Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

(2.8— 10),

так

как

функция

Н (и вообще

вся

задача) не зависит

'

х°,

.

-------- — =

0,

т. е. i|)o=const. (Это

от переменной1

поэтому ф0 =

дх°

прежний параметр

из

теоремы

2.1.

Далее,

как

было

замечено

выше,, умножение

вектора ф(£) =

(ф0, ф(£))

на

положительную

скалярную

функцию

ц ( 0 > 0

(в

силу

однородности

функции

П

Н (х , ф, и,

t ) =

фjf> (х , и, t)

по

переменной

ф) не меняет

вида

/=о

_

управления и— и(х, ф, t), определяемого из условия max Н(х,

ф, и, t),

u S V

стемы

(13),

можно

попытаться

искать ^другую вектор-функцию

р (0 =

(Ро(0.

р ( 0 ) =

р (0 ф (0 .

ц (0 > ° . которая будет

опреде­

ляться из некоторой «устойчивой» системы уравнений

Pi =

gi (х ,

Р. 0

(/ =

0,

1,

■••,п).

(14)

В результате краевая задача (2.13),

(2.8— 10) будет заменена на

задачу

х£ = f ‘ (х, и, t), t0 < t < C T , i = 1 , 2 , . . . , п;

Pi = Si (х,

и,

Р, t), f0 < * < 7 \

i =

0, 1, •■■, п,

x(t0) e s 0(t0),

x c n e s A T ) ,

(Л5)

р ( g = ( P

i (

g

>pnf g ) j _ s 0 ( g

в точке х ( д ,

Р (Т) = (Рх (Г),

•■■, р„ (Т)) J_

(Т)

в точке х(Т),

1=0

где u— u (x ,ty ,t)= u (x ,p ,t)

определяется^из (2.11). В силу построе­

ния системы

(14)

имеет

р(^)='р,(£)Ф’(0> р ('0 > 0 . Поэтому из

краевой задачи

(15)

можно определить те же самые подозритель­

174

П Р И Н Ц И П МАКСИМУМА Л. С. ПОНТРЯГИНА

[ Г л. 3

Таким

образом, требуется построить систему вида

(14), кото­

рая

обладала бы следующими двумя свойствами: 1) любые два

решения тр (t)

и p(i)

соответственно систем

(13),

(14)

(при од­

них

и тех же

x = x ( t ) , u = u ( t ) ) , для

которых

р(^ о)=аф (М »

a = c o n s t> 0 ,

связаны

соотношением

р (

t

)

p ,(Q > 0 ,

2) |p(OI=

P? ( 0 ) /s — невозрастающая

функция вре-

ф *= С (0ф , t0 < t < C T .

(16)

Наряду с этой системой рассмотрим^еще систему

р = С ( / ) р + е ( М ) Р ,

(17)

дящем выборе функции е(р, t) система (17) будет обладать

нуж­

ными свойствами. Это вытекает из следующих лемм.

Л е м м а 1.

Если ф (£)— решение

системы

(16) с начальным

условием ф(*0),

а p jf) — решение системы (17)

с начальным усло­

вием р(/о), если р(/о) = аф(^о) фО,

a — co n st> 0 ,

то существует

такая непрерывная функция р (^ )> 0 , что

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим ф0 (0 —

^

, р0 (t) =

,

1Ф«)1

'

IР(ОI

где |г |= V(z, z). Так как ф0 = —%-

Ф

Ф

то,

под-

Ф

1Ф1 1ФI

1Ф1 ’

ставляя сюда выражение для ф (t) из

(16),

получим ф0 =

С (t) г]з0 —

— (С(Лф0, ф0) ф0.

Аналогично для р0 (/)

имеем

Ро =

- £ f - £ _ = С ( 0 Р о + е ( р , 0 Р о -

176

П Р И Н Ц И П МАКСИМ УМА

Л. С. ПОНТРЯГИНА

[Т,1. 3

или даже е(р, £)==— Стах, где постоянная

С тах > max ( £

|Су(0 |а)'/а,

£,/=0

С^СО-

элементы матрицы С (it). Заметим, что приведенные функции

е (р ,t)

от р не зависят, и система

(17) остается

линейной относи­

тельно

р.

В

некоторых случаях выбор

е (р, t) •< — —

*

может при-

е!

титься в машинный нуль.

Во избежании

этого

можно

принять

е (р> 0 = е (Р2). где е(г)

— непрерывная функция одной переменной,

удовлетворяющая условиям

e (r )^ .C max при r < r b е ( г ) ^ — Стах

при г ^ г 2,

|е(г) |^ С тах

при

где гх и г2— подходящим

образом выбранные положительные числа,

г\ < г2. Например, мож­

но положить

е (г)== — 2Стах------ — +

Стах.

Го— гх

Из леммы

2

в этом

случае

следует, что если

r i^ p 2(^0) ^ г 2, то

П < р 2(0 < / 2

во

все

моменты

t<=[t0T]\

если

p2(*o )< ri

или

Р2(^о)> £ "2,

то величина_р2(£)

будет стремиться с течением времени

попасть в

полосу ri-^ p 2(0 - ^

r 2 и остаться

в этой полосе в после­

дующие моменты времени. О других способах

выбора

е(р, t)

см.

в работах

[1,

243].

Если

система

(13)

нелинейна и неустойчива, то может

ока­

заться полезным рассмотрение системы

П

Pi =

^

С£зР/ + е (Р.

0 Pi (*' = 0, 1, • • • , л),

/=о

§ 4]

Связь

с классическим вариационным исчислением

1 7 7

§ 4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПРИНЦИПОМ МАКСИМУМА И КЛАССИЧЕСКИМ

ВАРИАЦИОННЫМ ИСЧИСЛЕНИЕМ

Основной

задачей классического вариационного

исчисления,

как

известно

[68,

254], является следующая задача:

среди всех

x ( T ) e S i,

найти такую, которая доставляет функционалу

=

J / °(*(0,

x(t),t).dt

и

минимальное значение.

3p,ecb^x(t) — (xl (t), ..., xn(t)),

S0 и S i — за­

данные

множества

в

Е п.

Будем

предполагать,

что

функция

f°(x,u,t)

непрерывна

и имеет непрерывные производные

/2,/°,/?,

(дг('/о) = X q,

t0 задано),

а

правый

конец

х(Т)

либо

закреплен

(x(T )= X i,

Т задано), либо

свободный

( S ^ E n,

Т задано),

либо

является

подвижным

и . лежит

на

заданной

гладкой

кривой

S i= { ( x ,£ )

: х—-cp (f)= 0},

Т не задано.

Обозначим

х = и

и запишем

рассматриваемую задачу

в экви­

валентном

виде

как

задачу

оптимального управления: минимизи-

т

ровать

функционал

J {и) =

j f°

(х, и, t) dt

при

условиях

х = и ,

to^ t^ T -,

x{t0) = x Q, х (7’) е 5 1, ° и ( 0 е 1/=Дп.

Для исследования этой задачи воспользуемся принципом мак­

симума Понтрягина. Согласно теоремам

2.1—2

нужно

выписать

функцию Гамильтона — Понтрягина:

Н = ф0/° (х,

и,

t) + (ф, и) =

Н (х,

ф, и,

t),

(1)

и сопряженную

систему

Ф =

—

=

и,

t),

ф0 =

const < 0 .

(2)

Для оптимального решения u(t),

x { t ) = x ( t ,u )

должно выполнять­

ся необходимое условие

Н (x(t), ф (0, u(t)- t) =

m a x # (x (t),

ф(/), v,

t),

/„ < / < Г ,

(3)

v&V

где ф(^)

решение системы

(2) при u = u ( t ) ,

x = x ( t ,u ) .

Так как в

данном случае

множество

значений

управления V совпадает со

всем пространством Е„,

то условие

(3)

может

соблюдаться

лишь

в стационарной точке, т. е.

н и=

Фо/° (x{t), u(t),t) +

ф(^) =

0.

(4)