нений газового тракта 'предполагалось отсутствие теплообмена и обмена массой как с внешней средой, так и между соседними слоями газа в тракте. Так же, как в случае анализа линейной динамики (см. § 4.8), .воспользуемся другим крайним предполо жением о характере процесса в тракте, считая, что в объеме газа происходят очень быстрые процессы обмена теплом л массой и благодаря этому параметры газа во всем объеме тракта в каж дый момент практически одинаковы. Такая модель процесса с полным мгновенным перемешиванием, хотя и более грубая, чем модель с адиабатическим характером процесса, имеет преимуще ство с точки зрения простоты получающихся дифференциальных уравнений. Динамика процесса в газовом тракте в этом случае описывается двумя уравнениями:
уравнением баланса массы
|
dQ |
:<Лк— <Лых |
(9.15) |
|
dt |
|
|
|
|
и уравнением энергии |
|
|
|
- (c{ t q ) = с рт * а л - с рт о а т , |
(9.16) |
где Q — количество газа в тракте;
Т — температура газа во всем объеме тракта;
Т& — температура газа на входе в тракт в момент образо
вания газа.
Масса газа в объеме газового тракта находится из уравнения состояния газа
где V — объем газового тракта;
R— газовая постоянная газа;
р— давление в емкости.
После несложных преобразований уравнений (9.15) и (9.16) с учетом зависимости (9.17) и приведения всех переменных к от носительной форме находим
|
т0 |
d p |
R T B -{k0Go-\-Gr) — RTGBblx; |
(9.18) |
|
х |
dt |
*0+1 |
|
d{RT) |
RT |
|
xRTn — RT (*o00+ Or)— (x — 1) /?7'08Hx. |
dt |
|
|
*o + l |
|
|
|
|
|
(9.19) |
где |
|
|
k0= —9---- соотношение компонентов на номи- |
|
|
|
0г |
|
нальном режиме;
RT = д T ■; RTbs_=^~^ — относительная работоспособность
“То |
“'О |
|
1 кг газа в объеме тракта и на вхо |
|
де в тракт. |
Уравнения (9.10) и (9.11) или уравнения (9.18) и (9.19) описы вают неустановившееся движение газа в тракте при одновремен ном изменении расходов на входе GBX и выходе GBых и темпера туры поступающего газа Твх. Причиной изменения температуры может служить изменение соотношения компонентов (для камер сгорания и газогенераторов) или изменение температуры газа в предшествующем агрегате (для газовода). В последнем случае для определения температуры на входе в тракт вместо зависи мости (9.12) необходимо использовать уравнение (9.11) или (9.19) для температуры на выходе из газового тракта предше ствующего агрегата.
Для газо'вода, кроме того, можно учесть падение температу
ры газа за счет работы турбинй [66]: |
|
|
|
д7’т = Ь Д д , |
(9.20) |
|
|
|
еР |
|
|
где Z-ад— адиабатическая работа газа в турбине; |
|
Лт— к. п. д. турбины. |
|
|
|
|
9.2.2. Уравнения гидравлического тракта |
|
Движение жидкости |
в |
гидравлическом тракте |
описывается |
уравнейиями гидромеханики: |
|
|
|
dw . |
1 |
др I |
£ w I w — = 0; |
(9.21) |
dt |
р |
дх |
|
2аГгидр |
|
|
|
др_ |
Ра2 |
dw |
о. |
(9.22) |
|
dt |
|
дх |
|
|
В уравнениях (9.21) и (9.22) опущены конвективные члены, так как ранее (ем. § 3.2) было показано, что для течения жидкости
втракте М<С 1 и что этими членами можно пренебречь.
Вобщем виде уравнения (9.21) и (9.22) не решаются. Су ществует ряд-приближенных методов решения уравнений неуетановившегося движения [11], из них применительно к решению на ЭЦВМ наиболее удобным оказывается метод характеристик.
Уравнения в частных производных |
(9.21) и (9.22) относятся |
к уравнениям гиперболического типа, |
и интегрирование этих |
уравнений можно заменить интегрированием двух обыкновенных дифференциальных уравнений:
dp-\-padw-{-£р— |
— wdx; |
(9.23) |
^гндр |
|
d p — padw-\-%p— |
— w dx, |
(9.24) |
2 г і гн я р |
|
которые справедливы вдоль кривых в плоскости х — і, называе мых характеристиками и описываемых соотношениями
dx — adt — 0; |
(9.25) |
dx-\-adt— 0. |
(9.26) |
Уравнение (9.23) выполняется вдоль характеристики, описывае мой соотношением (9.25), а уравнение (9.24)— вдоль обратной характеристики, описываемой уравнением (9.26). Если скорость звука вдоль тракта не изменяется, то уравнения характеристик (9.25) и (9.26) легко интегрируются:
|
|
|
|
x — a t— x Q— at0\ |
|
(9.27) |
|
|
|
|
x-j- a t = x 0-\-atQ, |
|
(9.28) |
где хо, U — координаты некоторой фиксированной точки |
в плос |
|
кости X— t. |
|
|
|
|
идущие |
Уравнения |
(9.27) |
и (9.28) описывают прямые линии, |
|
|
|
|
в различных направлениях в плос |
|
|
|
|
кости X—t (рис. 9.3), причем угол |
|
|
|
|
наклона характеристик |
определяет |
|
|
|
|
ся скоростью звука а. |
|
|
|
|
|
|
Идея метода характеристик за |
|
|
|
|
ключается в том, что дифференци |
|
|
|
|
альные уравнения (9.23) и (9.24) за |
|
|
|
|
меняются |
уравнениями |
в конечных |
|
|
|
|
разностях. |
Например, для характе |
|
|
|
|
ристик, идущих из точек 2 и 3 и пе |
|
|
|
|
ресекающихся в точке 7, можно за |
|
|
|
|
писать |
|
|
|
Рис. 9.3. Сетка характери |
|
|
|
|
стик В ПЛОСКОСТИ X — t |
|
|
|
|
|
(Pi - |
Pi) + |
pa К |
- |
« Ъ Ж 2 Р |
1 щ I |
Щ (х7 —х ,)= 0 ; |
|
2гігидр |
|
|
(9.29) |
|
|
|
|
|
10*3 I |
|
|
(.Рі - |
Рг) + |
pa (®»7 - |
щ ) + Езр |
W z (х 7 — X s ) = |
0 , |
|
|
|
|
|
|
2^гидр |
|
|
|
где р ,и ) ,х ч\ — давление, скорость, координата и коэффициент гидравлического сопротивления в соответствую щих точках.
Подобные уравнения составляются для всех элементов сетки характеристик. Для решения системы алгебраических уравнений необходимо знать начальные условия
w = f x{x)\ p — f n{x ) при г?-<0 |
(9.30) |
и граничные условия
•*: —0; Р = Р Н1—Ѵи*;
х = 1\ p ^P n i — h ^ l, |
(9.31) |
|
где pni — /ц(® і, t) и Pn4 = Fi{w2 ,t) — давление перед |
входным |
и за выходным сопротив |
лениями на |
транице |
тракта. |
|
В общем случае давления раі и рВ2 зависят и от расхода жид кости, и от времени. При решении системы уравнений двигателя в целом Рпі и рв2 — давления в смежных с гидравлическим трак том агрегатах: за насосом, в камере сгорания, газогенераторе, в смежном участке гидравлического тракта и т. д. Коэффициенты местного гидравлического сопротивления Х\ и в соотношениях (9.31) могут быть постоянными, если режим течения через со противление автомодельный, или зависит от расхода. Если мест ное сопротивление имеет переменную площадь проходного сече ния (регулятор, дроссель и т. д.), то эта площадь (входящая в коэффициент Хі) определяется уравнением соответствующего агрегата.
Параметры р2, рг, w2, w2 и т. д. в уравнениях (9.29) в началь ный момент {t —0) определяются начальными условиями (9.30), а на границах тракта — в результате совместного решения урав нений (9.29) и соотношений (9.31). Так как начальные условия (9.30), граничные условия (9.31) и зависимости (9.29) в общем случае нелинейные, то их совместное решение возможно только методом последовательных приближений.
В случае, если вязким |
трением по длине |
гидравлического |
тракта молено пренебречь, |
т. е. £= 0, уравнения |
(9.23) и (9.24) |
легко интегрируются: |
|
|
р-\- paw = p0-\- paw0; |
(9.32) |
р — paw = p0— рawQ. |
(9.33) |
Если, кроме того, начальные условия (9.30) сводятся к условию постоянства давления и скорости вдоль тракта, то система урав нений, используемая в методе характеристик, существенно упро щается, так как отпадают характеристики, выходящие из про межуточных точек 2, 3, 4 (см. рис. 9.3) между границами тракта, и остается только семейство характеристик, выходящих из на чальных точек 1 и 5, для которых необходимо решать уравнения (9.32) и (9.33) совместно с уравнениями для граничных условий
(9.31).
Переходные процессы в гидравлических трактах легко рас считываются методом характеристик с помощью ЭВЦМ. В про стейших случаях можно провести расчет и без ЭВЦМ, в частно сти, графическим способом [11].
