разложений, а именно: по заданному разложению обоб щенной функции, зависящей от параметра, восстановить (с оиределениой степенью точности) саму функцию. В слу чае общего разложения относительно шкалы ответ может быть в значительной мере неоднозначным (см., например, [14]). Однако если ограничиться разложениями в смысле Пуанкаре, то неоднозначность существенно уменьшается. В частности, оказывается возможным [12] установить связь между свойствами обобщенной функции / и свойст
вами коэффициентных функционалов |
разложения тина |
Пуанкаре |
для |
обобщенной |
функции |
feixl. |
Остановимся |
на |
|
|
этом |
подробнее. |
с в о й с т в а |
р а з л о ж е н и й |
|
|
Н е к о т о р ы е |
|
|
т и п а |
|
П у а(fei8{x)t,н к а р е . (х))\Пусть для |
каждой |
основной |
функции |
ф |
{х) |
£Е S |
задано |
разложение типа |
Пуанкаре |
функционала |
|
|
|
, |
ф |
со |
(Ф*))',ІІ*’ (0 |
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
( f e l8ix)l |
Ф) ~ |
П |
2 |
|
|
|
|
|
t -* |
|
0 |
|
|
|
|
|
—1 |
|
|
§. |
|
|
при |
+ |
|
где |
g {х) — |
мультипликатор в |
Функции |
|
|
|
О, |
|
|
|
|
|
ф^1 я ф$Г\ |
п |
= |
1, 2,. . ., |
образуют шкалы при |
t |
—> -f- оо |
и |
t |
|
-* |
— оо соответственно. |
|
|
Сп\ |
ф) и |
|
|
|
Функционалы ( |
|
(Сп \ ф) будем называть коэффициентными. Существование разложения (4) обусловливает ряд свойств этих функцио налов. Ниже мы приведем лишь необходимые определе ния и формулировки теорем; относительно доказательств
см. |
[12]. |
|
|
|
|
4. |
|
C(nt) |
(х) |
е= |
8'. |
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
|
|
|
|
|
|
|
в люб- |
|
Отметим, |
|
что аналогичная теорема справедлива |
бом пространстве |
SP' |
, полном относительно слабой сходи |
мости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
Сформулируем тенерь определение носителя8'сингу |
лярности |
sing |
supp / |
обобщенной |
функции |
/ £Е |
|
|
|
О п р е д е л е н и е |
|
4. |
|
Если |
обобщенная функция |
/(£)£=§' |
во-первых, |
|
бесконечно |
дифференцируема |
при |
достаточно |
большом |
|
| |
х |
| |
и, во-вторых, |
имеет |
вместо |
со |
|
всеми |
производными |
рост не |
выше |
стенеиного |
при |
X |
—» + о о , |
то |
носителем |
|
сингулярности |
sing supp |
] |
назо |
вем дополнение |
С |
к области, где / бесконечно дифферен |
цируемас |
. |
Если (Схотя бы одноС из условий |
не выполняется |
при |
X |
—► + оо |
(% |
— — оо, |
X |
—► + оо ), то |
sing supp / = |
|
|
U |
|
= |
|
U ( + °°) |
|
(—оо), |
|
[J (±°о)). |
|
|
|
|
|
|
О п р е д е л е н и е |
|
5. |
|
Будем говорить, |
что |
шкала |
{ф'Д} ({фп-)}) |
|
|
|
|
|
|
М |
|
|
|
условию |
А |
|
па |
+ оо (— оо), |
|
|
|
|
|
|
удовлетворяет |
|
|
|
номер |
|
|
что |
если для любогоt числа |
|
|
найдется такой |
|
т±, |
Ѵ т і (0 |
= |
О |
(Ѵ| |
|
|Л/) при |
t |
|
|
+ |
|
оо. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‘ Т е о р е м а |
5. |
|
Пустъ |
|
шкалы |
|
|
|
|
удовлетворяют |
если |
|
g |
(а;) |
|
= |
х, |
то |
в |
|
iO), |
|
|
|
(4) |
условию |
А . |
Тогда |
|
|
sing supp |
|
разложении |
|
|
|
|
|
|
U suppCl^ = |
|
(х -+- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n—i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3). При этом запись |
|
|
для f имеет место представление |
где |
Cn^ |
= |
( - f o o ) |
или Xsupp, |
Cjl±) = |
|
Xsupp< Z . X |
|
|
(—оо) |
|
означает, что |
не |
|
существует |
такого |
|
|
что |
|
|
|
= |
0 |
при |
х^> |
X |
или |
|
|
|
соответственно, где — оо |
■ < X |
< |
о |
о . |
|
|
|
|
|
|
|
Наложим теперь на разложение (4) следующие допол |
нительные ограничения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) функции |
|
|
(і) (А>п) |
(0) |
бесконечно |
дифференци |
|
|
Т п |
1(t |
|
|
|
|
руемы при |
I |
>(t) = |
|
|
< —Гп„); |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
о о . |
|
|
|
|
|
|
2 ) |
|
№ |
|
|
|
|
|
о J p(г)| |
|
|
|
р и — |
|
|
|
|
|
|
из |
|
Т е о р е м а |
6. |
Если |
выполнены условия |
1) |
и |
2), |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
существования |
разложения |
вытекают соотношения |
gn |
(х)С<±> (х) = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— 1 |
|
|
|
|
Если |
g |
(х) = х, то |
|
|
(х) = |
гг |
Спк)0(Л) 0е)» |
|
|
С л е д с т в и е . |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
к=о |
|
|
|
где |
|
— комплексные числа, |
= |
|
1, |
2, |
. . . Кроме того, |
при выполнении условия |
А |
sing supp / = |
{0}. |
|
|
|
|
|
|
Упомянутая |
выше обратная задача находит примене |
ние в кваптовой теории рассеяния, когда возникает не обходимость изучать свойства и структуру некоторых классов обобщенных функций но их поведению на больших расстояниях и при больших временах. Относительно при ложений к квантовой теории поля см. работы Ю . М. Ши рокова и др. ([9] и приведенные там ссылки).
3. Асимптотические разложения в п-мерном случае
В этом пункте мы дадим определение асимптотического разложения обобщенной фупкции в п-мерном случае. Далее будет введено понятие порядка сингулярности обоб щенной функции относительно части переменных, обоб щающее обычный порядок сингулярности. Это понятие
Мы видим, таким образом, что поведение рассмотрен ной обобщенной функции существенно зависит от направ ления Я, по которому параметр стремится к бесконечно сти. Для учета этой зависимости можно ввести понятие
порядка сингулярности обобщенной функции относитель
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но части переменных |
|
пли, |
в более общем случае, |
относи |
|
тельно плоскости |
в |
|
|
|
|
|
|
Л п |
(см. ниже онределепия 7 и 8). |
|
Это понятие позволяет F |
|
оценить поведение |
обобщенной |
|
функции /е‘ и при |
I |
/ |
I |
-> |
|
оо |
и, следовательно, поведение |
|
преобразования Фурье |
|
[/I при больших по модулю зна |
|
чениях аргумента но разным направлениям в |
М п. |
Отметим |
|
|
также, что порядок сингулярности относительно плос кости, являясь характеристикой обобщенной функции, представляет интерес не только для оценок асимптоти
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ческого |
поведения, |
но |
и, например, при исследовании |
гладкости решений линейных дифференциальныхх' |
уравнех т), |
ний с частными |
производными |
116, 171. |
= |
(а^, . |
. |
., |
|
Введем |
следующие |
обозначения: |
|
|
|
х" |
= |
(zm+1, .. ., |
хп), |
Di |
= |
d/dxi, Dy |
= |
D l ' ... D »?, |
|
I fc'l = fci + |
- |
+ |
km, |
Dt: |
= |
D *,™ 1 |
... |
D ,;\k |
|A"|=/cm+1+ ...+ / c n. |
Кроме того, Fбудем говорить, что порядок сипгулярности |
обобщенной функции |
F |
(х) |
|
8 ’ |
не больше нуля |
(s |
F |
) ^ |
|
|
|
|
|
( |
+ 0),U I если) - , v e |
(х) |
|
|
|
|
суммируемая |
функция |
сте |
l x {—Я плокально). |
пенного |
роста, |
т. е. найдется такое |
N , |
что |
F (х) |
(1 |
+ |
|
|
|
|
О п р е д е л е н и е 7. Вудем говорить, что обобщен ная функция / (х) ЕЕ 8' ( J ? H) имеет относительно х' по рядок сингулярности sXl (/) ^ /с, /с 0, если / допускает представление вида
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = |
D% D$F |
(z), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
где s |
(F) |
^ |
|
0 |
и I |
k' |
к. |
|
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
D ^ |
при |
этом представление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = |
|
|
ü 'y G |
|
(х) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рпри= |
|
(G) |
|
|
;0 |
|
|
|
|
I = (І |
т+ь |
к.. . |
., |
Іп) |
невозможк. |
|
sІРі, |
|
|
Pin)и некотором |
|
Sy |
|
|
р |
|
но, |
то будем |
говорить, |
что |
|
(/) |
= |
0 |
и |
Если |
при |
любом |
|
|
D X'fp |
■ |
• |
|
|
J |
таком, |
|
что Pi |
|
> |
I |
|
I |
< |
s |
|
функ |
ции |
|
|
допускают |
представление вида ((5) |
при |
|
{F) |
^ 0 |
и |
кх = Іс2 = |
|
. . . = |
кт |
— |
U, то |
Sy (j) |
<= |
— |
к |
^ |
|
0. |
|
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при этомк |
среди производных |
D x^ f |
найдется хотя бы одна |
sx'не допускающаяк |
представления |
|
видар |
(6) |
(pltпри . . |
|
., |
р т)О |
|
|
|
|
|
|
2 |
= |
|
|
. . |
|
— кт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s (F) |
|
и |
|
|
/і'і = |
|
|
|
. |
|
= |
0, |
то |
|
будем |
|
|
говорить, что |
|
|
|
(/) = |
— |
|
|
|
0. |
Если |
для |
|
любого |
|
= |
|
|
sx- |
|
|
|
|
|
•V |
(Dx’ f) |
|
|
0, |
|
то |
будем |
|
говорить, |
что |
|
|
(/) = |
|
— оо. |
|
sx |
|
|
|
|
|
х' |
|
|
|
|
З а м е ч а н и е . |
При |
|
т = |
п |
, т. е. при |
|
— х |
, |
число |
s (/) = |
|
|
(/) |
|
называется |
|
порядком сингулярности |
обоб |
|
|
|
(Я п). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щенной |
функции / e |
|
l ' |
|
|
|
*ЗУ{Яп) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что определение типа определения 7 можно |
ввести также в пространстве |
|
|
|
|
|
|
|
и вообще в любом прост |
ранстве, в котором обобщенныеsx- |
|
функции представляются |
в виде суммы sx>производных от обычных функций. |
|
|
|
|
|
|
|
Отметимх'"два |
(свойствахті, |
|
хтг(/):) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
if)- |
|
|
|
а) |
— оо < |
|
= |
(/) < |
|
s (/); |
|
|
|
|
|
С * ' , |
|
то Ѵ ' |
(/) < |
|
V |
|
|
|
|
б) |
если |
|
|
|
|
|
|
|
. . |
|
., |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р . |
|
Рассмотрим простой пример, |
иллюстрирующий оп |
ределение |
7 |
и указанные |
свойства |
sx,(j). |
Пусть |
|
/ (х) 6Е <S*' {31s), |
f |
(х) = |
б (хг — х„) б (г3). |
|
Нетрудно |
|
в чдеть, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sx, И) — sx, if) = |
|
— °°. |
|
|
^ |
(/) = !, |
* ,,,. (/) = |
!. |
|
|
|
|
|
|
|
Справедлива |
|
|
(« = |
|
**** (« = |
*(/) = 2- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следующая |
|
I ' |
(i?n), |
wo |
|
|
|
|
|
т; |
|
|
|
|
Т ѳ о р е м а 7. |
і?сли / е |
|
т |
|
|
|
|
|
п; |
|
|
|
а) |
V |
(А/) |
|
< |
s*- (/) |
+ |
|
1 |
|
|
|
|
|
ири |
і = |
1, . . ., |
|
|
|
|
|
|
|
б) S ' (öj- |
f) |
< |
sx, |
(/) |
|
|
|
|
|
|
|
|
при / = |
|
|
+ |
1, |
. . ., |
|
|
|
|
в) |
s , |
ф 4 ) |
|
= |
|
(У) + |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, |
|
|
|
|
|
£ ) < |
max |
[sx<(/), |
|
sx- (g)] |
ири |
|
л/обых / , g e |
|
|
|
г) |
Sx' (/ + |
|
|
|
|
e |
|
8' |
(Л?п); |
|
|
|
|
|
|
|
мультипликатор |
в |
|
8 |
{-Яп), |
т. е. |
|
|
|
д) если о о , |
|
а (х) — |
|
s |
|
|
|
|
|
f) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
({а) |
= |
— |
|
|
|
то |
ех<(а |
< |
|
|
|
(/); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
|
при |
|
этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
также мультипликатор в |
|
|
|
Я п), |
|
|
одна из функций1/а (х) f—, g E E 8 r {Я п) |
|
является свер- |
|
|
|
то sx- |
|
|
|
|
sx- |
функция(/); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
леме, ) если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется свертывате- |
тывателем {обобщенная(а /) = |
|
|
|
|
|
|
если ее свертка с любой основной функцией также |
является |
основной функцией), |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sx’ if * g ) < Sx' if) + s* (g).
Для доказательства достаточно несколько модифици ровать рассуждения Г . Е . Шилова ([18], стр. 125—127)