Файл: Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей.pdf

(3.120), иайдем формулу для граничного импеданса на выходе из стендового тракта *:

где Воспользовавшись общим решением (3.48), приняв, что ф2-^°°;

a

После исключения из соотношений (3.117), (3.118), (3.121) и (3.122) амплитуд вариаций бй>2, бр2, бёд получаем уравнение ди­ намики системы «стендовый тракт — разделительная емкость», входным параметром для которой служат колебания расхода компонента в объектовом участке тракта:

«>= —----- безразмерная частота колебаний;

а

I— длина стендового тракта.

На рис. 3.38 приведены кривые частотных характеристик стендо-. вого тракта с ресивером на конце при различных значениях пос­ тоянных времени 1/а.

Результаты расчетов показывают, что система имеет один ре­ зонансный максимум, причем частота, соответствующая резонан­ су, существенно ниже собственной частоты акустических колеба­

ний жидкости в стендовом тракте ш = я/2 или со = я**.

* При этом, как и ранее, переходим к ампліггудам вариации, записав

для вынужденных колебаний брд = 0 рдеІш(; 6 Сд= бОде,ш/ и т. д.

** При //а=0,05 с собственная частота (1-й тон) лежит в пределах со = 30-т- 60 с-1, а для /,/а=0,01 с со~ 1504-300 с-1.

175

Г Л А В А IV

ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГАЗОВОГО ТРАКТА

4.1. ЭНТРОПИЙНЫЕ ВОЛНЫ

Уравнения движения (3.1) и (3.5) описывают течение сплош­ ной среды в цилиндрическом канале без подвода тепла. В состав двигателя входят элементы (камера сгорания, газогенератор) с потоком газа п подводом тепла, которое выделяется при сгора­ нии жидких компонентов. При исследовании динамических ха­ рактеристик этих элементов необходимо учитывать тепловые эф­ фекты.

Выделения тепла в потоке газа приводят к изменению его температуры. В уравнениях (3.1) и (3:5) температура как пере­ менная не фигурирует. Изменения же температуры газа в пото­ ке, связанные с сжатием газа при повышении давления, учитыва­ ются, так как система этих уравнений замыкается уравнением состояния газа (3.10), которое описывает процесс адиабатиче­ ского сжатия газа в звуковой волне. Адиабатический характер процесса при распространении звуковых волн в газе подтверж­ дается многочисленными экспериментами [70]. Если изменение температуры газа в потоке связано не с колебаниями давления, а с изменением теплопровода от внешнего источника, систему уравнений необходимо дополнить уравнением энергии.

При анализу динамических характеристик газовых трактов двигателя (газ’огенератор, камера сгорания) можно использо­ вать предположение, что тепло подводится в одном сечении [46, 70], вне которого газ движется адиабатически. При этом адиаба­ тические условия, т. е. отсутствие теплообмена между отдельны­ ми слоями газа (а также со стенками канала), относятся к каж­ дому элементу (слою) газа в потоке. Это предположение вполне закономерно, так как в газовом тракте' двигателя без резких поворотов процессы диффузии и теплообмена между различными слоями газа, двигающимися вдоль тракта, обычно пренебрежимы [70]. Оценка влияния турубулентной диффузии будет дана ниже.

177

При адиабатическом движении энтропия каждого слоя газа остается постоянной на всем пути его перемещения вдоль газово- _ го тракта. Уравнение энергии в форме уравнения сохранения энтропии можно вывести по аналогии с выводом уравнения коли­

разделив все на dt и приравняв сумму (из условия адиабатичности) нулю, найдем уравнение сохранения энтропии:

При выводе уравнения (4.1) не учитывались процессы диссипа­ ции энергии, которые имеют место в газе при наличии трения и теплопроводности между различными его слоями. Уравнения (4.1) вместе с уравнениями неразрывности (3.1), движения (3.5) и состояния газа (3.10) составляют замкнутую систему уравне­ ний, описывающих адиабатические движения газа но цилиндри­ ческому каналу в случае, если имеются колебания температуры, связанные с внешними источниками тепла. Для решения этой системы уравнений необходимо иметь три граничных условия, которые будут сформулированы ниже при решении конкретных задач.

Уравнения (3.1) и (3.5) описывают распространение в газе возмущений скорости и давления, причем скорость распростра­ нения этих возмущений 'равна скорости звука. Уравнение (4.1) описывает'распространение в газе возмущений температуры — волн энтропии. В отличие от уравнений акустики (3.1) и (3.5), связанных между собой, уравнение распространения энтропий­ ных волн (4.1) не связано с уравнениями акустики — в него не входят ни вариации скорости, ни вариации давления *. Связь ко­ лебаний энтропии с колебаниями давления и скорости имеет место только на границах тракта, т. е. на входе и выходе. В са­ мом тракте энтропийные волны 'распространяются независимо от акустических, не взаимодействуя с ними.

Решение уравнения (4.1) имеет вид

Іш((——) 8s=SsBXe V -w>,

* Изменение скорости во втором члене уравнения (4.1) дает поправку второго порядка малости.

178

где ösBX— колебание энтропии в начале тракта. Так как при движении вдоль тракта изменяется только фаза волны, а амп­ литуда остается 'постоянной, то энтропийная волна является бе­ гущей волной. Возмущения энтропии распространяются со ско­ ростью движения газа. Таким образом, энтропийные волны в от­ личие от акустических могут распространяться только в движущемся газе.

4.2.ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГАЗА

ВТРАКТЕ С ЭНТРОПИЙНЫМИ ВОЛНАМИ

Элементы газового тракта двигателя (камера сгорания, газо­ генератор, газовод) имеют, как правило, форму, близкую к ци­ линдрической, перепад давления по длине тракта из-за гидравли­ ческого сопротивления в большинстве случаев относительно не­ велик и составляет незначительную долю от среднего давления

в тракте.

Течение газа в цилиндрическом канале без трения, диффузии и теплообмена * описывается системой дифференциальных урав­ нений [70]:

аскорость звука в газе.

Линеаризуя уравнение (4.2) и приведя вариации параметров к безразмерному виду, находим систему линеаризованных уравне­ ний для потока газа в тракте:

179