Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

N—1

Л> ( * .

М о) =

2

(*;>

Щ) +

ф (Хц),

(5)

(=0

Ft(xlt «,) =

/°(хь ut,

/<)(ti+l — /J

при условиях

■^■i+1

(х,',

«,)--- ^i) f i.xit Uh

^i),

(6)

t = 0, 1

, ,

N — 1, a-0 = a' 6 G 0 ,

x.ea^G^),

i = o,

l

,

, tv,

(7)

. . ,

t f - 1 .

(8)

-Заметим, что задача

(5):— (8)

имеет также и самостоятельный

Если задать какие-либо дискретное управление

[ц ,]о = («о , «ь

....

uN-\) и начальное условие x0= x ^ G 0, то система

(6) однознач­

но определяет соответствующую дискретную

траекторию [ау] 0=

=

(х0= х , л'ь ..., xN). Зафиксируем некоторое

x e G 0

и через Д0(х)

соответствующую

траекторию [x j0

будем

называть

допустимыми

для выбранного начального состояния х.

Множество До{х) может

быть пустым или непустым. Если

До( х ) = 0

при всех A eG 0,

то

условия

(6) — (8)

несовместны и функционал (5)

определен

на

пустом

множестве.

Поэтому, чтобы задача (5) — (8)

имела смысл,

естественно требовать существования хотя бы одной

точки x e G 0,

для

которой

До(х )^ = 0 . Обозначим Х 0= .'{х ; x e G 0, До(х )^ = 0 }.

Тогда задача

(5) — (8)

может быть

сформулирована

совсем крат­

ко:

минимизировать

функционал

I0(x,

[«Jo)

при

[«JoeA 0(x)

и

h

(х,

I« ,U

-

s ' F° (xh

щ) + Ф (XN)

(9)

при условиях

1

i = k

xc+l = F l (xl,

Ui),

i = k ,

k

+ \ ,

, N — 1,

xk =

x £ G k,

(10)

XieGt,

i =

k,

k + \

, . . . , N ,

(11)

[щ]к = (ик,

uk+u . . .

uN- i),

UieVi,

i = k , k

+

\ , . . . ,

N — 1,

( 12)

где

точка x

и целое

число k

фиксированы,

х

— 1.

Через Ak(x)

обозначим множество всех управлений

[iii]k, таких,

что: 1) выполнены условия (12); 2) соответствующая

траектория

[* » ] * = ( * * = * ,

xh+1,

xN)

из

(10) удовлетворяет фазовым ограни­

чениям (11). Нетрудно видеть,

что если ХоФ 0 ,

то Ак( х ) ф 0

хотя

бы при одном XI= Gk. Введем функцию

inf

I k (.х, [u jfe) = Bk (x),

k = 0 ,

1, ..., N— l называемую функцией Веллмана задачи

(5) — (8).

Вк (*) = inf

[F°k (х, и) +

Bk+l {Fk (x, u))],

k = 0, 1, . . . , А/— 1,

“&Dk(x)

BN( x ) ^ Ф(х),

(13)

где Dh (х) — множество всех тех

для

которых существует

хотя бы одно управление [Ui]fe=

(uh, uk+u

...,

u^_i) е Д й(х) с ком­

понентой ик— и. Очевидно,

что множество Dk (x) и ДА(х)

оба пусты

или непусты одновременно,

и поскольку xk+l= F k (x,u),

то для не-

пустоты

этих множеств

необходимо

и

достаточно, ' чтобы

Ah+i (Fh(x, и ) ) ф 0 .

Справедливость

соотношения

(13) при k — N — 1

очевидным об­

разом

вытекает

из условия

B n (х ) з= ф (х)

и

представления

I n - i (x ,

[« Jat_ i) =

^ _ 1 ( х ,

и )

+ Ф (FN- i (х,

и ) ) , верного для любого

Докажем

(13) при k,

0 ^ k < £ N — 1.

Для этого сначала убедимся в

том, что

B k (х) <

inf [F°(x,

и) +

Bk+l (Fk (х, а))].

(14)

“£Dk(x)

Возьмем.

произвольное

u £ D k {х)

(разумеется, предполагаем,

что

А г(х) Ф

0 ) . Тогда xk+i — F k (x, и) и Afe+i(xft+i)=£ 0 . По определе­

нию Ди- i(хк+1) = inf

7ft+i(xfc+1,

[u jft+i), для любого е > 0 найдет-

ся управление i«f]fc+16 A ft+i^+i),

такое, что Вк+1 (хш ) < / fc+1 (xfe+1,

184

ДИНАМ И ЧЕСКО Е

ПРОГРАММИРОВАНИЕ.

ПРОБЛЕМА

СИНТЕЗА

[Гл.

4

[ufjfc+1)'<

Bk+i (хк+1) + е. Поскольку [u jft =

(и, иЕк+и . . .

, u^-i) 6 Вк(х),

то Вк (х) <

4

(х, [и,]Л) =

F l {х,

и) + 4+1

(JCfc+1.

I«fjfe+i) <F°k(x,

и) +

+ Bk+l(xk+i) +

e, =

F°k(x,

и) +

Bk+i (Fk (x,

u)) + e. В силу произволь­

ности u £ D k {x)

и величины е > 0

отсюда

следует

неравенство

(14).

Теперь

покажем, что в (14) на самом деле знак

неравенства мож­

но заменить знаком равенства. По определению inf

1к (х,

[и*]*) =

Вк(х),

4 м

для

каждого

е > 0

найдется

такое

управление

[yf]fe 6.Д* (х),

что,

Но

Вк(х) 'С 4 (х > [^-’i ]*) ^

Вк (х) -f- е.

поэтому

[ui]fe+i =

(wfe+i . •••. ^ - i )

6 Afc+i {Fk (x,

vk)),

ВI {x, v t ) - r B k+i(F k (x, ft)) <

F k (x, vt) +

4 + i (Fk (x, vk),

[uf]ft+i) =

— 4

(x >

'C Bk (x) + 8.

Так

как vk 6 Dk (x), то отсюда имеем

inf

[Fk (x,

u )+ B k+i(F k{x,

u ))]< B A(x) + e ,

u € D k (x)

или

в силу

произвольности е > 0

inf

[Fft (х,

и) +

В к+1 (F k (х,

и))] < Вк (х).

( 1 5 )

u £ D k (x)

4

>

Из

(14) — (15)

немедленно следует соотношение

(13).

Пользуясь уравнением Веллмана

(13), можно последовательно

определить

функции

В к (х)

и

их

области

определения

Хк,

k = N , N— 1,

...,

1,

0.

А именно B N(x) =

Ф (х ),

XNs=GN— известны.

Если известны Вк+i(x)

и Afc+i

( k ^ N — 1),

то

для

определения

Вк (х) нужно решить

задачу

минимизации

функции

ср (х,

и)

=

= F l(x ,u )+ B k+\{Fk (x,u)) переменных

и— (и1,...,

иг)

на известном

множестве

Dk (x) =

{и : « е 14,

Fk (x, и) e

4 +i},

Для

этого

могут

быть использованы методы глав 1, 2. Очевидно, функция

В к (х)

определена

в точке

х тогда

и

только

тогда,

когда

Dk (x) ф 0 .

Таким образом, при определении значений

В к(х)

одновременно

находится и область ее определения

X k =

{ x : x e G k, Dk (х) =£ 0 }

= { х : х 6 С?*, Ак ( х ) Ф 0 } .'

Так

как

Ак ( х ) ф 0

х о т я бы при одном

x e G *,

то ХкФ 0 ,

k = N ,

N - 1, ....

1„0.

Заметим, что для широкого класса задач оптимального управ­

ления знак inf в правой

части

(13)

можно

заменить на min. Об

этом говорит

186

Д ИНАМ И ЧЕ СКО Е ПРОГРАММИРОВАНИЕ.

ПРОБЛЕМА

СИНТЕЗА

[Гл. 4

=

Ф (Ут, uk (у,п))- Так *как

uk (ym) 6 Dk (ут) 6 Vk, то

в

силу

компакт­

ности Vk

последовательность {uk (ут)} (rn = 1, 2,

. . . )

имеет хотя бы

одну предельную точку v EVk. Можем считать,

что сама последова­

тельность

{uk (ym)}^ - v (т-4-оо). Поскольку F k (x,

и)

непрерывна,

X k+i

замкнуто и, кроме

того,

F k (ym, uk (ут)) 6

то lim F k [ут,

«ft (ym))=

Fk (*>v) € ^fe+1.

Это

значит,

что

и 6 Dk (х).

Тогда

■»

НшВ* (х) =

Пш Bk (ут) =

lim ф (ут, uk (ут)) >

ф (х,

v) >

z-*x

т->оо

m->oo

>

inf

ф (х, и) =

Bk (x). Полунепрерывность Вк (x)

на

доказана. А

условий (13)

и, кроме того, пусть

также

известны функции

« i(x )E flfi(x ),

x&Xfc, k = 0 , 1,..., JV— 1,

на

которых достигается

задач

(5) — (8) и (9) — (12) выписываются

совсем просто. А имен­

но оптимальное управление

[ы{]0

и соответствующая траектория

[х{]0

для задачи

(5) — (8)

определяются следующим

образом:

сначала из условия

inf В0(х) =

В0(хо)

(16)

х € Х 0

находят х0 € Х 0, затем последовательно полагают

и о = и„ (хо), х , = F 0(х0, Wq),

= и х ( x l ) ,

Ха = F x ( х * ,

и \ ) , . . .

%ы ~

F h— 1(хм— i, Un—i)

(17)

Оптимальное управление

и траектория

\x\\k

для

задачи

(9) —■

(12)

определяются аналогично

Xft — х, Uk — ик (xk) , x^_j_i — F к (Xk, Uk) , •••

xN ~

F n—i (xn—\,

Un—\).

(18)

Для доказательства .этих утверждений

введем вспомогательные

функции

Ri(x,

u) = 5 i+i(F i(x ,

u)) — B i (x )+ F ° (x , и),

i =

0,

1 , . . . ,

N — 1.

(19)

Очевидно, уравнение Веллмана (13)

тогда можно переписать в экви­

валентном виде