Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 234
Скачиваний: 1
178 |
|
|
П Р И Н Ц И П МАКСИМ УМА Л. |
С. ПОНТРЯГИНА |
|
|
[Гл. 3 |
||||||
Отсюда ясно, |
что фо=7^0, так как в противном случае ф ( 0 = 0 |
(см. |
|||||||||||
условие |
(2.2) |
теоремы |
2.1). |
Следовательно, можно считать, |
что |
||||||||
ф о = — /• |
Тогда |
соотношения |
(1) — (4) |
перепишутся |
в виде |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Н (х , -ф, и, t) = — /° (х, |
u, t)+ |
(ф, и), |
|
|
|
(5) |
|||
|
|
|
|
Ф = |
/ 2 (* ,М ) . t0< t < T , |
|
|
|
(6) |
||||
Я (х (t), ф (0 , и (t), |
t)= |
max Я (х (t), ф {t), v,t), |
|
|
|
(7) |
|||||||
|
|
|
|
Ф (0 = |
f°u (X(t), и (t), |
о . ^0 < |
t< т. |
|
|
|
(8) |
||
|
|
|
|
|
|
t |
(t), и (/), t)]dt\-\-ф ( д , |
|
|
|
|||
Из уравнения (6) имеем ф (^) = J fx {x |
поэтому |
||||||||||||
с учетом |
(8) |
получим |
|
to |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
'/2 (*(0. и (0,0 = |
( |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
J /° (х (t), |
U |
dt + ф ( g . |
|
|
(9) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
i. |
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
(9) |
называется |
уравнением Эйлера |
в интегральной |
|||||||||
форме-, здесь |
u ( t ) = x ( t ) . Если (9) |
продифференцировать |
по |
t, |
то |
||||||||
получим уравнение Эйлера классического вариационного исчисле ния в дифференциальной форме
at |
(/° (х (0, |
и (t), 0) - |
/° (a-' (t), и |
= |
0, ц (0 = х (I(). |
(9') |
||||
Далее, |
необходимым |
условием |
достижения |
функцией |
||||||
H (x(t), ф( 0 . |
«, 0 |
максимума при |
u = u {t ) |
является |
неположи |
|||||
тельность квадратичной формы |
|
|
|
|
|
|
||||
£ Я «‘У (* (0. Ф (Q. « (0 - 0 Ь£/ < |
0 |
при любых I = (Zi, Si, . . . |
, у , |
|||||||
i,/=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или если учесть выражение |
(5) для Я , то |
|
|
|
|
|||||
|
£ |
/“д (* ( 0 , « ( 0 . 0 |
> 0, I е е п, t0 < t < r . |
|
(Ю) |
|||||
|
£./=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие |
(10) |
называется |
необходимым |
|
условием |
Лежандра. |
||||
В частности, |
при n = 1 отсюда имеем |
|
|
|
|
|||||
fau (x (t),u (t),t)> 0, t0< t < T .
§ |
Связь с классическим |
вариационным исчислением |
179 |
||||
|
Теперь выведем необходимое условие Вейерштрасса. Для это |
||||||
го |
перепишем |
условие (7) с учетом (5), |
(8) в следующем |
виде: |
|||
|
О < Н ( х (t), |
ф (t), и (t),t)— H(x (t), г))(t), v, t) = |
/° (* (t), v, t) - |
|
|||
|
~ f° (x (t), u ( t ) , t ) - ( v - u ( t ) , f°u(x(t), |
u[t),t)). |
(11) |
||||
Это неравенство справедливо |
при любых |
v ^ V = E n и |
|
||||
если u(t), x ( t ) — оптимальное |
решение исходной |
задачи. Введем |
|||||
в рассмотрение функцию |
|
|
|
|
|
||
|
Е (£, л:, и, |
v ) = f° ( x , v, f) |
/° (х, и, t) — (и— и, |
f u{x, и, t)), |
(12) |
||
называемую функцией Вейерштрасса. Известное в классическом вариационном исчислении необходимое условие Вейерштрасса тогда немедленно следует из (11):
E ( t ,x ( t ) ,u ( t ) ,v ) > 0, t0 < C t< T , v e Еп.
Далее, |
из |
принципа |
максимума |
следует |
непрерывность |
||||||
вектор-функции |
ф(/) |
и |
функции |
|
H (x{t), ф(/), u(t), t) = |
||||||
— m axH (x(t), ф( 0 . v, i) |
по переменной |
|
t, |
|
|
(см. пред- |
|||||
ставления (2.15) в теореме 2.2). Поэтому |
с учетом |
соотношений |
|||||||||
(5), (8) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[fu{x{t),u{t),t)]t = |
0, |
|
|
|
(13) |
|||
[(и (t) , /°„ (х (t), и (t), t)) - |
/о (х (t), и (t), t)]t = |
0, |
tb < |
t < T, |
|||||||
здесь принято обозначение |
[г(^ )]4= г ( 7 + 0 ) — z(t — 0). Поскольку |
||||||||||
равенства |
(13) выполнены при всех t, |
|
|
|
то они сохраняют |
||||||
силу и в те моменты |
t, когда функция x(t) может иметь излом, |
||||||||||
т. е. производная x(t) |
терпит разрыв. |
Таким образом, |
если учесть |
||||||||
связь u { t ) = x ( t ) , |
условия |
(13) |
превращаются в известные из клас |
||||||||
сического |
вариационного исчиления |
условия |
Эрдмана — Вейер |
||||||||
штрасса в точках излома кривой x(t). |
|
|
|
|
|
|
|||||
Перейдем к рассмотрению условий на правом конце оптималь |
|||||||||||
ной кривой x(t). |
Если конец х(Т) свободен, |
то в силу теоремы 2.1 |
|||||||||
ф(7’) = 0 и с учетом выражения (8) имеем |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
f u(x(T ),u (T ),T ) = |
0. |
|
|
|
(14) |
|||
Если правый конец х(Т) подвижен, точнее, лежит на заданной кри вой Si = {(х, t ) : hj (х, t) = х ! — ф;- (t) = 0, / = 1, 2, . . . , л}, то соглас но теоремам 2.1 — 2 существуют такие постоянные аъ а2, ..., ап, что
П
. !Pi(T) = Y 1a/ dhj(i J )— = a" Н (х (Т) ^ ( Т)’ и (Т) ^ =
/=1
П Р И Н Ц И П |
МАКСИМ УМА |
Л. С. ПОНТРЯГННА |
[Гл. 3 |
л |
л |
л |
|
= - 2 а, дк^ х^ ’П = £ а .ф, (Г) = £ ф,- (Г) ф7 (Л = (ф (Г ), Ф (Т )) •
/= 1 |
|
/= 1 |
/= 1 |
|
|
|
|
|
Так как #(л;, ф, и, |
£) = (ф, |
и) — f°(x, и, |
t) и яр (^) |
выражается форму |
||||
лой (8), то последнее равенство можно |
переписать так: |
|
|
|||||
' Г>(х(Т),и(Т), |
Т) + ( f u(x (T ),u (T ),T ), |
у ( Т ) - и ( Г ) ) = |
0. |
(15) |
||||
Условия |
(14), (15) |
при учете связи |
x ( t ) = u ( t ) |
выражают |
собой |
|||
известные |
в классическом |
вариационном |
исчислении |
условия |
||||
трансверсальности |
для свободного и |
соответственно подвижного |
||||||
правого конца.
Таким образом, в случае У = £ п из принципа максимума сле дуют все основные необходимые условия, известные в классическом вариационном исчислении [68, 254]. Однако если V — замкнутое множество и У ф Е п, то соотношение (4 ) ,вообще говоря,не выпол няется. Более того, имеются примеры, когда и условие Вейерштрасса в этом случае не имеет места ([195], стр. 284). Принцип максимума, являясь естественным обобщением условия Вейерштрасса из классического вариационного исчисления, имеет то су щественное преимущество перед условием Вейерштрасса, что он
применим |
для любого |
(в |
частности, и замкнутого) |
множества |
V ^ E r и для более общих |
задач. Заметим, что именно случай |
|||
замкнутого |
множества |
V ^ E r наиболее интересен в |
прикладных |
|
вопросах, поскольку значения оптимальных управлений чаще всего лежат на границе V.
Г л а в а 4
Динамическое программирование. Проблема синтеза
В этой главе остановимся на методе динамического програм мирования, часто используемом при численном решении задач оп тимального управления при наличии фазовых ограничений. Заме тим, что принцип максимума может быть сформулирован и для задач с фазовыми ограничениями, однако получающаяся при этом
краевая задача |
будет иметь еще более сложный вид ([5, 27, 55, 101 |
141, 195] и др.), |
и трудности при ее численном решении значитель |
но возрастают. Поэтому для численного решения таких задач ча сто бывает выгоднее использовать метод динамического програм
мирования. Изложение этого метода |
начнем с |
простейшей схемы |
Р. Веллмана [6, 14— 18, 27, 34, 54, 206, |
234, 259], |
затем опишем бо |
лее совершенную и удобную для практики схему Н. Н. Моисеева
[167— 169, 171].
§ 1. СХЕМА Р. ВЕЛЛМАНА. ПРОБЛЕМА СИНТЕЗА ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
1. Рассмотрим следующую задачу оптимального управления: минимизировать функционал
|
|
J(u) |
= |
j7 ° ( * , и, |
t).dt + 0 (x (T )), |
|
(1) |
|
|
|
|
^0 |
|
|
|
при условиях |
x ' = f ( x , u , t ) , |
< ^ < 7 \ |
|
(2) |
|||
|
|
|
x (t)eG (t), |
г0 < ; < 7 > |
|
(3) |
|
u —u (t)^ V (t), t0^\t^LT, u(t) — кусочно-непрерывна |
(4) |
||||||
(подробное |
описание |
обозначений |
см. в § 3.1; |
множества S0(t0) |
|||
и Sj(T) из |
(3.1.7— 10) |
нам здесь удобнее включить в фазовые от- |
|||||
раничения G(t), to^Lt^T)-, моменты t0, Т будем |
считать |
извест |
|||||
ными. |
|
|
|
|
|
|
|
Для приближенного |
решения этой задачи |
разобьем |
отрезок |
||||
Т на N частей точками |
|
и, |
приняв |
||||
эти точки в качестве узловых, интеграл в (1) заменим квадратур ной формулой прямоугольников, а уравнения (2) — разностными уравнениями с помощью простейшей явной схемы Эйлера [20]. В результате мы придем к следующей дискретной задаче опти мального управления: минимизировать функционал
