерно на |
|
< |
z < Zn, если 0 < |
Z x < |
Zn < с; |
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
если г —» + |
0, то и (г, z) = О ( V г ) равномерно на Z x < z < |
< |
Zn, |
если 0 < |
Zj < Z2 < с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь j b ' обозначает то же самое постранство обобщенных функ |
ций, |
что п ранее в этом пункте. Проверьте полученный ответ. |
|
|
|
З а д а ч а |
9.12.2. |
Получить формально |
решение следующей |
задачи. Пусть Я обозначает область, заключенную |
между двумя |
полубесконечнымп концентрическими цилиндрами с |
радиусами а |
и 6; в цилиндрических координатах эта область имеет вид |
|
Я |
= {(г , Ѳ, z):a < |
г < 6, 0 < |
а < |
Ь < |
оо, |
0 < |
0 < |
2л, |
0 < z < |
оо). |
Найти обычную функцию и = |
и (г, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z), которая не зависит от 0 и |
удовлетворяет в области Я дифференциальному уравнению (1). |
Пусть |
— пространство обобщенных функций, соответствующее |
системе 5с для третьей формы конечного преобразования Ганкеля, |
где |х = 0. Мы предполагаем, что функция и удовлетворяет следую |
щим граничным условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
если z —* + 0, то и (г, |
z) |
сходится в c é ' к j |
(г) Е |
|
а |
|
2) |
если z —» со, то |
|
и (г, |
z) |
равномерно |
сходится к нулю |
на |
< |
г |
< 6; |
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
если г —* Ъ — 0 или г —» а + |
0, то и (г, z) равномерно схо |
дится к нулю на Z ^ z < |
|
прп Z > |
0. |
|
|
|
|
|
9.13. |
Применение второй формы |
|
|
|
|
|
конечного преобразования Ганкеля: |
тепловой поток |
|
вбесконечном цилиндре с условием излучения
Вэтом пункте мы решим уравнение теплопроводности, записанное в цилиндрических координатах, для области, имеющей вид бесконечно длинного цилиндра единичного радиуса. Мы будем искать обычную функцию ѵ, которая зависит от радиальной переменной г и времени f, но не зависит от Ѳ или z, и удовлетворяет дифференциальному
уравнению
D ;v |
-f r_1Z)ri; = |
D tv, |
c t |
V — |
v{r, |
z), |
(l) |
|
0 |
C r |
< 1 , |
0 |
< |
oo. |
|
|
|
|
|
|
|
В качестве начального условия мы потребуем, чтобы при t —' -|-0 функция V (г, t) сходилась в некотором смысле к обобщенной функции / (г); в качестве граничного усло вия мы потребуем, чтобы при любом фиксированном ' > 0
lim [D Tv + au] = 0, |
(2) |
1-»1—о |
|
где а — действительная положительная постоянная. Если V обозначает температуру внутри цилиндра, то условие (2) соответствует излучению тепла поверхностью цилиндра.
Для решения этой задачи можно использовать вторую форму конечного преобразования Ганкеля нулевого по
рядка;^ при этом мы прежде всего положим и = )f r v ,
|
|
|
|
|
|
b = V r U |
а постоянную а, входящую в соотношение (2), |
будем считать равной |
а, |
входящей в форму |
Лпостоянной' |
лу (3) п. 9.8. Мы будем также предполагать, что |
g |
принад |
лежит пространству |
обобщенных |
функций, |
|
соответ |
ствующему системе 56 (см. п. 9.8). Дифференциальное
уравнение принимает теперь вид |
|
|
|
|
S 0tru = D tu, |
u = |
u{r, t ) , |
|
0 |
< r |
< 1 , |
0 < г < |
оо, (3) |
а начальноеи |
|
|
|
|
|
|
|
условие переходит в |
|
t |
|
|
|
(г, |
t) |
-» |
g |
(г ) |
в |
Л ' |
при |
->• + 0 . |
(4) |
Граничное условие |
превращается в |
|
|
|
|
lim |
[D ru |
+ |
(а — г/2) и] |
= |
0. |
(5) |
|
г->1—О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом подразумевается, что t имеет любое фиксирован ное положительное значение, и предел на 0 < ; t <[ оо по нимается в поточечном смысле.
Пусть теперь U обозначает преобразование, соответ ствующее системе 5Ъ (п. 9.8); положим
U (п, t) = U и (г, t), п — 1, 2, 3, . . .
Оператор U преобразует дифференциальное уравнение (3) к виду
—&.U (п, t) = D tU (re, <), 0 < t < оо, |
(6) |
где z„ — взятые в возрастающем порядке положительные
корни уравнения
zDJ0{z) - f a J ü (z) = 0. |
(7) |
Решив уравнение (6) и использовав преобразованное на чальное условие, мы получаем
о
U {п, t) = G (/j)e~'n\
где
G (п) = (g, 'ф,,).
Обратное преобразование дает следующее формальное ре шение:
ос
u(r,t) = 2 < ? ( п ) е " * Ч п ( г ) , |
(8) |
71=1 |
|
|
где |
|
|
Ч\і(г) = |
J o M |
|
и |
|
|
К = [Л (z„)l2-f |
[ J о (zn)]2- |
|
Ф ункция (8) является обычной функцией, удовлетворяю щей дифференциальному уравнению (3) в обычном смысле, а также условиям (4) н (5). Это можно показать, исполь зовав, как и в предыдущем пункте, следующие факты. П ри п со корни z,I уравнения (7) асимптотически при
ближаются к корням уравнения D J 0 (z) |
= Л (z), |
которые |
в свою очередь ведут себя как я (п - f |
1/4)- Н ул и |
J 0 (z) u |
Ji (z) никогда не совпадают, а hn ведет себя при п ■- оо,
как 2/лг„ (см. Янке, Эмде и Леш [1]). Отсюда следует, что
1/hn = О (п) при п —>оо.
З а д а ч а 9.13.1. Доказать, что (8) является обычной функци ей, удовлетворяющей уравнению (3) в обычном смысле. Показать,
что условия (4) и (5) выполняются.
З а д а ч а 9.13.2. Сформулировать и решить задачу, аналогич ную описанной в первом абзаце настоящего пункта, в случае, когда радиус цилиндра равен R =j=. 1, а левая часть уравнения (1)
умножена на действительную положительную постоянную х, пред ставляющую собой температуропроводность вещества цилиндра.
