перейти к пределу при у —у- + 0 под знаком суммирования н получить
іи (х, у), cp (X)) -» |
|
2 F |
(ll) (sin пх, |
ф (ж)). |
(7) |
Поскольку |
/ GE |
Л ', |
правая |
П=1 |
равна |
(/, |
ф) (см. |
фор |
|
часть |
мулу (2) п. |
9.5). Этим соотношение (5) |
доказано. |
(Y |
|
Наконец, из (3) мы получаем при |
Y |
^ |
у |
< |
оо |
0), |
что |
|
|
__ |
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
I и {х, у) I < |
] / " - | - |
S |
I Р in) I e-nY I s iu nx \. |
|
(8) |
|
|
|
|
n—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу наших предыдущих замечаний ряд в этой формуле сходится равномерно на — оо < ; оо. Поэтому мы можем перейти в (8) к пределу при і - > + 0 и і - » - я — 0 под знаком суммирования и убедиться в выполнении граничного условия 2). По той же самой причине
\піх, Й К / т - 2 |^(п)|в“п»-> 0, у - > о о,
п=і
откуда вытекает справедливость граничного условия 3).
З а д а ч а 9.9.1. Установить, почему решеппе (3) не единст венно .
З а д а ч а 9.9.2. Решить уравнение Лапласа
|
|
(D l + |
Ф < у) = 0 |
|
|
|
в прямоугольной области |
|
|
|
|
|
R = {(ж, у)- 0 < X < а, 0 < у < Ь} |
|
со следующими граничными условиями: |
|
|
|
1) |
если у —>+ |
0, то и (х, у) |
сходится в Sj ' |
(/) к Д (х) GE с£' |
(1), |
где I = (0, а), |
|
|
|
|
|
2) |
если X —* + |
0, то и (х, у ) |
сходится в S b ' |
(J ) к Д (х) 6= с£' |
(У), |
где / |
= (0, Ь); |
|
|
|
|
|
3) |
если у —>Ь — 0, то и (х, у) сходится в 3)' (I) к /3 (х) 6Е CS'(I)', |
4) |
если X —* а — 0, то и (х,у) |
сходится в 3)' |
(J) |
к Д (х) 6Е с£' |
(J). |
Указание. Решить сначала |
эту задачу при |
Д = / з = Д = |
0. |
Затем |
после подходящей нормировки переменных х и у выбрать |
А (п) |
и В (п) в формуле (2) так, чтобы U (п, |
Ь) |
= 0 для всех п. |
Повторить эту процедуру для каждой из трех остальных сторон Я . Затем использовать следующий принцип суперпозиции: решеппе, соответствующее сумме граничных условий, равно сумме решений, соответствующих каждому из граничных условий.
9.10. Применение преобразований Лагерра и Якоби: пространственно-временной синтез сигналов
Классической задачей в теории электрических цепей яв ляется так называемая «задача пространственно-времен ного синтеза». Один из ее вариантов формулируется сле
дующим(t) |
образом. |
Пусть |
имеется электрический |
сигнал, |
fописываемый |
обычной |
действительнозначной функцией |
на |
O C |
i f ^ |
00Требуется построить такую |
элект |
рическую цепь, состоящую из конечного числа действи тельных сопротивлений, емкостей и индуктивностей, ко торые фиксированы, линейны и положительны, что вы
ходная функция /іѵ (/), |
соответствующая дельта-функции |
б (<) |
на входе, |
аппроксимирует / |
(t) |
на 0 |
< |
t |
< |
оо в не |
котором |
смысле. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стандартный метод решения этой задачи состоит в раз |
ложении функции /(/) в сходящийся ряд: |
|
|
|
|
(!) |
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
где |
gn (t) — такие |
/ ( 0 = 27 1 =s0 n ( 0 , |
|
|
функции, |
действительнозначные |
|
что |
каждая частичная сумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ы 0 |
= |
N |
|
|
ІѴ = |
0, 1, 2, |
. . ., |
|
|
(2) |
|
|
|
2 £«(0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
11=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обладает следующими двумя свойствами: |
|
|
|
s |
|
|
|
(t) = |
0 на — оо <;£ < 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
1) /jv(t) |
|
|
Лапласа |
|
( ) функ |
2) двустороннее преобразование |
|
|
ции |
/jv |
s |
представляет собой рациональную |
функцию |
с нулем в |
= оо, все полюсы которой расположены в левой |
половине |
|
а- ш і о с к о с т и |
(Re |
s |
< 0), |
|
исключая, |
возможно, |
простой полюс в |
пуле |
(сформулироваипое условие |
яв |
ляется более жестким, чем это необходимо, поскольку допустимы также простые чисто мнимые полюсы, па вы четы в которых наложены некоторые ограничения).
Выбирая N в (2) достаточно большим и удовлетворяю щим используемому критерию аппроксимации, мы мо жем применить множество стандартных методов синтеза для построения нужной электрической цепи, так как функция F n ( s ) известна. Таким образом, существенная часть этой процедуры состоит в нахождении выражения (2), имеющего указанные выше свойства. Если функция
І квадратично интегрируема на 0 < І°о , то поставлен
ная задача решается с |
помощью подходящего ортоиор- |
мального разложения; |
см., |
например, |
Армстронг [1], |
Хаггинс [1J, Каутц [1], |
Ли |
[1], Лернер |
[1], Янг и Х аг |
гинс [1]. |
эту |
классическую задачу, допу |
Мы обобщим теперь |
стив, что сигнал / может быть обобщенной функцией, и бу дем искать в качестве решения такую последовательность
{/N |
|
= . каждый элемент которой является обычной дей |
(0} |
n |
|
o |
|
функцией, |
обладающей |
указанными |
ствительнозначной |
выше свойствами 1) и 2), причем /,ѵ ->- / на 0 < |
t |
< оо в не |
котором обобщенном смысле. |
|
|
|
|
Если |
/ ЕЕ |
А ' , |
причем |
Л ' |
соответствует |
|
системе 2 |
(п. 9.8), |
то решение можно найти с помощью преобразова |
ния Лагерра. Выберем порядок |
а |
для функций фп, соот |
|
ветствующих преобразованию Лагерра обобщенных функ ций, равным некоторому неотрицательному четному
числу. Обрежем затем ортонормальное разложение обоб |
щенной функции / на номере |
п = |
N |
и умножим резуль |
t |
|
тат на функцию Хевисайда 1+ ( ). Тогда |
|
(3) |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
/.V (о = и (о S (/> Фп) Фп («)• |
|
|
|
|
71— 0 |
|
|
|
|
(s) функ |
Легко показать, что преобразование Лапласа |
|
ции |
(t) |
является рациональной |
функцией, |
имеющей |
/іѵ s |
нуль |
при |
s = |
оо и один полюс кратности |
N |
+ 1 + а/2 |
|
|
в точке = — 1/2. Таким образом, свойства 1) и 2) выпол
нены. |
|
|
t |
|
А ' |
Кроме того, мы знаем, что /іѵ ( ) сходится в |
|
к / |
(t) |
при |
N |
-> оо. Поэтому последовательность элементов |
вида (3) является решением. |
преобра |
|
Другое решение можно получить, применив |
зование Якоби и сделав замену переменных. Предположим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теперь, что |
/ €Е |
(/), |
|
где / — интервалt (0, оо). Пусть |
X |
(£) — действительная непрерывная неубывающая функ |
ция, тождественно равная —1 на —оо < |
< |
оо и такая, |
что |
dx/dt |
0 на 0 |
< Ц |
< |
о о , а 1ітл;(і) = |
1. |
Далее, пусть |
|
|
/ — ► С О
преобразование Лапласа функции х (t) + 1 является ра циональной функцией, имеющей нуль на бесконечности, все полюсы которой лежат в левой половине 5-плоскости (Re s < 0 ) , исключая простой полюс в начале координат. Существует множество способов, в помощью которых мож но построить такую функцию х (t) -f 1, подходящим обра
зом выбирая точки расположения полюсов и нулей ее пре образования Лапласа (Земанян 113], [14]). Пусть t (ж) обозначает функцию, обратную функции ж (t). Делая за мену переменных в формуле для распределений на интер
вале |
О |
< it |
с ,о о |
(Земанян [1], |
стр. |
30), |
мы можем пост |
роить распределение / U (ж)]. На оси ж носитель функции |
/ U (ж)] |
является компактным |
подмножеством |
интервала |
J |
= |
(— 1, |
1); поэтому / |
[t |
(ж)] е= |
Ш' |
(/) d |
Л ' |
, где |
Л ' |
обоз |
начает |
теперь пространство |
обобщенных |
функций, |
соот |
ветствующее преобразованию tЯкоби в случае, |
когда |
а |
и |
ß — неотрицательные четные целые числа. При таком вы |
боре |
а |
и |
ß |
функции |
|
фп ( ) — полиномы. |
Разложим |
/ U (ж)] |
в |
ряд |
/ [*(*)!= |
2 |
ЯпФпОг), |
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
п=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а п = (/ |
[* (*)]» |
|
(*)) |
= |
( / (0 . |
’IV. [ * |
(01 ^ j f ) |
• |
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( t ) = |
7 |
21 = 0 |
Mv[z(0b |
t |
|
t |
|
и |
для любого |
|
0 функция |
Так как фл. — полиномы |
|
ж ( ) является конечной линейной комбинацией действи
тельных постоянных чиселt, |
и действительнозначных затуха |
ющих |
экспоненциальных |
функций, |
умноженных на |
не |
отрицательные степени |
|
|
N |
|
|
|
то функция |
|
(4) |
|
|
|
|
J n (0 = 1+ (0 |
7 |
21 = 0 |
[х (<)] |
|
удовлетворяет |
Л ' |
|
1)(t) и 2). (t)В силуЮ' |
свойства(I) NI -п*■. |
9.4 |
свойствам |
|
I |
= |
|
|
влечет сходимость в 25' (/). Отсюда не |
сходимость в |
|
медленно следует, что /л |
|
|
-ѵ / |
в |
при |
oo, |
где |
|
|
(0, oo). Таким |
|
образом, |
последовательность |
{/jv}, где /іѵ задано выражением (4), также дает решение нашей задачи.
Отметим, что если мы возьмем
ж (t) — 1 — 2е~р1, 0 < £ < ° ° і
где р — действительное положительное число, то преобра
зование Лапласа |
s |
(() |
будет иметь только |
( ) функции |
|
