и 6(р) (.г) для действительных значений ß, целых р и раз
личных хт, он получил асимптотику преобразования
м
Фурье 2 / т в виде асимптотики линейной комбинации
|
|
Т 7 1 = 0 |
|
преобразований Фурье. |
|
|
|
|
соответствующих |
|
|
|
|
|
Аналогичное определение было использовано Джоун |
сом |
[2], |
который |
рассмотрел также асимптотические |
свойства |
gвыражения f / |
(x)eig(x) 1 dx |
при |
t -f-оо |
для не |
|
|
|
|
(х) |
|
которого |
класса |
обобщенных |
функций |
/ |
и обычных |
функций |
(х) |
при условии существования этого выраже |
ния. |
Кроме |
того, |
Джоунс |
получил(х |
асимптотическое |
разложение |
обобщенной(х функции J |
— |
x 0)l~“ |
ln (.г — |
п |
|
— |
*о)+еіл:,ф (x)dx |
при |
|
О |
), |
< |
1, целом |
п |
и |
раз диффе |
ренцируемой функции |
ер |
имеющей необходимую ско |
рость убывания при |
I |
а; |
| —» |
оо. |
Тем же самым определе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нием пользовался Лавуан 13] при исследовании асимпто тического поведения преобразования Лапласа обобщенных функций степенного и логарифмического типов.
Мангад [41, приняв определение Лайтхилла, рассмот рел асимптотическое поведение обобщенных функций с конечным числом особых точек в случае нескольких переменных.
Земанян в статье об абелевых теоремах для некоторых интегральных преобразований обобщенных функций [5]
пользовался |
фактически |
тем же |
|
самым |
|
определением |
асимптотики |
обобщенной |
функции. |
|
|
|
|
С |
|
Отметим также определение, которое дал Лоясевич [6] |
для значения обобщенной функции в точке: |
числоф |
|
наЕЕ |
зываетсяЬзначением обобщенной функции / |
(из 25' (а, |
Ь)) |
в точке |
х 0, |
|
если для |
любой |
основной функции |
(х) |
|
£Е 25 (а, |
) |
справедливо соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
Еlim- - 0 |
(/ |
(х0 + |
ех), |
ф |
(х)) |
= |
С |
J\ ф(z) |
dx. |
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведем, наконец, определение убывания обобщенной
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции |
на |
бесконечности, данное |
Шварцем |
[7]: |
|
|
пусть |
xh |
— сдвиг |
обобщенной функции |
Т е 25' |
на |
число |
h; |
обобщенная функция |
Т |
стремится к нулю на бес |
конечности, |
если |
xhT |
|
сходится' |
к нулю' |
в |
25' |
при | |
h \ |
-» |
оо, |
т. е. если |
(Т ($ |
4- |
h), ф) |
-» 0 |
|
при |
| /і | |
—> оо |
для |
всех |
|
|
|
|
Ф (х) е 25;
Асимптотические формулы с обобщенными функциями, зависящими от параметра, существенно используются в математической физике (см., папример, Широков [8], а также Брычков и Широков [9]); в этих работах введены элементы излагаемой ниже теории).
2. Определение и некоторые свойства асимптотических разложений обобщенных функций
В этом пункте мы сформулируем общее определение асимп тотического разложения обобщенной функции, завися щей от параметра. Однако прежде всего отметим следую щий факт. Пусть функции и (/), ип (/), га = 1, 2, . . . , определены в окрестности точки t0 действительной оси.
Асимптотическим разложением функции и (L) при t —* t0
называют обычно выражение
|
N U ( 0 ~ 2 U«(0. |
|
если для всех |
|
при |
t |
n=l |
|
|
-* |
t0 |
|
и |
|
JV |
»П (0 = |
О («ЛГ (<)). |
т. е. |
|
(<) — п2= I |
|
|
“ (О — |
72 “n(о |
*0 |
|
|
|
|
|
1 = 1 |
|
|
|
|
“jv (О |
при t —» <0. Таким образом, предполагается, что функции ип (і) не обращаются в пуль в некоторой (каждая функция ип (£) в своей) окрестности точки <0. При переходе к обоб щенным функциям нужно учесть два следующих обстоя тельства. Во-первых, условие неравенства нулю функций ип (t) даже в случае обычных функций является слишком ограничительным [10]. Во-вторых, обобщенные функции могут не совпадать с обычными при t —► і 0; поэтому не обходимо определение асимптотического поведения, под ходящее для всех обобщенных функций. Первая труд ность преодолевается введением понятия разложения, асимптотического относительно некоторой шкалы (асимп тотической последовательности); соответствующее опре деление принадлежит А . Эрдейи [10]. Определение асимп тотического разложения обобщенной функции, ие предпо-
ЗВ1
лагающее совпадения ее с обычной, |
формулируется ниже |
в этом пункте.; |
последовательность |
обычных |
Т |
|
Рассмотрим |
функций |
{фп (0}і га = 1, |
2, . . |
заданных на |
множестве |
|
точек |
действительной оси. Пусть /0 — предельная точка множе
|
ства |
|
|
Т. |
Последовательность {фп} |
|
мы |
будем |
называть |
|
асимптотической |
|
последовательностью |
|
или |
|
шкалой |
при |
|
t —* t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ип t) |
|
I)) |
|
|
|
t |
|
|
|
|
о, |
|
если фп+1 (<) = |
о |
|
при |
-> |
t0 |
для всех га. |
|
|
Т. |
|
( |
|
(фп ( |
|
|
|
|
|
Предположим, |
что |
|
|
|
|
— обычные |
функции, |
заданные |
|
на |
О п р е д е л е н и е |
|
1 |
|
(Эрдейи ІЮ]). Формальный ряд |
|
оо |
ип |
|
|
|
|
|
|
|
|
асимптотическим разложением функ- |
|
П2= 1 |
(<) |
называется |
|
|
|
|
|
по отношению к шкале |
|
|
|
|
|
ции и |
( |
t) при t —+ |
<0 |
{ф„} |
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
N |
ип it) |
= |
о |
(фп) |
|
|
|
при |
t |
|
-* |
t0 |
для |
u (t) N . |
П2= 1 |
|
это |
записывается |
|
|
|
|
|
всех |
|
|
|
Символически |
|
|
в виде |
|
|
|
м ( 0 ~ 2 М 0 { Фп) |
при |
|
t - + t Q. |
|
|
|
|
Если |
|
ип (t) — |
апф„ |
|
Н=1 |
для |
всех |
га, |
где |
ап |
— постоянные, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
it) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то разложение называется разложением в смысле Пуан каре; в этом случае пишут просто
|
|
|
|
|
|
и Ц ) — 2 |
un it) при |
|
t - * t 0. |
|
|
|
|
Кроме того, запись г |
it)n = l~ |
0 означает, что |
г |
(/) |
= |
о |
(фп(£)) |
нри |
t |
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tдля всех га. |
2 |
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О п р е д е л е н и е |
[И]. Пусть каждому значению |
параметра |
|
из множества |
|
поставлен в соответствие ли |
нейный |
непрерывный |
функционал |
|
(/, ( |
х |
), |
ср), |
|
а |
|
|
|
|
; Е J?1, |
в основном |
|
пространстве |
|
Будем |
говорить, |
что выра |
жение |
|
fl |
|
|
оо |
°П {х, t) |
|
|
t - + t 0, |
|
|
|
|
|
|
|
(я) ~ |
п2 |
{ф„(0К |
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
С п ix, t) |
€Е |
SP' |
1 X |
и |
зависит от параметра |
t, |
назы |
|
|
|
|
|
по |
|
|
вается асимптотическим разложеңием обобщенной фунц-
ции fi по параметру t при t -* t0 по отношению к шкале
{ф„ (0}і если для любой основной функции
|
|
|
оо |
t), ф(х)) |
|
{ф„(0} |
при |
|
|
|
|
|
(2) |
|
(ft, ф )~ S (С„(х, |
|
t~ * t0. |
|
О п р е д е л е н и е |
3. |
Если |
|
х) |
= |
/ (/ — х) |
и |
/, ( |
t -* |
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
асимпто |
при |
+ , то выражение (1) мы будем называть |
/ ( |
t) |
ЕЕ |
З0' |
тическим |
разложением |
обобщенной |
функции |
|
|
t |
-* + |
оо. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8' |
Дальнейшее рассмотрение в целях некоторого упро |
щения |
записи будет вестись |
гв |
|
пространстве |
|
Шварца |
|
обобщенных функций медленного роста. При этом, |
в част |
ности, |
мы будем считать, что |
|
(t) ~ |
0 |
означает убывание |
г (t) |
быстрее любой степени |
l ! \ t |
|. Основные |
|
результаты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с соответствующими изменениями переносятся и в другие пространства.
Свойства асимптотических разложений обобщенных функций в приведенном выше определении для одномер
ного |
случая |
и |
пространства Шварца |
§ ' |
исследовались |
в работах |
00[11, |
12]. Основное внимание было при этом |
|
|
|
|
|
|
|
x)e |
уделено рассмотрению обобщенных функций вида / ( ixt, |
где |
t |
-> + |
, |
и асимптотическому поведению обобщенных |
|
функций при больших по модулю действительных значе ниях аргумента. Были найдены асимптотические разло
жения функций х± lnm х±, (х + i0)x lnm (х + іО), где К — любое комплексное, т — положительное целое число или нуль, а также ряда других. В этих же работах дока заны теоремы о действиях над асимптотическими разло жениями, в частности, о дифференцировании и интегри
ровании разложенийАсимптотическое. |
разложение обоб |
Отметим, например, следующее интересное утверждение. |
Т е о р е м а |
1. |
|
|
щенной функции (из §') |
всегда допускает почленное диффе |
ренцирование'. |
например, если |
|
|
оо |
Сп(х, t) {фп (0}, |
|
f(t — х )~ 2 |
t - + t 0, |
то |
u=i |
|
|
|
А с и м п т о т и к а и а н а л и т и ч е с к и е с в о й |
с т в а+00. |
Коснемся коротко результатов относительно |
связи между поведением обобщенной функции |
feixl |
при |
L |
— |
и аналитическими свойствами обобщенной функ |
|
|
|
|
ции / (относительно подробных доказательств см. [11]).
Следуя В. |
С. Владимирову 113], |
будем |
говорить, |
что |
функция |
Н~ѵ (а + |
е)), |
где |
р |
> 1, |
/ (z) е Яр (а + е) ( |
|
|
а0, если она аналитична в верхней (нижпей) полуплос
кости и для любого е |
|
0 удовлетворяет оценке |
|
|
I/U) |
| < |
С |
|
(1 |
+ |
|
I z |)0(1 + |
\у |
Г“)е‘“« )і« ір |
|
С , |
|
|
|
|
при |
некоторых |
|
|
|
а |
|
0, |
ß |
> |
О, |
z = |
х |
+ |
іу. |
Известно, |
|
|
|
{а |
|
|
|
что |
еслп / (z) £Е Я * |
|
|
+іу)е), |
то |
|
|
|
|
S '. |
|
|
|
Справедлива |
v1і- |
щ* |
/ (я -]- |
|
|
= |
/ (zc —|—іО) |
|
|
|
|
|
|
± |
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следующая теорема. |
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
2. |
|
Если |
|
/ (z) 6 |
|
(а + |
е), |
|
то |
|
|
f |
(х |
|
|
іО)еы |
|
~ 0 га/ж і -» + оо. |
|
|
Ясли / ( г ) £ Я р ( а | е ) , |
|
|
|
то |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
/ (я — |
іО)еІХІ |
~ 0 |
тгрц |
—► —оо. |
|
|
Известно |
также, |
что |
любая |
обобщенная функция |
/ 6 І ' представляется |
в |
|
виде |
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
где |
/~Ь (z) (Z |
/ (я) = |
|
/+ (я + |
іО) — /“ (я — іО), |
|
Я ? (е). |
Сингулярности |
первого |
слагаемого |
определяют |
поведение |
jeixl |
на |
— оо, |
|
сингулярности вто |
ласьрогов—видена + оо. |
Точнее, |
верна |
следующая |
|
представля |
Т е о р е м а 3. |
|
Для |
|
того чтобы |
|
/ е і ’ |
|
|
|
f |
|
= |
r ( x |
|
+ |
|
i O ) - M |
|
(я)), |
|
|
|
где /+ (z) GE Н\ (е), а М (х) — мультипликатор в S , не обходимо и достаточно, чтобы feixl — 0 при t —► + оо. Для того чтобы f (ЕЕ S' представлялась в виде
} = М (я) — Г (х — іО),
где f~ (z) Er ЯГ (е), а М (х) — мультипликатор, необхо димо и достаточно, чтобы feixt ~ 0 при t —► —оо.
Для некоторых задач математической физики пред ставляет интерес обратная задача теории асимптотических
