Файл: Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей.pdf

Разделив первое из получившихся уравнений на величину коэф­ фициента при его третьем члене, а второе — на коэффициент при первом члене, находим

Здесь M = wcv[a — число Маха.

Так как для гидравлических трактов М<С 1, то соответствую­ щими конвективными членами в уравнениях (3.19) и (3.20) мож­ но пренебречь. В оставшиеся члены входят два безразмерных параметра: ршСра/Рср='а и Арсрірср. Параметр а является без­ размерным приведенным волновым сопротивлением, характери­ зующим при акустических колебаниях связь между изменениями скорости и давления.

Понятие «сопротивления» используется по аналогии с электротехникой, в которой сопротивление—коэффициент связи между изменением тока и на­ пряжения. Для акустических колебаний коэффициент связи между изменением скорости (тока) и давления (напряжения) в акустической волне также назы­ вается сопротивлением.

После приведения уравнений (3.11) и (3.15) к безразмерному виду волновое сопротивление pa стало -безразмерным рwa/p и этот параметр приобрел свойства критерия подобия. Течения с одинаковыми значениями а и Ар/р (с учетом граничных усло­

первую очередь определяется силами трения жидкости о стенки, а акустические эффекты имеют меньшее значение. Для Ж РД по­ добный анализ имеет определенный смысл, так как в гидравли­ ческом тракте двигателя есть участки (зарубашечная полость камеры сгорания), на режим течения компонента в которых большое влияние оказывает распределенное вязкое трение о

стенки тракта.

Вернемся к решению уравнений динамики -гидравлического тракта. Для задач регулирования в большинстве случаев можно

108

ограничиться малыми отклонениями (вариациями) параметров (см. § 2.1). Малость отклонения определяется тем, что квадра­ том и более высокими степенями вариаций можно пренебречь по сравнению с самой вариацией. Выделив малую переменную со­ ставляющую параметров w = wcp+ 8w'; öp = pCp+èp', где wcp и Pep — средние стационарные значения параметров, приведем вариации скорости бw' и давления öp' к безразмерному виду, отнеся их передним значениям варьируемых величин бр = 6 р7 Рср; öw = öw'/wcp. Тогда й; = 1 + б«і, р=<1 +8р. Подставив эти значения параметров в уравнения (3.19) и (3.20), отбросив конвективные члены, находим уравнения движения жидкости в малых отклоне­ ниях *:

Для анализа динамических характеристик и устойчивости сис- -темы наибольший интерес представляют вынужденные колеба­ ния в элементах системы. Динамические (частотные) характери­ стики системы определяют реакцию системы на гармоническое возмущение из внешнего источника. При анализе устойчивости системы также используются частотные характеристики элемен­ тов.

Рассмотрим случай, когда внешние воздействия приложены в виде гармонических (синусоидальных) возмущений на концах тракта. Для проведения промежуточных преобразований удобно задать возмущение в виде комплексного выражения— экспонен­

циальной функции Ъу — Ь у е іа1. Так как над этими функциями будут совершаться только линейные операции, то действитель­ ную их часть можно при необходимости выделить из окончатель­ ного выражения. Частное периодическое решение системы урав­ нений (3.21) — (3.22) ищем в формуле установившихся гармони­ ческих колебаний:

Здесь бр и öiv — амплитуды колебаний давления и скорости. Амплитуды — величины комплексные, зависящие от частоты. В решении (3.23) присутствуют только члены, определяющие колебания давления и скорости жидкости с одной безразмерной

частотой со = со1/а, т. е. установившиеся гармонические колебания, после завершения переходных процессов. Таким образом на­ чальные условия, которые определяют переходные процессы в

* Здесь и далее будем опускать индекс «ср» для средних значений пара­ метров р, w и Др.

109

величинам, то уравнение (3.28) приобретает следующий вид:

или постоянной распространения. Уравнению (3.29) соответству­ ет характеристическое уравнение <72 +/г2 = 0 , корни которого

где й= Л/а = Д/?/(ртш).

Волновое число_можно разбить на веіцгственную и мнимую

составляющие: £ = о/—ib', которые определяются зависимостя­ ми [79]:

“' “ “ / т І / '+ 'М - т У + Ф

т [ і / 1+ 4 (т )2_1]- .

При /?/а<Ссо эти соотношения.упрощаются:

b ' ^ b = — ;

а

а для волнового члена можно записать

где h — а=ртюа(р\ b= hja = Apl(pwa).

Дігфференциальное уравнение для амплитуды колебаний давле­ ния имеет точно такую же форму, как и уравнение для колеба­ ний скорости (3.29), и соответственно — одинаковое характери­ стическое уравнение. Решение для уравнения 2-го порядка (3.29) имеет, как известно, вид

Волновое число k в общем случае при А р ф ®— величина ком­ плексная. Лишь при /гсо/аСю2, т. е. при относительно малом

111

гидравлическом сопротивлении и достаточно большой частоте, вторым слагаемым в соотношении (3.31) можно пренебречь, и в

пользуя обратные преобразования, можно получить решение. При анализе вынужденных колебаний обратные преобразования не используются и кажется, что более наглядным является использование частного периодического решения в форме зависи­

Так как параметры k и х в общем случае величины произволь­ ные, то для соблюдения последнего равенства необходимо, чтобы

коэффициенты при е'А'-г и е~ікх были одинаковыми в левой и правой частях равенства. Из этого условия определяется связь

Учитывая эти соотношения, запишем в новой форме уравнение для вариации давления

В полученных решениях (3.34) и (3.35) вариации скорости и давления зависят как от координаты х, так и от времени_7. Одна­ ко при постоянном значении показателя экспоненты шt + kx =

= const для первых слагаемых в решениях и -со?—kx = const для вторых слагаемых в решениях эти члены остаются посто_янными.

Если влияние трения невелико и можно принять, что Ъ'~ 0, то

слагаемые и описывают распространение волн постоянной формы, бегущих вдоль тракта в разных направ­ лениях. Действительно, если вернуться к размерным параметрам

в показателе wt — kx — — (at —x), то постоянство показателя

П2