Файл: Гликман Б.Ф. Автоматическое регулирование жидкостных ракетных двигателей.pdf

щих на систему сил. В момент начала движения сила трения приобретает максимальное значение, а затем обращается в нуль, как только скорость становится отличной от нуля.

Обычно действуют одновременно несколько видов трения: су­ хое трение и трение покоя (рис. 9.11, б), сухое и вязкое линейное трение и трение покоя (рис. 9.11, в) или в еще более сложном случае (рис. 9.11, г) сухое и вязкое квадратичное трение и трение покоя. При перемещении подвижных частей гидравлических ре­ гуляторов (плунжеров, золотников и т. д.) иногда наблюдается

R тр

а)

«прилипание» (или гидравлическое «защемление») поверхности плунжера к внутренней поверхности цилиндра, что приводит к увеличению силы трения покоя между плунжером и цилиндром. Определяющее влияние на это явление оказывают гидродинами­ ческие силы, возникающие при течении жидкости в зазоре между плунжером и цилиндром [9, 25, 50].

Нелинейные характеристики с трением покоя гармонической линеаризации в общем случае не поддаются.

9.4.3. Квадратичное вязкое трение

При турбулентном течении жидкости в зазоре между плунже­ ром и цилиндром сила вязкого трения, действующая на плунжер со стороны жидкости, зависит от суммы скоростей жидкости и плунжера и в первом приближении равна

где I — высота зазора между плунжером и цилиндром; w.M— скорость'жидкости в зазоре;

X — скорость плунжера;

X— коэффициент трения;

D — диаметр плунжера или поршня.

354

При наличии постоянного протока жидкости через зазор, т. е.

где li — ход плунжера.

Если же постоянного протока жидкости по зазору нет или он столь мал, что им молено пренебречь, т. е. шж~ 0 , то уравнение (9.52) оказывается существенно нелинейным, нелинеаризуемым.

Сила вязкого трения при движении самого поршня или плун­ жера обычно невелика. В основном вязкое квадратичное трение сказывается в элементах, подобных тупиковому катаракту (рис. 9.13). Если жидкость из полости по одну из сторон поршня выжи­ мается при его движении через жиклер или через зазор между поршнем и цилиндром, то скорость жидкости в жиклере или в зазоре связана непосредственно со скоростью движения поршня соотношением

W.х,

где Fa, Еж— площадь поршня и проходного сечения для жидко­ сти. В этом случае перепад давления на поршне прямо связан с силой вязкого трения, которую жидкости приходится преодоле­ вать при движении в зазоре или жиклере. Для определения этой связи выпишем уравнение для гидравлического сопротивления жидкости, учтя зависимость дож от скорости поршня *:

(9.53)

где б — радиальный зазор между поршнем и цилиндром.

* При этом пренебрегаем инерцией жидкости в зазоре или жиклере.

355

Таким образом перепад на поршне целиком определяется вяз­ ким трением в зазоре между поршнем и цилиндром или в жик­ лере.

Соотношения для Ар на поршне (9.53) не линеаризуется, так как стационарное значение скорости поршня х равно нулю. При расчетах переходных процессов в системе на ЭВЦМ можно поль­ зоваться непосредственно нелинейным уравнением (9.53).

Для анализа устойчивости системы и при расчетах частотных характеристик целесообразно использовать метод гармонической линеаризации нелинейности. Коэффициенты гармонической ли­ неаризации зависимости (9.53), которую можно записать в виде Ар(х) = /гтрі Iі I, равны [68]

<7 (а) = ^ Зл; д'(а) = 0, (9.54)

где а — амплитуда колебаний скорости х.

Если в качестве переменной используется не скорость, а пе­ ремещение поршня X , то амплитуда скорости, подставляемая в соотношение (9.54), будет связана с амплитудой перемещений поршня Оп следующим образом:

а= а j,«).

Вэтом случае коэффициент гармонической линеаризации бу­ дет зависеть не только от амплитуды, но и от частоты колебаний поршня.

9.5.УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ «ДВИГАТЕЛЬ — РЕГУЛЯТОРі

СНЕЛИНЕЙНОСТЬЮ В РЕГУЛЯТОРЕ

Использовав результаты гармонической линеаризации суще­ ственных нелинейностей в регуляторе, можно составить харак­ теристическое уравнение системы «двигатель — регулятор» для определения границ устойчивости системы. Как и раньше (см. § 8.2), передаточную функцию двигателя представим в следую­ щей форме:

где Ьхі — амплитуда вариации регулируемого параметра; ЗДрег— амплитуда вариации проходного сечения дросселиру­

ющего элемента регулятора.

Уравнение (9.55) описывает динамическую характеристику ли­ нейной части системы.

Уравнение регулятора запишем в форме нелинейной зависи­

356

которая в общем случае может включать в себя также уравне­ ния линейных элементов регулятора. Проведя гармоническую линеаризацию нелинейности, входящей в зависимость (9.56), по­ лучаем второе линейное соотношение:

Из соотношений (9.55) и (9.57) находится характеристическое уравнение замкнутой нелинейной системы

Выделив в уравнении ( 9 . 5 8 ) вещественную X и мнимую части Y:

Х( а , со)+іУ{а, ш)= 0

иприравняв их в отдельности нулю, находим два уравнения

(9.59) определяют частоту и амплитуду колебаний. Еслиурав­ нения (9.59) не имеют положительных вещественных корней, то система устойчива. С помощью уравнений (9.59) можно постро­ ить зависимость амплитуды и частоты колебаний системы от па­ раметров регулятора или двигателя.

При анализе нелинейной системы возникает вопрос об устой­ чивости полученного решения. Не всякое решение системы урав­ нений (9.59), определяющее частоту и амплитуду периодических колебаний, будет устойчиво. Может оказаться, что периодическое решение неустойчиво, т. е. в системе нет автоколебаний. При из­ вестных уравнениях (9.59) условие устойчивости периодического решения определяется следующим соотношением [68]:

где звездочка означает, что в частные производные, полученные путем дифференцирования зависимостей (9.59), подставляются значения амплитуды и частоты анализируемого на устойчивость периодического решения. Последние замечания связаны с тем, что неравенство (9.60) получено из анализа поведения кривой годографа Михайлова.

Кроме выполнения условия (9.60), необходимо, чтобы кривая. Михайлова во всех точках, кроме начала координат (рис. 9.14, а), не нарушала критерия устойчивости Михайлова. На рис. 9.14, б приведен возможный вариант кривой, нарушающей кри­ терий Михайлова.

Рассмотрим конкретные примеры анализа устойчивости систе­ мы «двигатель — регулятор» с нелинейностью в регуляторе пря­

357