Файл: Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 200
Скачиваний: 2
Также, как и для гидравлических магистралей (гл. Ill) найдем частное периодическое решение системы уравнений (4.3) [70]:
8та=3г<уе/ш' = и е |
<1+іа + В<і а |
f |
Ьр=ЬреІШ= рдмІДе |
а+ w ■Be |
(4.4) |
(ОД* |
|
|
8s = Sie'“' = Се ”ге,и<.
Частное периодическое решение определяет реакцию газового тракта на установившиеся периодические колебания во внешней (по отношению к тракту) среде. Внешние колебания задаются граничными условиями, с помощью которых находятся постоян ные А, В и С в решении (4.4). При этом, так как начальные усло вия не используются, в результате решения определяется отно шение амплитуд колебаний параметров в газовом тракте к амп литуде колебаний внешнего возмущающего воздействия. Такая форма решения наиболее удобна, так как в результате получаем амплитудно-фазовые характеристики рассматриваемой системы.
Граничные условия сформулируем для наиболее общего слу чая, когда в тракт поступает переменный расход с переменной температурой. При этом для элементов двигателя с горением (камера сгорания, газогенератор) будем пренебрегать объемом зоны горения, а сам процесс превращения поступающих жидких компонентов в продукты сгорания так же, как это делается при анализе устойчивости рабочего процесса [7, 46], аппроксимируем чистым временным запаздыванием (см. § 1.7).
Для начального сечения (л'= 0) можно записать два гранич ных условия, полученных путем линеаризации уравнений нераз рывности и соотношения для энтропии газа. Уравнение нераз рывности для потока газа в тракте запишется (с учетом уравне ния состояния) так:
О = pwF = |
■ |
(4.5) |
После линеаризации соотношения (4.5) и приведения вариаций параметров к безразмерному виду находим первое граничное условие (в обозначениях для начала тракта):
Sta-f o/?=oOBX-f 87’вх, |
(4.6) |
где 6GBX— относительная вариация расхода газа |
в начале |
тракта; |
|
бГвх — относительная вариация .температуры газа в начале тракта.
180
Энтропия газа связана термодинамической зависимостью с его температурой н давлением [23]:
s = cp ln T — R ln p-\-const. |
(4.7) |
|
Линеаризовав зависимость (4.7) |
и приведя вариации параметров |
|
к безразмерному виду, находим |
второе граничное условие для |
|
начала тракта (х = 0): |
|
|
35^-——— 8р= 87’вХ, |
(4.8) |
|
где к — показатель адиабаты газа. Третье граничное |
условие |
|
для выходного сечения тракта |
(х=1) определится уравнением |
|
расхода газа через сопло (для |
докрнтнческого режима |
истече |
ния) [23]: |
|
|
или в линеаризованном виде (в безразмерных вариациях)
&От+ -± -& Г -(1 -а )* р = а * р и, |
(4.10) |
||
где рп, бри — давление и относительная |
вариация |
давления за |
|
выходным соплом; |
|
|
|
JL |
'і±1 |
|
|
2 (pjp) * — (*■+ DOWP) * |
(4.11) |
||
— |
*+і ’ |
||
|
2ч. (РнІР)1 —Он/p) х
График для коэффициента расхода газа через сопло а приведен на рис. 4.1. При критическом или сверхкритическом перепаде давления на сопле а = 0, так как в этом случае величина расхода не зависит от противодавления ра. Использовав линеаризованные зависимости, полученные из уравнения неразрывности (4.5) и соотношения для энтропии газа (4.7), переходим в граничном условии (4.10) к вариациям основных параметров: скорости Sw и энтропии ös. В итоге находим окончательную форму третьего граничного условия (х = 1):
bw----Y 8s — ^ ----aj 8/>=aSpH. - (4.12)
При выводе третьего граничного условия пренебрегли временем распространения энтропийных и акустических волн по длине соп ла, а также трением в нем. Граничные условия <(4.6), (4.8) и (4,12) содержат три внешних возмущающих параметра: относи
18t
тельные вариации расхода и температуры газа на входе бGBX, бГвх я давления за срезом сопла, т. е. на выходе (при докритическом режиме истечения), бр н. Связь этих вариаций с параметра ми других агрегатов двигателя будет рассмотрена ниже.
Подставив искомые периодические решения (4.4) в граничные условия (4.6), (4.8) и (4.12), находим соотношения для постоян ных А , В и С. Использовав полученные значения постоянных, из
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,3 |
P.S |
рн/р |
Рис. 4.1. Зависимость коэффициента расхода через сопло а от перепада давления рн/р и показателя адиабаты ѵ.
соотношений (4.4) определяем решения для амплитуды колеба ний давления в начале газового тракта (х = 0)
Ьр(0) = ~ - |
j^/cM |
а ^ ( е - ''“х' — е 1'“'") — ( е - ,'“т' + |
е '“':’') X |
||
|
X (SÖBX+ S f BX) + |
( e - ' - . 8 f BX+ 2 a 8 ^ ) |
|
(4.13) |
|
и колебаний давления в конце газового тракта |
|
|
|||
|
V 1 |
|
|
|
|
Ьр(1)= |
хМ Гх— |
Д ^ 0 — |
/сох' 0ІШ" j 2 0 іш ( х г—т ) |
|
|
_____ _ |
X |
||||
|
D [ |
|
|
|
X (8Ö3X + S7BX)+ ^ - [(1 - V.M)e - '- ' + (1 + XM) e '- 'J X
(4.14)
182
где D = (/ — 1) Me- |Ш' 1-}- |
•*. — 1 |
a |
* M - |
(1 — |
— |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2% |
|
aJv.M+1 |
(l+ x M )e 'a |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M — w/a.— число Маха; |
|
|
|
|
|
|
|||||
т ' |
■ ^ /^ |
— время 'прохождения акустической волной длины |
||||||||||
|
I |
|
тракта по потоку; |
|
|
|
|
|
||||
T" |
|
|
|
прохождения |
отраженной |
акустической |
||||||
-------------- время |
||||||||||||
|
(1 — М ) а |
волной длины тракта |
(против потока); |
|
||||||||
|
|
I |
„ „ |
|||||||||
|
|
|
|
прохождения длины тракта |
|
|||||||
|
т , = — — время |
энтропийном |
||||||||||
|
|
W |
волной |
(время пребывания газа в тракте); |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
I. — длина тракта; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
w —■скорость газа в тракте; |
|
|
|
|||||||
|
|
а |
— скорость распространения звука в газе. |
|
||||||||
т—. |
|
т. . |
m |
f-u w |
и ши. |
|
|
|
|
„ |
_ |
|
Параметр |
у.М = — = — |
= -— эквивалентен параметру а |
для |
|||||||||
|
|
|
а |
а 2 |
р |
|
|
Для |
амплитуды вариации |
|||
гидравлических трактов (см. гл. III). |
||||||||||||
температуры решение имеет вид |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
8 f(/)= e - ''“HSfnX+ ^ |
i ( l - e - ' ' “n)8^. |
^ |
(4.15) |
||||||
Решения |
(4.13)-У (4.15) |
описывают динамические характеристи |
ки газового тракта с энтропийными волнами в широком диапазо не частот. Наличие энтропийных волн, возбуждаемых колебани ями температуры газа на входе в тракт с амплитудой бГВх, при водит к изменению уравнений для передаточной функции газового тракта.
Для расчетов динамических характеристик газового тракта двигателя необходимо конкретизировать граничные условия (4.6), (4.8) и (4.12), установив связь коэффициентов этих соотно шений и вариаций возмущающих воздействий с параметрами соседних (по схеме) элементов. Для камеры сгорания и газоге нератора, в которых газ образуется в результате сгорания жид ких компонентов, температура продуктов сгорания зависит от соотношения расходов жидких компонентов:
|
т = /( К ), |
||
где |
Д-'_ G0 (ß |
*г) . |
|
G r iß |
Тг) |
||
|
0 0, Gr— расходы окислителя и горючего;
тг — время преобразования жидких компонентов' в продук ты сгорания, которое служит для аппроксимации кри вой выгорания.
183
В линеаризованном виде зависимость между вариациями температуры газа в начале тракта и расходов жидких компонен тов запишется так:
= Ф[80о V - тг) - 8Gr (/ - тг)], |
(4.16) |
где 8G0, 8Gr — относительные вариации расходов жидких ком понентов, поступающих в газовый тракт через форсунки;
, К дТ
б—— — — наклон зависимости температуры продуктов
сгорания от соотношения расходов окислителя и горючего.
Вариация расхода газа на входе в тракт определяется линеари зованным уравнением баланса расходов
80« = т ~ т г - 30о (t- |
тг)+ — |
8Gr (t - тг). |
(4.17) |
Go -i- Gr |
G0 + |
Gr |
|
Если подставить соотношения (4.16) и (4.17) в граничные усло вия (4.6) и (4.8), то окажется, что внешними возмущающими воздействиями, определяющими колебания ее расхода и темпе ратуры газа, являются колебания расходов жидких компонентов, поступающих в камеру сгорания или газогенератор.
Третье граничное условие (4.12) пригодно и для камеры сго рания (а= 0), II для газогенератора. Для газового тракта за тур биной (газовода), в который поступают не жидкие компоненты, а генераторный газ, граничные условия (4.6) и (4.8) необходимо записать по-другому. Расход газа через турбину определяется уравнением (4.9), температура газа — температурой газа перед турбиной и падением температуры из-за срабатывания части теплоперепада на турбине. В первом приближении изменением температуры из-за колебаний теплоперепада можно пренебречь. В линеаризованном виде соотношение для расхода газа через турбину запишется так:
В0т--= (1 -ат)5Л г- ^ - 8 Г т + ат8/Л„ |
(4.18) |
где оргг, Ьрм— относительные вариации давления в газогенерато ре и газоводе (газовой магистрали);
8ГТ— относительная вариация температуры газа перед турбиной;
ат— коэффициент расхода для турбины, определяемый зависимостью (4.11).
Подставив вариацию расхода öGT вместо öGBx, а вариацию температуры 6Ттвместо 6Твх в соотношения (4.6) и (4.8), найдем два граничных условия для газового тракта за турбиной. По следнее, третье, граничное условие используется в форме зависи
184
мости (4.12), в которой коэффициент а определяется по формуле (4.11) в зависимости от перепада давления на выходном устрой стве (сопло, форсунки и т. д.), а вариация брп— колебания дав ления за выходным устройством газового тракта.'
На рис. 4.2 приведены для сравнения амплитудно-частотные характеристики газогенератора с учетом энтропийных волн
(ф> = —1) и без учета энтропийных волн |
(і[з = 0), рассчитанные пси |
||||
формуле (4.14). Энтропийные |
волны существенно |
сказываются |
|||
на динамических |
характерис |
|
|
|
|
тиках газогенератора как при |
сурш |
|
|
|
|
низких, так и при высоких час |
'CFGo |
|
\,Цг=0 |
/ |
|
тотах. Для камер сгорания, для |
|
|
|||
которых наклон температурной |
|
|
|
|
|
кривой ф незначительный, вли |
|
г |
|
|
|
яние энтропийных |
волн суще |
0,5 |
|
|
|
ственно меньше. |
|
|
Ѵ - к '—д |
||
|
|
|
|||
|
|
\ |
/ |
||
4.3. ПРИБЛИЖЕННЫЕ |
V |
/ |
|||
|
|
ЗАВИСИМОСТИ
При расчетах динамических характеристик всего двигателя полученные соотношения (4.13) и (4.14) оказываются слишком громоздкими, существенно ус ложняющими методику расче
та. В ряде случаев для расчетов в диапазоне относительно невы соких частот (до 30—50 Гц) можно воспользоваться менее точ ными, приближенными, но более простыми уравнениями.
Заметим, что для газовых трактов обычно число Маха М<сГ и соответственно т'~т"^Ца. Учтя это замечание и ограничива ясь диапазоном частот, в котором (ш//а)<СІ, можно разложить в ряд экспоненциальные члены
.ыі
еа = 1 +/(<о/)й),
оставив только первые члены разложения. При этом необходима учитывать, что
М |
w |
Ца |
Ѵ_ |
а |
I jw. |
« l, |
|
|
ті |
и поэтому временем пробега энтропийных волн пренебрегать нельзя, так как оно существенаао больше времени пробега длины тракта акустическими волнами. Таким образом упрощения сво дим к пренебрежению акустическими эффектами, т. е. распреде ленностью системы по давлению и скорости газа, не отказываясь
185