Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

Скачать файл (13,51Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 229

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 4] Проблема синтеза. Оценка погрешности 205

что равносильно (10). Далее, из условия (8) имеем
R (х,	и, т) >	inf	R (х , и,х) =	R (х, и (х, т),	т) = 0,
		u£V{т)
где и е У (т ), x g G(t),			Отсюда следует, что для любой
пары (х (х) , и (г )) eZ)JY, 7]			справедливо неравенство
Я (х (т), и(т), т) >			0 е= # ( х(т), и (г), х), * < т < 7 \			(11)
А тогда с помощью		формулы (10)		и условия	х* (t) = x ( t )	= х
сразу получим
			т
Jt{x ,u (т)) — Д (х, и* (т)) = J				[R (х (т), и (т), т) —
			t
		— R (х* (т), и* (т), т)] dx > 0
при всех х (т ),	и(х) ) g O JI, Т\. ±
Кстати, из	(10),	(11)	следует, что

Д (х, и* (т)) = inf Д (х, и (т)) == В (х, t).

DXV.T1

Как видим, в рассматриваемом случае В (х, t) есть функция Вел лмана задачи (1.1— 4). Теперь нетрудно .получить решение задачи

(1 .1 - 4 ) .

Т е о р е м а 2. Пусть	функции B (x ,t), u ( x ,t )	при x£ G (t),
t0 Kt<^.T, удовлетворяют	всем условиям теоремы 1, и	точка х* оп

ределена из условий

( * ; , g = r i n f в ( * . *о). К £ х о>

х£Хо

где Х 0 = { х : х £ G (t0), Dx [t0, Т ] ф 0 } .					Тогда траектория х* (т) € G (х),
/0 < т	определяемая	из	(9) при		t — t0,	х =	х*	и	управление
ц* (т) =	и (х* (т), т), t0 < т; <	Т,	представляют			собой	оптимальное [ре
шение задачи (1 .1 — 4).
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Возьмем		произвольные				х е ! 0 и
(х(т),	u{x).)<=Dyt[tQ, Г ]. Неравенство			(11) при t = t 0, очевидно, так
же справедливо. .Поэтому с учетом				определения			хо	из формулы
(10) имеем
. J (и) — J («’) ЕЕ*До (х, и (т)) -			До (х;,	и* (т)) -		\| [R (X (х), и (т), т) -
						io

- R (х* (т), и* (т), т)] dx + в (X, g - В (х‘ , g > 0

при всех допустимых ы(т) из (1.2— 4). А

206

ДИНАМ И ЧЕСКО Е ПРОГРАММИРОВАНИЕ. ПРОБЛЕМА СИНТЕЗА

[ Г л , ./

2.Заметим, что теоремы 1—2 не работают в тех случ

когда нижняя грань в (5) не достигается и приходится иметь дело

с функциями,

приближенно реализующими эту нижнюю

грань.

Аналогично

при решении

задачи с подвижным

левым

концом

inf В (х, t0)

также может не достигаться. В таких случаях могут

*ех0

оказаться полезными следующие две теоремы.

Т е о р е м а

3. Пусть функция В (х, t) удовлетворяет

всем ус

ловиям теоремы 1, и пусть

имеется

последовательность

функций

uk (x,x)

( k = l ,

2, ...), таких,

что:

Uk(x,т) определена,

кусочно-непрерывна и ии(х,т ) е К ( т )

при всех x<=G(т),

решение хк(х) задачи Коши:

х(х)

= f ( x ( x ) , u k (x{т ),т ),т ),

t <

т < Г; л:(t) =

(12)

существует и хк (х) в G (х) при ^ <

т <

Г ;

П т Г R (xk (т), uk (т), т) dx =

Л**»оо J

где uk ( x ) = u ( x k (x),x), t ^ x ^ T , (й = 1 , 2,

...,).Тогда последователь

ность

(хь(т),

uh(x))

{ k = l ,

2, ...) является минимизирующей для

задачи

(1) — (4) и,

таким образом,

функция uh(x,

t),

k = \,

2, ...,

осуществляет приближенный синтез.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Возьмем

произвольную

пару

(x(x),u(x))^D^t,T\

при некоторых

фиксированных

to^t<^T,

x ^ G ( t ) . Согласно формуле

(10)

и условиям Xk{t)— x { t ) = x

тогда

имеем

j ‘ (х, и (х)) — Д (х, uk (х)) = j* [R (х (т), и (x),x)— R (xk (т), 'ик (т), х)] dx. t

По условию теоремы правая часть этого равенства имеет предел

при	k-+oo, поэтому и	левая	часть имеет,	предел. Поскольку в
силу	(8)
	R (х (х), и (х), х) >	inf	R (х (х), и, х) =	0, t < т < Т,
	'	иек(т) .

то

при любых (jt (т), и (х)) 6 Дс А Г ]. Следовательно,

= inf J* (х, и(х)) > lim J*{x, uk (т)).

D x [ t,T ]

Л->оо

§ 4 ]

Проблема синтеза. Оценка погрешности

207

С другой стороны,

J<(x,uk ( x ) ) > J * ‘,

k =

1, 2, . . . ,

поэтому

lim J* (х, uk (х)) =

J u .

k-+00

Т е о р е м а

Пусть

функция В (х,

' довлеткоряет

всем

ус

ловиям теоремы

1, и пусть последовательность {xft}

такова,

что

xk e X 0 и lim

В (xk, t0) =

inf

В (х, t0).

k->oo

х £ Х о

Кроме

того,

пусть

имеется

последовательность

функций

uh=

(х, т), обладающая

свойствами

1)— 3) из теоремы 3

при

t— t0, х = хи .

Тогда

последовательность

пар

(хй(т),

ик(т)),

t o ^ x ^ T ,

где uh (x) =

uk (xh(x),x),

а хк(х) — решение задачи

Коши

(12)

при

t=<to,

x=Xh,

является

минимизирующей для

задачи

(1 .1 - 4 ) .

Доказательство этой теоремы .опирается на формулу

(10)

при

t= tQи полностью аналогично доказательству теоремы 3.

Умение решать проблему синтеза крайне важно в

разли

ных прикладных задачах оптимального управления. В самом деле, пусть управляемый процесс описывается условиями (1.1—4), и пусть известна синтезирующая функция u(x,t). Тогда техническое осуществление оптимального хода процесса обычно производится по схеме: с измерительного прибора, замеряющего в каждый мо мент t фазовое состояние x(t), на ЭВМ или какое-либо другое вы числительное средство подается величина x(t), вычисляется зна

чение управления u ( t ) = u ( x ( t ) , i ) , после чего	оптимальное в дан
ном положении управление u(t) передается	на исполнительный

механизм, непосредственно регулирующий требуемое течение уп

равляемого процесса.
Как вытекает	из вышеизложенных теорем 1—4, для решения
проблемы синтеза	для	задачи (1.1—4) достаточно решить задачу
Коши — Веллмана	(5),	(6). Однако явное аналитическое выраже
ние решения B(x,t) этой задачи			и функции u(x,t), на	которой
может достигаться	нижняя грань		в (5), удается лишь в	редких

случаях, поэтому задачу (5) , (6) приходится решать приближенно. Наиболее удобными и эффективными при решении задачи (5), (6), по-видимому, являются методы, изложенные выше в § 1, 2, ибо рекуррентные соотношения Веллмана (1.13) и Моисеева (2.5) по существу представляют собой некоторую дискретную аппроксима

цию задачи (5),	(6) (В (х, th) &Вц{х) ttC k(x)).	Однако здесь воз
можны и иные	подходы. В тех случаях, когда	удается получить

явное выражение для и=и (х, t, B x) ^ V ( t ) , на котором достигается нижняя грань в левой части (5), то, подставив такое и в (5), при дем к обычной задаче Коши для квазилинейного уравнения с част

208

Д ИНАМ И ЧЕ СКО Е ПРОГРАММИРОВАНИЕ. ПРОБЛЕМА СИНТЕЗА

[,Гл. 4

ными производными первого порядка, и здесь тогда можно вос пользоваться известным арсеналом численных методов (разност ные методы, метод характеристик, ме*год прямых и т. п.) [20].

В. Ф. Кротов [142] предлагает искать решение B (x,t) задачи

(5)— (6) в виде многочлена по переменным х\ х2....... хп с неоп

ределенными коэффициентами, зависящими от времени:

т,	т,	тп
	Е	■ • •i	( 0 № ( * * ) '• •••№ •
* 1= 0	*1=0	£„=0

Если подставить это выражение для B(x,t) в (5) — (6), то для оп

ределения		,{л (t)	получится система дифференциальных урав
нений следующего вида:
			т,	тп
	B t ( х , 0 =		J . . .	£	(0 (я1/1 . . .	=
			£.= 0	£„=0
	=	inf	F (“Фо....О(0,		■••, фт,...тп (0.	U, t),	(13)
		u6V(i)
			x e G ( t) , t0 < t < c T ,
с начальным условием
т,		т п
Е	•••	Е			=	х е о ( Т ) .	(14)
£,=0		£„=0
Если Ф (х),	inf	F являются		многочленами относительно хх.......			хп,

иек(<)

то, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в (13)— (14), получим задачу Коши для системы дифференциальных уравнений относительно %,...£„ (0> записанной в нормальной форме Коши (см. ниже пример 1). Для ее решения можно использовать различ ные численные методы решения задачи Коши (методы Адамса,

Рунге— Кутта и т. д.)	'[20] .
Если же Ф (х) и л и	inf Т7	не являются многочленами ОТНОСИ-
	ueV(£)
тельно хх, ..., хп, то условия		(13), (14) не могут быть, вообще гово

ря, удовлетворены во всей области G(t), t0^.t^iT, ни при каком

выборе	N = (m i+ 1) (m2+ l ) - ( ^ n + l )		коэффициентов	%,...£„(0-
В этом случае в [142] предлагает задать в области G(t)				N кривых
gi(/), ...,	init)	и рекомендуется определять %,...£„ (0		из условия
удовлетворения		(13), (14) не всюду в	G(t), а лишь на этих кри

вых. Этот подход перекликается с известными методами коллокации и интегральных соотношений и приводит к задаче Коши для

§ 4] Проблема синтеза. Оценка погрешности 209

системы обыкновенных дифференциальных уравнений, не разре

шенных	относительно		производной			(0 (эти		производные в
уравнения будут входить линейно). Кривые £ i ( 0,								.... £jv(0> во-пер
вых, должны		образовать		достаточно		густую		сетку в		области
G(t),		и, во-вторых, иметь достаточно простое аналити
ческое выражение (например,					семейство		прямых, параллельных
осям координат, семейство парабол и т. п.).
П р и м е р 1.		Пусть требуется минимизировать функционал
				т
		J (и) — I* и1 (t) dt + kx2 (Т)
				о
при условиях х — и, х (0) =				х0; и = u(t) — кусочно-непрерывная ска
лярная функция;		числа Т,	х0 заданы, К =			const > 0.
Задача (5), (6) здесь имеет вид
inf [Вх (х,	t) и +	В ( (х, t) +	u2] = ------В\ (х, t) - f B t (х, 0 = 0 ,							х £ Е 1г
«e£i					4
		0 < t < Т ; В (х, Т) = Хх2, х £ Е х.
Функцию B (x ,t)		будем искать в			виде многочлена			В-{х,	t) =	фо(0 +
+ Фг (0 х + Ф2 (0 * 2- Подставим в					предыдущие уравнения				_
---- —(Фг + 2ф2х)2 + Фо + Фг* + Фг*2 =							х ^Е1у 0 < ^ < Т ;
4
	Фо (Т) + Ф1 (Т) х + ф2 (Т) х2 = Хх2, х € Ех.
Приравнивая коэффициенты				при	одинаковых		степенях х, придем к
следующей задаче Коши:
ф 0----1-ф\| = 0, Ф1 —				ф 1ф 2 = 0 , ф 2—		Ф\| = 0,		0 < ^ < Т ,
		Фо {Т) = 0, ф! (Т) = 0, фа ( Г )= Я .
Отсюда находим
	Фо (0 = Ф ж (0		=	° ,	Фа(*) =		Я,
						—%(t_ T) + l