Наличие в системе хотя бы одного существенно нелинейного звена приводит к появлению ряда важных особенностей, которые не встречаются в линейных системах. В первую очередь это от носится к вопросу об устойчивости системы. Для линейной систе мы возможно два состояния: или система устойчива и любое возмущение, поступающее извне, затухает, либо система неустой чива и любое возмущение приводит к потери устойчивости си стемы^—-возникают колебания, амплитуда которых растет не ограниченно.
Если в системе имеются нелинейные звенья, то при потере устойчивости амплитуда колебаний оказывается ограниченной — в системе возникают устойчивые колебания с постоянной ампли тудой — автоколебания. В отличие от линейной системы на устойчивость нелинейной системы оказывают влияние началь ные условия: одна и та же нелинейная система может оказаться устойчивой при малых внешних возмущениях и неустойчивой при достаточно большой их амплитуде, т. е. устойчивой «в малом» и неустойчивой «в большом» (жесткий режим возбуждения авто колебаний) .
Задачи об устойчивости нелинейной системы решаются раз личными способами [68]. Точные методы решения (методы фазо вых траекторий, точечных преобразований, прямые методы Ля пунова и т. д.) применимы к ограниченному классу систем невы сокого порядка. Эти методы непригодны для таких объектов, как ЖРД, описываемых уравнениями высокого порядка с запазды вающими аргументами. Таких ограничений не имеют приближен ные методы исследования устойчивости, основанные на гармони ческой линеаризации нелинейностей.
9.2. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ Ж РД
Для расчета переходных процессов в двигателе при переходе с режима на режим (глубокое регулирование) необходимо ис пользовать .нелинейные уравнения всех элементов двигателя. Выведем эти уравнения.
9.2.1. Уравнения газового тракта
Примем, что течение газа в газовых трактах Ж РД (газогене ратор, камера сгорания, газоводы) является адиабатическим, т. е. вязкостью и теплопроводностью газа будем пренебрегать. При этом сам газовый тракт считаем цилиндрическим, а объе мами сопла (или соплового аппарата турбины) и зонами рабо чего процесса пренебрегаем. Кроме того, принимаем, что ско рость газа в рракте относительно невелика (т. е. М-С>1), и счи таем, что изменение давления вдоль тракта др/дх=0. В этом случае из системы уравнений движения газа (4.2) выпадает уравнение импульса и в результате получаем следующую систе-
му уравнений движения газа:
|
dp , |
д (рw ) |
0 ; |
(9-1J |
|
d t . |
д х |
|
|
|
|
d s |
W d s |
0. |
(9.2) |
|
dt |
d x |
|
|
Плотность газа связана с давлением и энтропией термодинами ческим соотношением
>—£л = с,, In (— I — с„ ln f —£0-
\Ро
которое удобно представить в виде
|
s —s 0 |
|
Р = Ро —РО 1 |
V |
(9.3) |
|
где s0, р0, р0— значения параметров газа в некотором фиксиро ванном состоянии;
''■=Cpjcv — показатель адиабаты газа.
Уравнение неразрывности (9.1)'проинтегрируем по длине газово го тракта от х= 0 до х — 1:
|
I |
|
|
|
|
|
|
Р</*+ (Р®)в -(ри>)вых=0. |
|
(9.4) |
|
о |
|
|
|
|
|
где |
(рад),,*, (р™)вых — значения |
соответствующих |
комплексов в |
|
начале |
тракта (х = 0) и в |
конце |
тракта |
|
(*=/). |
|
|
|
(9.3) и |
Подставив в уравнение (9.4) плотность из зависимости |
умножив все члены на площадь поперечного сечения тракта F, |
найдем |
|
|
|
|
|
|
I |
1_ |
_ S —Sq |
|
|
|
PaF\iiYYe |
Срdx=o°*-G°™ |
|
(9-5) |
|
6 |
|
|
|
|
|
где |
Ол = Р ( pw)^; ОвЫХ= |
/ г (рто)выХ- |
|
|
Для удобства введем безразмерные параметры: |
|
|
|
Р = Р І Р 01 Г = Г / Г 0 ; G B X = |
G B X / G 0 ; 0 в Ь 1 х = О |
в Ы х / ( ? 0 ; |
|
S= S/Cpi Sq~ S qIс
где индекс «О» соответствует номинальному режиму работы дви гателя.
Кроме того, введем вместо продольной координаты х время пребывания газа в газовой емкости от момента его образования
до поступления в сечение с координатой х:
X
7" : W *
где w — скорость газа в емкости. Время пребывания газа, а значит, и скорость газа в емкости при изменении режима работы двигателя изменяются незначительно. Действительно, в газоге нераторе, в котором соотношение компонентов не ірегулируется, температура при переходе с режима на режим изменяется 'боль ше, чем в камере сгорания, — обычно на 10—30%. При критиче ском режиме истечения время пребывания определяется зависи мостью
_ v _ _ j w o _ _ i / r_Ä7o_
т0 |
w |
V |
R T |
’ |
из которой видно, что время пребывания |
изменяется незначи |
тельно—в пределах 5—15% — при достаточно существенном из менении других параметров. Так же незначительно изменяется и скорость газа в тракте ад.
Из-за малости изменения скорости газа можно пренебречь ее-производной по времени и в первом члене уравнения (9.5) вынести ад из-под знаков интеграла и производной. В результате получаем
(9.6)
о
где 1iy= llw — текущее время пребывания газа в емкости (из меняется во времени).
Если воспользоваться принятым уже условием, что скорость газа изменяется незначительно, то для порции газа, поступившей
в газовый тракт, можно принять, что ад «const. |
В этом случае |
уравнение (9.2) имеет простое решение: |
|
или в безразмерном .виде |
|
|
|
(* -*), |
(9-7) |
где |
— энтропия газа на входе в тракт; |
|
|
s — энтропия газа в сечении с координатой х, для которо |
|
го т = д:/ад. |
в начале тракта, связана с |
Энтропия газа, образующегося |
давлением и температурой таза * |
|
|
|
s - s Q= c p l n ^ -----R l n - Z - . |
(9.8) |
|
то |
Ро |
|
* |
П р едп ол агается , что газ обр азов ал ся |
из ж и д к и х ком понентов м гновенно. |
Тогда для энтропии газа в любом сечении тракта можно запи сать
s ~ T 0 = s ^ { t — x ) - F0 = ln [f в (* - г)] - ^ |
ln [£(/ - 1 )]. (9.9) |
У.
Здесь TM= T BxjT0— относительная температура газа на входе в газовый тракт (после завершения процесса сгорания).
Уравнения (9.8) и (9.9) описывают движение энтропийных волн (см. § 4.1), образующихся в начале тракта и двигающихся со скоростью газа. Подставив зависимость (9.9) в уравнение га зового тракта (9.6), после интегрирования но частям и преобра зований получаем
1 т, |
\ * |
d p |
i' [р (t — т)] |
■dr |
xi |
Ір У Х |
|
— |
І р У |
± г г |
\ |
|
|
|
|
T'nx ( t |
|
г) |
т0 |
|
|
т0 |
|
dt |
J |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X — |
1 |
X — |
1 |
|
|
|
X |
[pit —Tl)] |
|
|
|
|
= |
О вх — О вых- |
(9.10) |
Т В Х |
— |
Т |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При преобразованиях использовалась связь |
|
|
|
|
P ow F |
|
wр F0 |
|
w |
T j |
|
|
|
|
G0 |
|
?owof |
|
wo |
xo |
|
|
где то — время |
пребывания газа |
в |
тракте |
на номинальном ре |
жиме. |
|
|
|
|
|
емкости |
(9.2) |
имеется реше |
Для второго уравнения газовой |
ние (9:7), которое связывает энтропию газа на входе в тракт с энтропией газа в любом сечении тракта.
Для расчета мощности, развиваемой турбиной, необходимо знать температуру и давление газа на входе в сопловой аппарат турбины. Давление в газогенераторе находится в результате ре шения дифференциального уравнения (9.10), температуру же га за на входе в сопловой аппарат турбины можно определить, вос пользовавшись решением (9.7), подставив в него термодинами ческую зависимость (9.8) для энтропии газа. В результате нахо дим связь между параметрами на входе в тракт и параметрами в любом сечении тракта:-
Т |
= Т |
в Х(*—*l) |
(9.11) |
1 |
в Ы Х 1 |
р (t — Tl) |
|
|
|
где Твт= Т вЫХ)Т0— относительная температура газа да. выходе из газового тракта.
Температура газа на входе в газовый тракт, в котором происхо дит горение компонентов (камера сгорания, газогенератор), за висит от соотношения компонентов, 'поступающих через головку. Достаточно сложный процесс сгорания жидких компонентов так же, как это делается обычно при анализе устойчивости рабочего процесса (см. § 1.7), заменим чистым временным запаздывани ем хг:
|
|
|
|
Тл = / |
G0 — тД |
|
(9.12) |
|
|
|
|
Gr(t —хг) _ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
Оо = |
Оо/Ос0; (7г = |
Ог/Ог0 — относительные |
расходы |
жидких |
|
хг— время |
|
|
компонентов через головку; |
|
запаздывания в преобразовании жидких компо |
|
|
нентов^ газообразные продукты сгорания. |
|
|
Функция f(Go/Gr) |
определяется по результатам термодина |
мических расчетов, или по экспериментальным данным |
(для га |
зогенераторов) |
[5]. |
|
|
(сопла, соплового |
|
Расход таза |
на выходе из газового тракта |
аппарата, |
форсунок и т. д.) определяется уравнением |
газовой |
динамики: для докритического режима истечения газа, |
т. е. при |
, |
^ |
( |
2 W(*-i) |
в относительных переменных |
|
PnlР J> |
------- |
> |
|
Здесь — относительное давление газа за выходным СО ЛО
противлением; Рно—-давление таза за выходным .сопротивлением
на номинальном режиме.
Расходы жидких компонентов в головку определяются в ре зультате решения уравнений динамики жидкостных трактов (см. §9.2.2).
В ряде случаев для ориентировочных расчетов переходных процессов можно воспользоваться приближенными уравнениями динамики газового тракта. При выводе приведенных ранее урав
