Уравнение для вариации адиабатической работы найдем, ес ли в соотношение (5.7) вместо 6ргг подставим вариацию давле ния перед турбиной брт из уравнения (7.31). После преобразова ний находим
8£а.д= 87\ + ßT(8р.г - оры)= |
- -L (ßT+ ^ ) X |
Амплитуда вариации расхода газа через турбину для этого слу чая определяется уравнением (7.34). Подставив независимость
для вариации мощности турбины (5.6) бГад, бGT и бт)т из формул (7.34), (5.13) и (7.67), после преобразований находим
8л , +
ДтГ1
Ч>С ОП. -
Dt9
т тр (1
Если подставить достаточно громоздкую зависимость (7.70) в- общее уравнение турбонасосного агрегата с уравнениями для ва риаций мощности насосов, то найдем уравнение ТНА с учетом гидравлического сопротивления газового тракта газогенератора. Получить это общее уравнение нетрудно, но из-за громоздкости приводить его не будем.
7.5. МЕТОДИКА РАСЧЕТА ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
Выше были приведены линеаризованные уравнения динамики основных элементов двигателя: жидкостных магистралей, газо вых трактов, ТНА и регуляторов (гл. VI). В систему уравнений двигателя обобщенной схемы (см. рис. 7.1) входят четыре гидрав лических магистрали, три газовых тракта (камера сгорания, газовод II газогенератор), ТНА п несколько уравнений (в зависи мости от схемы регулирования) регуляторов.
Соответственно система уравнений состоит пз десяти или большего числа линейных дифференциальных уравнений, имею щих члены с запаздывающим аргументом. В матричном виде сис тему уравнений динамики двигателя можно записать так:
где а — квадратная матрица коэффициентов при производных от вариаций параметров;
b — матрица коэффициентов при вариациях параметров;
с— матрица коэффициентов при членах с запаздыванием;
т— матрица запаздываний;
d — матрица коэффициентов правой части уравнений при внешних возмущающих воздействиях;
Ьх — вектор (столбец) переменных — вариаций параметров двигателя;
оу — вариации внешних возмущающих ‘воздействий.
Вкачестве внешних возмущающих (управляющих) воздей ствий в системе регулирования служат обычно изменения про ходных сечений дросселирующих элементов регуляторов. Напри мер, на рис. 7.1 приведены четыре дросселирующих устройства на четырех гидравлических трактах, которые создают четыре воз
мущающих воздействия: öF0i, öFrl, öF0Z и 6 АГ3. Для двигателя как исполнительного органа системы управления ракетой внеш ними управляющими воздействиями (со'стороны системы управ ления) служат изменения положения соответствующих приводов, изменяющих положение дросселирующих элементов или настрой ку внутридвигательных регуляторов.
При анализе продольной устойчивости ракеты внешними воз мущающими воздействиями для двигателя служат колебания давления на входе в насосы ТНА (дроо и брго на рис. 7.1).
Матрицы коэффициентов а, Ъ, с, г и d для двигателя обобщен ной схемы приведены в виде таблиц в Приложении. Формулы ко-
298
эффициептов уравнении динамики, представленные на этих таб лицах, относятся к наиболее простым случаям описания процес сов в элементах двигателя: без учета акустических эффектов и сжимаемости жидкости в гидравлических трактах; без учета гид равлических потерь в газовых трактах газогенератора и газово да; без учета реактивности турбины, а газогенератор — без рас
пределенного выхода.
В качестве внешних возмущающих воздействий в указанной таблице фигурируют указанные выше шесть величин ö F0], öFn , è F о з , 6Fr3, ö / J q o и 6 / J r o . Естественно, что конкретные расчеты про водятся для каждого возмущающего воздействия в отдельности.
При выводе уравнений динамики элементов Ж РД были при няты меры, чтобы в каждом уравнении для одной переменной было не более одного члена с запаздыванием. Если таких членов оказывалось больше (например, в уравнениях газовых трактов), то вводились дополнительные уравнения. Благодаря этому все уравнения системы (7.71) имеют единообразную простую форму, что существенно упрощает расчет динамических характеристик на ЭЦВМ.
Динамические свойства двигателя, как уже отмечалось, наи более полно характеризуются его амплитудно-фазовыми характе ристиками, которые описывают установившиеся гармонические вынужденные колебания параметров системы, возникающие под воздействием гармонического внешнего, возмущения. Для на хождения чисто периодического решения системы (7.71) подста вим в матричное уравнение вместо вариаций искомое частное периодическое решение и периодическое возмущающее воз действие:
Ьх = ЬхеІШ; Ъу= Ъу&ш‘, |
(7.72) |
где ох— безразмерная амплитуда вектора, компонентами кото рого являются амплитуды вариаций параметров дви гателя;
Ьу — безразмерная амплитуда вариации внешнего пара метра.
Подставив соотношение (7.72) в уравнение (7.71), приводим мат ричное уравнение к следующему виду:
(іш-\-Ь-\-се.~Ых)Ьх=йЬу. (7.73)
В результате из четырех вещественных матриц а, Ь, с и т полу чаем одну квадратную матрицу с комплексными членами, завися щими от частоты. Система дифференциальных уравнений (7.71) подстановкой искомого периодического решения сводится к сис теме алгебраических уравнений (7.73) с комплексными коэффи циентами. Система линейных алгебраических уравнений решает ся обычным способом. Например, для амплитуды t-ro параметра
Ьхі решение имеет вид
где А — определитель системы (7.73); Ді — алгебраическое дополнение, полученное заменой і-го
столбца определителя А на столбец коэффициентов пра вой части d.
На ЭВЦМ имеются стандартные программы расчета определите лей с комплексными членами. Решения уравнений (7.74) прово дятся для ряда частот вынужденных колебаний со во всем диапа зоне, представляющем интерес. В результате находятся частот ные характеристики двигателя
|
■ Щ - = W i («о) = / ? , (со) + |
/У; Н = = Л ; |
(со) е - ,9' ( " ) , |
|
sу. |
|
|
где Ri (со); |
У; (со)— вещественная н мнимая части АФХ двигателя; |
.Д;(со); |
f t (ш)— амплитудная |
и сказовая |
частотные характе |
ристики двигателя.
Полученные амплитудные и фазовые частотные характеристики являются исходным материалом для анализа особенностей дина мических характеристик двигателя, для расчетов систем управ ления двигателя и ракеты и для анализа продольной устойчиво сти ракеты.
Г Л А В А VIII
УСТОЙЧИВОСТЬ и точность
СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ
8.1. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ДВИГАТЕЛЕЙ
В первой главе было показано, что основное требование к системе регулирования — точное поддержание регулируемых па раметров при достаточном запасе устойчивости. Как на точность работы, так и на устойчивость системы регулирования суще ственное влияние оказывают особенности схемы и параметры двигателя, от которых зависят динамические и статические ха
рактер истики двигателя. |
|
схемы и параметров |
Для выяснения влияния особенностей |
Ж РД на динамические |
характеристики |
двигателей составим |
уравнения динамики основных элементов |
(см. матрицы коэффи |
циентов в Приложении). Рассмотрим два варианта схем, которые можно легко получить из обобщенной схемы двигателя (см. рис. 7.1): схему без дожигания генераторного газа (типа «жид кость— жидкость») и схему с дожиганием генераторного газа (типа «газ— жидкость»). Оба варианта рассматриваются без до полнительных насосов и с окислительным однозонным газогене ратором, а турбины — без распределенного выхода и без учета реактивности. Уравнения основных элементов для двух вариан тов двигателя практически остаются одними и теми же, за исклю чением отдельных коэффициентов и уравнений, на которые ока зывает влияние вариант схемы.
Для простоты примем, что рабочие точки насосов и турбины лещат на максимумах напорных характеристик и кривых к. п. д. для насосов и турбины, т. е.
Фоо= фог= ^ = №г= ф*,= 0 .
Соответственно ф„ 0 = ф7гг=2 .
Кроме того, примем, что для схемы типа «жидкость — жидкость»
Р г т __ |
P r г _ |
Р к |
Р к |
о |
& Р о \ |
ДДгі |
АроЗ |
АРгЗ |
|
и соответственно1
^ Р ң . О |
|
^ Р п . Г |
|
Арн.г Q |
± Р о \ |
4/>оЗ ■ |
Ар,-! |
|
АРі-з |
«газ — жидкость» примем, что |
ргг |
Р ,-Г J -4- |
- |
Р к — 0 65' |
ДРоІ |
АРг1 |
|
А р г3 |
и соответственно) |
|
|
|
|
Ьрн.п |
Ѵ н Г |
.— 5, |
іа |
йл— —5. |
Ароі |
APrl |
|
|
|
Во всех случаях турбина работает на критическом режиме, т. е.
ССт = ß-p = 0.
Все коэффициенты уравнений приведены на табл. 8.1 для схе мы типа «жидкость — жидкость» и на табл. 8 . 2 — для схемы типа «газ — жидкость».
Кроме указанных выше принятых условий при составлении уравнений, сделаны следующие допущения: для ТЫА пренебрег ли мощностью, определяемой малыми расходами компонентов в газогенератор, а мощности насосов окислителя и горючего при няли одинаковыми; отбросили во всех уравнениях газового трак та ікак малые члены с коэффициентами (хг—1 )/хг и (хк—1 )/хк и считали фк= 0 , т. е. пренебрегли колебаниями температуры в ка мере сгорания, а для газогенератора приняли фГг = — I. В каче стве постоянных времени в матрицах а п т были выбраны некото рые круглые цифры.
Для расчетов динамических характеристик двигателей ис пользуются уравнения (7.73) и (7.74), в которые подставляются матрицы коэффициентов а, Ь, с, т и столбец правой части dl. На рис. 8.1—8.4 приведены-амплитудно-фазовые характеристики дви гателя типа «жидкость — жидкость», коэффициенты уравнений динамики которого даны в виде матриц на табл. 8 .1 .
При внесении возмущения путем изменения проходного сече ния дросселя на магистралях окислителя (рис. 8 .1 ) и горючего (рис. 8 .2 ) газогенератора поведение параметров элементов дви гателя, находящихся до ТНА (газогенератора и его гидравличе ских магистралей) резко отличается от поведения кривых АФХ для ТНА и элементов за ТНА (камеры сгорания и ее гидравли ческих магистралей). Амплитуда колебаний параметров элемен тов, -находящихся до ТНА, при изменении частоты в пределах до
© = 300 1/с |
(50 Гц) |
изменяется незначительно, причем для неко |
торых параметров |
(ÖGri/öAi; б^гг/бТ’оі и т. д.) амплитуда снача |
ла падает, |
а затем вновь начинает расти. Таким образом, по всем |
