относительно свойств порядка сингулярности распреде ления.
|
ЯМожноп. |
|
ввести понятие порядка сингулярности обоб |
щенной функции |
и относительно произвольной плоскости |
в |
Пусть |
Ä,1( |
|
Л2, |
. . |
|
Я,т |
|
|
|
|
|
Л п |
|
взаимно |
ортого |
|
|
|
— единичные |
|
нальные векторы. |
Они определяют в |
|
|
|
|
плоскость 2 , |
про |
ходящую через начало координатх' |
. Произведемхт). |
в |
Я п |
по |
ворот, при котором плоскость 2 |
/перейдетх. |
в |
плоскость, |
определяемую |
|
переменной |
|
= |
(жх, . . |
|
., |
|
|
|
При |
этом |
обобщенная функция / перейдет в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поряд |
|
О п р е д е л е н и е 8. |
Число |
|
(/) |
|
называется |
ком |
сингулярности |
|
обобщенной |
функции |
/ £= |
У” |
(J%n) |
относительно |
|
плоскости |
|
2 , |
если |
sX' |
|
(Дх)' |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(/) |
(/). |
|
|
|
|
|
Нетрудно показать, что определение |
|
|
не зависит |
от вида поворота, |
|
переводящего |
2 |
|
в |
|
|
|
. Однако |
мы на |
этом останавливаться не будем. |
|
|
|
|
|
t |
(/) можно оценить |
|
С помощью порядка сингулярности |
se |
поведение функционала (/еш , |
|
ф ) |
при | |
|
|
| |
- > - |
о о |
|
на |
любой |
плоскости |
|
в |
|
|
Л п, |
|
|
параллельной |
2 (в ^-пространстве). |
|
к |
|
|
|
|
|
Пусть, как и раньше, плоскость 2 определяется вектора |
ми |
, . . |
., |
|
т . |
|
|
Если |
|
|
|
|
к , |
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
|
8. |
|
(/) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(/еы , |
|
= |
I |
t |
I* |
о (1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
|
|
|
|
|
на любойф) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I / I —>- оох' |
|
|
хх |
|
плоскости, |
|
параллельной |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ограничимся |
для |
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
простоты |
случаем 2 |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
и прямой, проходящей через начало |
координат. |
|
Пусть |
|
сначала |
sXl (f) — k |
|
> |
0. |
Тогда |
|
f |
= |
= |
D\Dx« F ( x ) , |
|
где |
s F ) = |
0. |
|
Для любой основной функ |
|
ф (х) |
ЕЕ |
§ |
|
|
|
( |
|
|
|
ции |
|
|
|
можно написать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(feix'1, ф ) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
Ск {it)T5 F (x)eiXitDx~rD x»y (х) dx. |
|
|
(— l)fc+lfc'l г2= 0 |
|
Применяя лемму Римана — Лебега, заканчиваем доказа тельство.
Если sx, (/) = к < 0, то, по определению,
D\ f = D $ F (х),
где s (F ) = 0. Проинтегрируем F (х) к раз по Жі на отрезке [0, x j и обозначим полученную функцию через F (х).
Тогда D\ (/ — Dx"F) = 0. Отсюда нетрудно получить, что
к—1
где vt (X ') |
£Е 8' |
/ |
— D'£F |
= |
12 |
Ѵ[ (х") х[, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(d#"-1). Поэтому |
|
|
|
|
к—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(/еІЛіі, ф) = |
(— 1)|к 1^ У'1(ж) еІЛ'»(Д*чр (X) dx |
+ 2 |
iv i(x ") x{eiXlt, ф)- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
1=0 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
Первое |
слагаемое |
|
ведет |
себя |
как |
(1/1 |
t\k) |
при |
| |
| |
-ѵ |
-э- оо в силуX того, что |
s D \F) |
= |
st |
(F) |
= |
0. |
Остальные |
( |
|
|
|
| |
|
слагаемыеvt быстро |
убываютfeixt |
при |
| |
|
|
оо, |
поскольку |
функции |
( ") |
не |
зависят |
от |
|
|
Теорема |
|
доказана. |
|
|
|
|
Можно указать для |
|
и оценку в некотором смысле |
сснизунаправляющим. Именно, справедливавектором К, , напримерто для , |
любогоследующая |
в |
|
Т е о р е м а |
9. |
|
Если |
sx (/) |
= |
|
к относительно |
прямой |
t- |
|
|
|
|
|
направляющим векто |
|
пространстве |
найдется |
прямая с |
|
ром к, |
на которой |
|
(1 + |
1*1)fr—2-е |
|
|
|
е |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Ul |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (feixl, ф) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим еще раз, что тем самым мы получили оценку |
поведения обобщенной функции |
|
F |
[/] |
в смысле определе |
ния 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В заключение применим порядок сингулярностиf (отнох) |
сительно направления к оценке двустороннего преобразо |
вания |
Лапласа |
|
обобщенной |
|
функции. |
Пусть |
|
|
|
ее |
е8' ( Я п ) .
Т е о р е м а 10. Если sXt (/) = к !> 0, то
|(/, е-х‘) I < С ( г 2, t3, . . ., tn) I fil* -1.
Нетрудно это утверждение переформулировать и для любой плоскости 2 .
Л И ТЕРА ТУР А |
|
|
|
|
|
|
|
[1] |
М . J . |
L i g h t h i l l . |
Introduction |
to Fourier |
Analysis and |
|
Generalized Functions. |
Cambridge |
Univ. Press, |
London, 1958. |
[2] |
D. S. |
J o n e s . |
Generalized Functions. M cGraw -Hill, |
1966. |
[3] |
J . L |
a V о i n e. |
Sur des |
théorèmes |
abeliens et |
tauberiens de |
|
la transformation |
de |
Laplace. Ann. Inst. Henri |
Poincare, |
|
Nouvelle sèrie, |
vol. |
IV , |
№ 1 (1966), section |
|
A , |
Physique |
|
théorique. |
|
|
|
|
|
|
|
[4]М. М a n g a d. Asymptotic expansions of Fourier transforms and discrete polyharmonic Green’s functions. Pacific J . Math.
20, № |
1 (1967), |
8 5 -9 |
8 . |
|
[5] A . H . Z e m a n i a n. |
Some Abelian Theorems |
for the |
Distributional Hankel and А -Transformations. SIAM |
J . Appl. |
M ath., |
vol. 14 |
(1966), |
1255—1265. |
|
[6]L . L о j a s i e w i c z. Sur la valeur et la limite d’une dis tribution dans une point. Studia Math. 16, № 1 (1957), 1—36.
[7] |
L . S c h w a |
t z. Théorie |
des |
distributions |
II, |
Paris, 1951. |
|
Y u . M . S h i г о к о V . |
On |
microcovariance |
and |
microcausa |
[8] |
lity . Nucl. |
rPhys. |
46 |
(1963), |
617—638. |
|
|
[9] |
ІО. А . Б p ы ч к о в, |
ІО. M. Ш и р о к о в . |
Об |
асимптоти |
|
ческом поведении преобразований Фурье. Теорет. и матем. |
|
физика, т. |
4, № |
3 |
(1970), |
301—309. |
|
|
[10]А . Е г d е 1 у i. The Asymptotic Evaluations of Certain Integrals. Arch. Rat. Mech. Anal. 14, № 3 (1963), 217—260.
[11] Ю . А . Б |
p ы ч к о в, Асимптотические разложения обоб |
щенных |
|
функций, I. Теорет. и матем. физика, т. 5, № 1 |
(1970), |
98—109. |
[12]Ю . А . Б р ы ч к о в. Об асимптотических разложениях обоб щенных функций. Матем. заметки, т. 12, вып. 2 (1972), 131— 138.
[13]В . С . В л а д и м и р о в. Методы теории функций многих
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
комплексных |
переменных. |
Изд-во «Наука», 1964. |
|
[14] |
Э. Я . Р и е к с т ы н ь ш. |
О |
применении |
теории |
нейтрис |
|
к асимптотическому |
представлению |
некоторых интегралов. |
|
Латвийский |
математ. |
ежегодник за |
1965 |
г ., 5—21. |
[15] |
И . М . Г е л ь ф а н д |
и Г. Е. |
Ш и л о в . Обобщенные функ |
|
ции и действия над ними (Обобщенные функции, вып. 1). |
[16] |
Физматгнз, 1959. |
|
|
|
|
|
|
|
ІО. А . Б р ы ч к о в. О порядке сингулярности обобщенных |
|
функции относительно части переменных. Докл. А Н |
СССР , |
|
т. 205, № 2 (1972), |
271—273. |
|
|
|
[17] |
Ю . А . Б р ы ч к о в . |
О гладкости по |
части |
перѳмеппых ре |
|
шений линейных |
дифференциальных уравнений с частными |
|
производными. Дифф. уравнения, т. 10, № 2 (1974), 281—289. |
[18]Г. Е . Ш и л о в. Математический анализ. Второй спецкурс. Изд-во «Наука», 1965.
П Р И Л О Ж Е Н И Е II
ПРЕОБРАЗОВАН И Е Л АП Л АСА ОДНОГО КЛАССА О БО БЩ ЕН Н Ы Х Ф УН К Ц И Й
В. В . Ж а р г т о в
Вразличных областях теоретической и математической физики часто встречаются обобщенные функции мед ленного роста, носители которых ограничены со стороны некоторого острого выпуклого конуса. Согласно общей
теории [1,2]*) эти функции обладают преобразованием
#Лапласа, свойства которого были изучены В . С. Владими ровым [3, 4, 7, 8], а также рядом других авторов. Ниже излагается теория преобразования Лапласа указанного класса обобщенных функций с позиций, близких книге Земаняна.
|
1. |
Предварительные сведения |
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем обозначения: |
х |
= |
(xlt |
. . ., |
х п), у, |
£ ,. . . £Е |
и |
|
z = |
(zlt |
- . |
zn) |
— X + |
iy |
£Е |
|
(у, |
£) = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
уЛі + |
• ■• • + |
уп £n.|x l = /(*.*). М = / М |
+ |
|г/|2. |
|
|
Пусть С — открытый острый выпуклый конус с вер шиной в нуле и рг С = {у GE С: \у | = 1}. Функция
цс © = |
г/sup [— |
(у, |
I)] |
|
е р гС |
С . Обозначим F a = |
называется индикатрисой конуса |
={ Е : Рс (Е) ^ а}, гДе я — некоторое неотрицательное
число; |
[С* |
= |
{ £ : |
рс |
(Е) |
^ |
0 } |
— |
сопряженный |
конус (так |
|
С' |
|
|
|
|
|
|
|
|
как |
С |
|
— острый конус, то int С* |
Фф ) |
и С* = |
{£ : рс (£) )> |
)> 0 }. Конус |
|
с вершиной в |
нуле |
называется |
компакт |
ным |
в конусе |
С , |
если |
рг |
Ü' |
CZ рг |
С; |
при |
этом |
пишут |
С' |
(с |
|
|
|
|
|
С . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*) |
|
Для приложения II |
см. |
литературу см. на |
стр. |
306. |
